Применение метода координат при решении стереометрических задач

Слайд 1

Применение метода координат при решении стереометрических задач Выполнила: Коревина Ангелина, МБОУ « СОШ № 71», 11 класс Учитель: Бурлаченко Яна Николаевна, учитель математики г. Новокузнецк 2017 год Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №71 » Научно-практическая конференция

Слайд 2

Гипотеза : данный метод намного облегчает работу учащегося Цель : ознакомление с методом координат при решение геометрических задач Задачи : научиться применять формулы для решения геометрических задач методом координат в пространстве Объект исследования : геометрические задачи Предмет исследования : применение метода координат к решению геометрических задач Метод изучения : Теоретический Эмпирический

Слайд 3

Исторические сведения. Декартовы координаты. Система, состоящая из начала координат и взаимно перпендикулярных координатных осей, называется декартовой системой координат. О y x Z z y x Метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Система координат – комплекс определений, реализующих метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Слайд 4

Нахождение угла между двумя прямыми – направляющий вектор прямой n . – направляющий вектор прямой n . φ – угол между прямыми. n m Введем координаты векторов: {x 1 ; y 1 ; z 1 } {x 2 ; y 2 ; z 2 } Для нахождения угла между векторами воспользуемся следующей формулой: φ

Слайд 5

Задача 1. Все ребра правильной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 равны по 1. Найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 . E 1 D 1 C 1 B 1 F 1 A 1 А B C D Е F ● O 1 Решение. Способ 1 . Угол между скрещивающимися прямыми AB 1 и BD 1 равен углу между пересекающимися прямыми AB 1 и AE 1 , так как AE 1 ║ BD 1 . Найдем косинус угла B 1 AE 1 : AF=FE→▲ABB 1 равнобедренный; F=120 ◦ , AE=2∙sin60 ◦ = AE 1 = + 1 2 =2 (из прямоугольного треугольника AEE 1 ) B 1 E 1 =B 1 O 1 +O 1 E 1 =2, поэтому B 1 E 1 =AE 1 . Поэтому по теореме косинусов из треугольника AE 1 B 1 находим косинус нужного угла и получаем ответ. Ответ:

Слайд 6

2 способ Введем прямоугольную систему координат. Найдем координаты необходимых точек: А( 0; 0;0), B 1 (1;0;1)→ {1;0;1} B(1;0;0), D 1 (1; ; 1) → {0; ; 1} 1 , BD 1 )= = = = . Ответ: E 1 D 1 C 1 B 1 A 1 F 1 A B C D E F y

Слайд 7

Задача 2 Точка Е – середина ребра АА 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямыми DE и BD 1 . Решение. Найдем координаты необходимых точек: D(1;1;0), E(1;0;0,5), B(0;0;0), D 1 (1;1;1). Пользуясь формулой, PQ{ x 1 -x 0 ; y 1- y 0 ; z 1 -z 0 } , находим координаты векторов и 1 : { 0; -1; } , 1 {1;1;1;}. Подставляем найденные значения в формулу: cos = Ответ: B 1 A 1 C 1 D 1 B C D A E z y x →

Слайд 8

Уравнение плоскости {A;B;C } – нормальный вектор плоскости Q (x ; y; z) a P (x 0 , y 0 , z 0 ) a {A;B;C} a Q ( x;y;z ) P (x 0 , y 0 , z 0 ) Найдем координаты вектора {x-x 0 ; y-y 0 ; z-z 0 } =0 A (x-x 0 ) + B (y-y 0 )+C(z-z 0 ) =0 Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D =0 , где D= -(Ax 0 +By 0 +Cz 0 )

Слайд 9

Алгоритм нахождения уравнения плоскости 1. Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости A (x 1 , y 1 , z 1 ), B(x 2 , y 2 , z 2) , C (x 3 , y 3 , z 3 ) 2 . Подставим координаты найденных точек в уравнение плоскости Ax+By+Cz+D =0 и, решая систему, находим необходимые коэффициенты A, B, C, D .

Слайд 10

Нахождение угла между двумя плоскостями. 𝛼 : a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0, где a 1 , b 1 , c 1 – координаты вектора нормальной плоскости 𝛽: a 2 x+b 2 x+c 2 z+d=0 , где a 2 , b 2 , c 2 – координаты вектора нормальной плоскости Тогда угол между этими плоскостями будет находиться по формуле: =

Слайд 11

Задача 3 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра: AB=35, AD=12, CC 1 =21. Найдите угол между плоскостями ABC и A 1 DB . B 1 C 1 A 1 D 1 A B C D x z y Решение: Нормаль ВВ 1 (0; 0; 21) . Ax+By+Cz+D =0 A 1 (35;0;21), B(0;0;0), D(35;12;0) A 1 : 35 ∙A+B∙0+21∙C+D=0 B:0 ∙A+0∙B+0∙C+B=0 D=0 D: 35 ∙A+12 B+0 ∙C=0 − решая систему вычитаением получаем: 21С-12В=0 21С=12В 7С=4В; С=4, В=7.

Слайд 12

= = = = Ответ:

Слайд 13

Нахождение расстояния от точки до плоскости Формула нахождения расстояния p от точки M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) , до плоскости α , заданной уравнением Ax+By+Cz+D =0 : p(M; 𝛼)= M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) {A;B;C} α Задача 4. B 1 A 1 C 1 D 1 A B C D T H Решение 1 способ. = DH= = D 1 H= DT= Ответ:

Слайд 14

2 способ Формула нахождения расстояния p от точки M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) , до плоскости α , заданной уравнением Ax+By+Cz+D =0 : p(M; 𝛼)= Введем систему координат: Начало координат в точке В ; Прямая АВ – ось х П рямая ВС – ось у , Прямая ВВ 1 – ось z A(2;0;0), B(0;0;0), C(0;4;0), D(2;4;0), D 1 (2;4;6) A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D z x y O Пусть Ax+By+Cz+D =0 – уравнение плоскости ACD 1 . Подставляя в него координаты точек A, C, D 1 , получим: a= b= c=

Слайд 15

∙ Уравнение плоскости ACD 1 пример вид: ( ABC 1 ): 6 x+3y-2z-12=0; p(D; ACD 1 )= Ответ:

Слайд 16

Заключение Метод координат: Облегчает решение, но не всегда Используется для проверки верности решения задачи стандартным методом

Слайд 17

Список литературы Атанасян , Л.С. Геометрия. [ Текст ] /Л.С. Атанасян , В.Д. Бутузов, С.Б.Кадомцев . – М. : Просвещение, 2013 – 255с. Ященко, И.В. ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С). [ Текст ] / И.В.Яшенко , А.Л. Семенов, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, В.С.Паферов . – М.: «Экзамен», 2013 – 215с Карев, В.М. Краткая Российская энциклопедия: В 3т. Т.1: А – К [ Текст ] /В.М. Карев. – М.: Большая Российская энциклопедия: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»», 2004. – 1135 с. Ященко, И.В. Математика. 30 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. [ Текст ] / И.В.Ященко , А.Л.Семенов . – М.: АСТ: Астрель , 2014. – 159с. Мордкович, А.Г. Математика. Полный справочник для подготовки к ЕГЭ. [ Текст ] /А.Г. Мордкович, В.И. Глизбург , Н.Ю. Лавреньтевна .