Математический бильярд

V Городская конференция школьников им.Д.В.Вилькеева

Секция: Математика, физика

Исследовательская работа

Математический бильярд

Рудина Алена

МБОУ «Школа №25», 5«А» класс

Ново-Савиновский район, г. Казань

                                                                                              Научный руководитель:

Агафонова К.О.

Казань

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3

Теория математического бильярда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Исследование свойств математического бильярда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Список используемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Иллюстрации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9

Введение

Бильярд послужил предметом серьезных научных исследований по механике и математике. В математическом бильярде рассматривается стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется шар, отражаясь от бортов. Направление движения шара, меняется только при его ударе о борт по закону отражения. Линия, вдоль которой двигается шарик, называется траекторией. Траектория бильярда в заданной области определяется начальным положением шарика и начальным направлением его движения. Таким образом, траектория бильярда – это вписанная в кривую ломаная, которая может быть однозначно построена по своему начальному звену.

Математическая проблема бильярда состоит в том, чтобы найти ответ на вопрос: какой может быть траектория этого шарика?

Для изучения свойств отражения бильярдного шара на столах различной формы удобно использовать компьютерную модель бильярда, в которой, задавая различные начальные параметры стола и шарика, можно проследить за движением шарика. Maple – одна из самых мощных и интеллектуальных систем компьютерной алгебры. Этот пакет имеет богатые возможности графической визуализации решений, что способствует эффективному обучению математики от самых ее основ до вершин. Используя программу «Математический бильярд на плоскости», проведем исследования закономерностей движения бильярдного шара.

Цель данной исследовательской работы заключается в следующем:

• составить обзор по теории бильярдов;
• изучить свойства бильярдов, используя программу, моделирующую бильярд на плоскости.

Теория математического бильярда

Наверное, все имеют представление об игре в бильярд на прямоугольном столе с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. Более поздние сведения о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку.

В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Как правило, в бильярд играли на прямоугольном столе с шестью лузами, из которых четыре располагались в углах стола, а две – в серединах более длинных сторон; отличались эти игры лишь количеством шаров – иногда довольствовались тремя шарами, а иногда – пятнадцатью или двадцатью.

Известны различные варианты игры на бильярде. Например, так называемый французский бильярд вообще не имеет луз (при игре во французский бильярд нужно попасть в заданный шар после нескольких столкновений с другими шарами). Французский бильярд и послужил прообразом математического бильярда.

Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу движется шар, отражаясь от бортов (рис. 1). Шар движется без трения, то есть не останавливается. Линия, вдоль которой двигается шарик, называется траекторией. Математическая проблема бильярда состоит в том, чтобы найти ответ на вопрос: какой может быть траектория этого шарика?

Траектория бильярда определяется начальным положением точки шарика и начальным направлением его движения. Направление движения шара, меняется только при его ударе о борт. Это происходит по закону отражения: после удара шара о борт, шар движется так, что его «угол падения равен углу отражения» (рис. 2). Если борт в окрестности точки столкновения криволинейный, то углы падения и отражения – это углы, составленные «падающим» и «отраженным» отрезками траектории с касательной к кривой, проведенной в точке столкновения (рис. 3). Таким образом, траектория бильярда – это вписанная в кривую ломаная, которая может быть построена по своему начальному звену.

Борт бильярда может иметь и точки излома – углы. Мы будем считать бильярдную траекторию, попадающую в такую точку, оканчивающейся в ней – «тупиковая» траектория.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области. Простейший принцип такого описания – разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные – непериодические. Траектория будет периодической, если через некоторое время, называемое периодом, шарик возвращается в свое начальное положение. Периодические движения воспринимаются как наиболее «правильные» – такими мы привыкли представлять, например, движения планет около Солнца и качания маятника. На рис. 4 изображены некоторые периодические траектории бильярдов в прямоугольнике, в правильном треугольнике, в круге.

Исследование свойств математического бильярда

Для исследования свойств математического бильярд удобно воспользоваться системой компьютерного моделирования (СКМ) Maple. Система имеет обширный функционал для решения различных математических задач и представления результатов вычислений в удобной и наглядной форме. При изучении бильярда на столах различной формы можно использовать специально написанную программу в Maple «Математический бильярд на плоскости» (рис.5), которая позволяет моделировать движение бильярдного шара в круге, эллипсах, правильных и произвольных многоугольниках, стадионе (рис. 6).

Компьютерная модель бильярдного стола позволяет наглядно продемонстрировать закон отражения. Изменяя положение начальной точки шарика и направления его движения в программе, можно менять угол падения шарика на бортик стола. При этом видно, что угол отражения тоже меняется, но остается всегда равным углу падения.

Подбирая начальные параметры бильярда, было проверено наличие периодических траекторий в круге, квадрате, прямоугольнике, треугольнике.

Было исследовано отражение шарика внутри круга: нашли периодические траектории; узнали, как близко может подойти к центру круга траектория шарика; нашли, в каких частях круга побывает шарик, двигаясь по одной из непериодических траекторий. Аналогично исследовали закономерности движения шарика внутри прямоугольника и треугольника.

Заключение

Таким образом, в настоящей исследовательской работе:

• рассмотрены общие сведения по теории бильярдов;
• изучены свойства геометрических бильярдов: в круге, эллипсе, правильных и произвольных многоугольниках;
• изучены основные возможности СКМ Maple по моделированию и визуализации  математических бильярдов:
• исследован закон отражения о прямых и кривых линий;
• найдены периодические траектории бильярдного шара на столах круглой, прямоугольной, треугольной формах.

Итак, задачи, поставленные в работе, выполнены полностью.

Список используемой литературы

1. Гальперин Г.А., Земляков А.Н.  Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики) - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,- 1990.- 288 с.- (Библиотечка "Квант" Вып. 77).
2. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями, Успехи матем. науку XXV, вып. 2 (152) (1970), 141—192.
3. Борахвостов В. Бильярд // Наука и жизнь,- 1966.- № 2-4.-6.- c.11.
4. Гальперин Г.А. Бильярд // Квант,- 1981.- № 4.
5. Гальперин Г.А., Степин А.М. Периодические движения бильярдного шара // Квант,- 1989.- № 3.
6. Агафонова К.О., Агафонов А.А., Сушков С.В. Компьютерная математическая лаборатория: визуализация математического бильярда // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XIV Международной научной конференции, посвященной 90-летию профессора М.Б. Балка. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2013. – Вып. 14. –  с. 183-185.
7. Агафонова К.О., Агафонов А.А., Сушков  С.В. Компьютерная математическая лаборатория: визуализация математического бильярда // Труды Российской летней школы «Математическое моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики» (ММСКМ-4) и Российского семинара «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии» 21 - 26 октября 2013, Казань. / Под общей редакцией заслуженного деятеля науки РТ, доктора физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Игнатьева — Казань: Казанский университет, 2013. -  с. 80-86.

Иллюстрации

Рис.1

Рис. 2                                                        Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6