Применение метода координат при решении задач

Выбранная нами тема не является случайной. Задачи по геометрии, особенно в разделе «стереометрия» непросты. Ученик, приступивший к решению задачи, должен обладать не только знаниями теории (формулы, свойства, теоремы и т.д.), но и иметь пространственное воображение. При решении задач с объемными фигурами (а именно такие мы решаем, готовясь к ЕГЭ, именно они вызывают у нас сложности в решении), нужно сделать рисунок, т.е. проекцию стереометрической фигуры, а это значит, искажение ее оригинала. И именно начиная с этого момента, ребята могут допускать неточности.

Чаще вызывают трудности задачи, где требуется найти угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями и расстояние от некоторой точки до какой-либо плоскости. Пользуясь школьным учебником «Геометрия» под редакцией Атанасяна, обратим внимание на раздел «Метод координат в пространстве», который значительно облегчит решение задач вышеназванных тем.

Актуальность данной работы заключается в том, что используемый нами метод координат для решения геометрических приносит высокие баллы при выполнении их в ЕГЭ.

Гипотеза – данный метод намного облегчает работу учащегося.

Цель нашей работы – ознакомление с методом координат при решении геометрических задач.

Задача: научиться применять формулы для решения геометрических задач методом координат в пространстве.

Объект исследования: геометрические задачи.

Предмет исследования: применение метода координат к решению геометрических задач.

Методы исследования:

Теоретический – изучение формул темы «Метод координат в пространстве», установление алгоритма решения задач, обобщение полученной информации.

Эмпирический – вычисление угла между скрещивающимися прямыми, между двумя плоскостями, расстояния от точно до плоскости.

Исторические сведения. Декартовы координаты.

Система, состоящая из начала координат и взаимно перпендикулярных координатных осей, называется декартовой системой координат по имени французского философа, математика, физика, физиолога Рене Декарта (1596 – 1650).

Введем декартовы координаты в пространстве. Рассмотрим три попарно перпендикулярные в пространстве прямые (координатные прямые), пересекающиеся в одной точке О (начале координат). Данные прямые попарно образуют три плоскости (координатные плоскости).

Через произвольную точку пространства М, отличную от начала координат, проведем плоскость, параллельную плоскости ХОУ. Эта плоскость пересекает ось OZ (ось аппликат) в некоторой точке. Координатой точки М называется число, равное по абсолютной величине расстоянию от начала координат О до полученной точки пересечения. Аналогично определяются две оставшиеся координаты – х и у.

Таким образом, мы каждой точке пространства, отличной от начала координат, сопоставили тройку действительных чисел – абсциссу х, ординату у и аппликату z М(х; у; z). Координатами начала координат являются значения х=0, у=0, z=0.

Итак, метод координат – это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Система координат – комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение точки, называется координатами этой точки.

Нахождение угла между двумя прямыми.

Возьмем произвольные прямые n и m в пространстве.

– направляющий вектор прямой n.

– направляющий вектор прямой m.

– угол между прямыми.

Введем координаты векторов:

{x1; y1; z1}

{x2; y2; z2}

Для нахождения угла между векторами воспользуемся следующей формулой:

Задача: В единичном кубе A…D1 найдите угол между прямыми AE и BF, где Е – середина ребра A1B1, а F – середина B1C1.

Решение:

1 способ.

K – середина A1D1.
AK||BF.

AE = AK = , КЕ =

KE2=AE2+AK2-2∙AE∙AK∙cosφ

cosφ=0,8

φ=arccos0,8

2 способ.

A(1;0;0); E(1; ; 1):

B(1;1;0); F(; 1;1):

Ответ: 0,8

Уравнение плоскости.

Для решения задач, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости, нахождением угла между двумя плоскостями, выведем уравнение плоскости.

Для этого введем вектор ,
который пересекает плоскость α и
перпендикулярен к ней. Назовем его
нормальный вектор плоскости или
нормаль плоскости.
Введем две точки P и Q, принадлежащие
плоскости α.

{A;B;C}– нормальный вектор плоскости

Q (x;y;z)a

P (x0, y0, z0) a

Найдем координаты вектора {x-x0; y-y0; z-z0}.

Так как вектор и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: =0.

