Загадки листа Мебиуса

Опубликовано Колбасова Лариса Александровна вкл 04.05.2020 - 14:15

Автор:

Фурманова Анна Владимировна

Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Сухомлинский считал», что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». «Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления.

Цель работы: изучить и опытно – экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Результаты проведённых опытов, позволили сделать вывод, что лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека. Свойство односторонности ленты Мёбиуса используют в технике. Лента Мебиуса нашла свое отражение и в художественных произведениях, искусстве.

Скачать:

Вложение	Размер
Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека. Свойство односторонности ленты Мёбиуса используют в техни	358.5 КБ

Предварительный просмотр:

Аннотация

Цель работы: изучить и опытно – экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Оглавление

1.Введение ……………………………………………………………………....4

2. А. Ф. Мёбиус и его открытие....................................................................5

2.1.А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие………………………………….5

2.2.Что такое топология?..........................................................................................5

3.Свойства ленты Мёбиуса..........................................................................7

4. Применение ленты Мебиуса

5. Заключение………………………………………………………………….....9

6. Список использованной литературы……………………………………..10

7. Приложение…………………………………………………………………..11

1. Введение

«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Это знаменитое высказывание М.Л.Ломоносова известно всем.

На самом деле математика - орудие, с помощью которого человек познаёт и покоряет себе окружающий мир. Она нужна каждому и на ЕГЭ математику сдают все. Однако результаты экзамена за последний год показывают, что до 60% выпускников сдали его на «3», если бы переводили баллы в отметки, и к сожалению есть выпускники, получившие двойки. Это лишь один из показателей того, что для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Отсутствие интереса к изучению математики создаёт серьёзную исследовательскую проблему – как сделать данный предмет увлекательным для всех.

Ещё Блез Паскаль - великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

Я сделал вывод, что математика полна неожиданностей на примере открытия А.Ф. Мёбиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами. Я предположил, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает действительно неожиданными свойствами.

Отсюда, объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности. Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Мёбиуса

Цель работы:

-изучить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;

- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.

Метод исследования: практический эксперимент.

Теоретическая значимость работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

2. .А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие

2.1. Мёбиус Август Фердинанд

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят лента Мёбиуса) открыл в1858г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А.Ф. Мёбиус - в течение более чем 15 лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. Он сделал много интересных открытий, стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие - односторонние поверхности, одна из которых - лист Мёбиуса. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Мёбиус является одним из основателей современной топологии.

2.2.Что такое топология?

Тополо́гия (от греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек).

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса.

Что такое “Лента Мебиуса”? Она относится к числу “математических неожиданностей”. В 1858 г. Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус – в 1862г. Открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мебиуса ( приложение 1).

Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Топология известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Топология-«геометрия положения». У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, в экономике, психологии.

Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах ( и то не во всех!).

3. Свойства ленты Мёбиуса

Чем знаменита “Лента Мебиуса”? Лента Мёбиуса преподнесет нам не один сюрприз

Она имеет только одну сторону.

Опыт №1

Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками.
Попробуем раскрасить ленту Мебиуса.

Вывод: «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

Можно провести еще опыт, подтверждающий данный вывод.

Опыт №2

На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешили бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца.

Вывод: они не встретятся; каждый пробежит только одну, «свою» сторону кольца.

Опыт №3.

Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

Вывод: заяц и волк столкнулись! Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

Опыт №4

Этой поразительной особенностью не исчерпываются свойства ленты Мебиуса. Попробуем закрасить узенькую полоску ее края.

Вывод: у ленты Мебиуса не только одна сторона, но и только один край! Лента Мебиуса непрерывная поверхность.

Лента Мёбиуса преподнесет нам не один сюрприз, если вы попытаетесь ее разрезать.

Опыт №5.

Сначала разрежем по середине. “Ну вот, - подумали вы, - сейчас получиться два отдельных кольца”. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше другого.

Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое.

Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма “затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

Вывод: лента Мёбиуса обладает еще одним неожиданным свойством не только непрерывности, но и связности.

Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль по середине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между с собой.

Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Таким образом, мы убедились, что лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности , но и такими неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

4. Применение ленты Мебиуса.

Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться в двое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.

Есть авторское свидетельство на магнитофон с лентой Мёбиуса: получают ленту, которая долговечней обычной также в 2 раза.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лента Мебиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лента Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах. Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур, картин и для графического искусства . Чудесные свойства породили множество многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.

Довольно много разнообразных рисунков с изображением листа Мёбиуса оставил известный график М.Эшер (1898-1971).Его знаменитая гравюра демонстрирует неразрывность листа Мёбиуса: любая точка может быть соединена с любой другой точкой и поэтому муравью ни разу не придётся переползать через край «ленты» (приложение 2).

Серию вариантов листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл (родился в 1908). В течение почти 20 лет он неоднократно обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в музее современного искусства в Париже. [5] Немецкий математик Феликс Клейн в 1882г. построил ещё одну одностороннюю поверхность, но уже замкнутую, которую в честь него назвали бутылкой Клейна (приложение 3, рис.2, рис.3).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства.

Описывая лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрывая опытным путём свойства этого поразительного открытия, мое предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека.

Выводы:

Лист Мебиуса имеет один край.
Лист Мебиуса имеет одну сторону.
Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лепта Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.
Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.
Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в науке, технике и изучении свойств Вселенной.
Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.
Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов

Список литературы:

Воронец А.М. Математические развлечения. М.: Учпедгиз, 1981.
Гарднер М. Математические досуги. М.: 1992.
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. М.: Просвещение, 1996.
Кордемский Б.А. Топологические опыты своими руками./ «Квант» №3, 1974,стр73.
Леман И. Увлекательная математика. М.: Знание, 1985.
Лоповок Л.М. Математика на досуге: Книга для учащихся среднего школьного возраста (IV-VIII классы). М.: Просвещение, 1990.
Сайты:

Приложение 1.

Лист Мёбиуса - поверхность, получающаяся при склеивании двух противоположных сторон AB и А`В` прямоугольника ABB`A` так, что точки А и В совмещаются соответственно с точками B` и A`.