A (x-x0) + B (y-y0)+C(z-z0) =0

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0, где D= -(Ax0+By0+Cz0)

Алгоритм нахождения уравнения плоскости

1. Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости

A (x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C (x3, y3, z3)

2. Подставим координаты найденных точек в уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 и, решая систему, находим необходимые коэффициенты A,B,C,D.

Нахождение угла между двумя плоскостями.

Пусть нам даны две плоскости, заданные своими уравнениями:

𝛼: a1x+b1y+c1z+d1=0, где a1, b1, c1 – координаты вектора нормальной плоскости

𝛽: a2x+b2x+c2z+d=0, гдеa2, b2, c2– координаты вектора нормальной плоскости .

Тогда угол между этими плоскостями будет находится по следующей формуле:

Задача 2.

В единичном кубе A…D1 найдите угол
между плоскостями AD1E и D1FC, где
E – середина ребра A1B1, а F – середина B1C1.

Решение:

A(0;0;0); D1(1;0;1); E

ax+by+cz+d=0

Уравнение плоскости:
AD1E: x+2y-z=0

Вектор нормали плоскости AD1E:

D1 (1;0;1); F; C (1;1;0)

ax+by+cz+d=0

a=2c; b=c; d= 3c

2cx+cy+cz – 3c=0

Уравнение плоскости D1FC: 2x+y+z – 3=0

Вектор нормали плоскости D1FC:

Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Формула нахождения расстояния p от точки
M(x0; y0; z0), до плоскости α, заданной
уравнением Ax+By+Cz+D=0:

p(M;𝛼)=

Рассмотрим применение данной формулы
на примере.

Задача 3.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 со сторонами AB = 2, BC = 4, AA1=6. Найдите расстояние от точки D до плоскости ACD1.

Пусть дана точка M (x0; y0; z0) и плоскость α,
заданная уравнением ax+by+cz+d=0 в
прямоугольной декартовой системе
координат. Расстояние от точки М до плоскости α
можно вычислить по формуле:

p(M;𝛼)=

Введем систему координат:

Начало координат в точке В;
ПрямаяАВ – ось х
Прямая ВС – ось у,
Прямая ВВ1 – ось z
A(2;0;0), B(0;0;0), C(0;4;0), D(2;4;0), D1(2;4;6)

Пусть Ax+By+Cz+D=0– уравнение плоскости ACD1. Подставляя в него координаты точек A, C, D1, получим:

∙

Уравнение плоскости ACD1пример вид:

(ABC1): 6x+3y-2z-12=0;

p(D; ACD1)=

Ответ:

Заключение.

Рассмотрев решения нескольких геометрических задач двумя способами, можно сделать вывод, что метод координат значительно сокращает выполняемые операции при решении задачи, то есть облегчает ее решение. Этот же метод используется для проверки верности решения задачи стандартным методом. Однако в своей работе мы не обратили внимание на то, что если стандартный метод несложен, то не стоит искать другой способ решения задачи. Таким образом, наша гипотеза не подтвердилась. Метод координат не всегда облегчает решение геометрической задачи, но иногда выручает ученика, если у него развито пространственное воображение или элементарно не хватает необходимых знаний для решения задач обычным способом.

Список литературы.

Атанасян, Л.С. Геометрия. [Текст]/Л.С. Атанасян, В.Д. Бутузов, С.Б.Кадомцев. – М. : Просвещение, 2013 – 255с.
Ященко, И.В. ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С). [Текст]/ И.В.Яшенко, А.Л. Семенов, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, В.С.Паферов. – М.: «Экзамен», 2013 – 215с
Карев, В.М. Краткая Российская энциклопедия: В 3т. Т.1: А – К [Текст]/В.М. Карев. – М.: Большая Российская энциклопедия: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»», 2004. – 1135 с.
Ященко, И.В. Математика. 30 типовых вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. [Текст]/И.В.Ященко, А.Л.Семенов. – М.: АСТ: Астрель, 2014. – 159с.
Мордкович, А.Г. Математика. Полный справочник для подготовки к ЕГЭ. [Текст]/А.Г. Мордкович, В.И. Глизбург, Н.Ю. Лавреньтевна.

Весенняя гроза

Рисуем лошадь акварелью

10 зимних мастер-классов для детей по рисованию

Колумбово яйцо

Ель