О трёх типах стационарных периодических волн модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза

                             Автор: Горина Вероника Олеговна

Ученица 10 класса МАОУ «Школа №55»

Научный руководитель

Кузнецов О.Ю,

Учитель физики и математики

МАОУ «Школа №55»

Г.Нижний Новгород

2020

О трех типах периодических стационарных волн модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза

Модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (мКдВ)    

(1),

     является для сред с кубической нелинейностью эталонным уравнением и описывает различные физические явления, в частности, стационарные волны в задаче о взаимодействии электромагнитного излучения с ансамблем не взаимодействующих идентичных электронов – осцилляторов или волны в нелинейных радиотехнических линиях передачи, а также волны в гидродинамике и физике плазмы.

     Исследуем решение (1) в виде стационарных волн. Для этого перейдём к новой переменной                    ,  где    –скорость бегущей волны, распространяющейся слева направо в области положительных x (x – координата, t – время). Тогда из (1) получим уравнение:

=0                                                   (2)

Однократное интегрирование [1] этого соотношения даст уравнение Дуффинга с кубической нелинейностью [2] или уравнение, которое ещё называют уравнением нелинейного осциллятора с потенциальной энергией:

                          (3)

     Постоянная интегрирования выбрана равной нулю:

(4)

          Здесь      

     Форма потенциальной функции с двумя потенциальными ямами и фазовый портрет уравнения (4) приведены на (рис.1 и 2) соответственно.

     Первый интеграл (4) представляет собой выражение:

(5).

Здесь E  имеет смысл «полной» энергии, принимает любые вещественные значения. На (рис.2) видны особые точки (это положения равновесия, когда  = 0, Е = 0), два центра и седло.

Вокруг центров представлены замкнутые траектории на плоскости (;), которые соответствуют периодическим решениям. В самой непосредственной близости от центров фазовые замкнутые кривые

соответствуют квазигармоническим волнам или квазилинейным осцилляциям (рис.3,а, приложение), по мере удаления от центров, но внутри левой и правой потенциальных ям находятся фазовые траектории, соответствующие кноидальным волнам (рис.3,б, приложение).

     Движение по сепаратрисе – это образ уединённых волн типа солитонов (рис.3,в, приложение) [1,2]. Кстати, если рассматривать стационарные волны, бегущие справа налево (при этом ), то фазовый портрет будет иным, т.к. уравнение (4) примет вид:

(6)

А потенциальная функция  станет равной:      

(7)

Она изображена на (рис.4, приложение), из которого видно, что в этом случае могут быть только периодические кноидальные волны (вблизи дна потенциальной ямы, конечно, квазигармонические волны), но нет уединённых волн, солитонов.

     Для того, чтобы при бегущих стационарных волнах (справа налево) появились в решении мКдВ уединённые волны, необходимо, чтобы перед вторым слагаемым в уравнении (1) стоял знак минус. Тогда возможны решения в виде ударных волн или кинков (кинк – антикинк) (рис.5, приложение).

Соответствующая потенциальная функция (8) изображена на (рис.6, приложение):

(8)

     Перейдём теперь к описанию полученных в работе точных аналитических решений в виде кноидальных волн и сильнонелинейных знакопеременных волн.

     В этом заключается научная новизна предлагаемого исследования.

У выражения (5) есть интересное свойство: если известны какие – либо частные решения (5), то - тоже является решением (5).

Докажем  это:

,      (9)

Выражение (5) перейдёт в выражение (10):

(10)

Или:

11)

(12)

Если переобозначить, то  и получим:

(13)

Т.е.  – действительно является решением (5). После того, как было найдено первое периодическое решение уравнения (4):

(14)

Сразу было найдено и второе точное решение уравнение (4) в соответствии с вышеизложенным свойством:

(15)

     В выражениях (14) и (15)   – это эллиптическая функция дельта амплитуды Якоби [4],   – эллиптический модуль.

Для функции (14) связь с :

,    т.к.[4]                    (15а)

А если учесть, что в соответствии с (12):

и                                     (16)

В дальнейшем велись поиски и других периодических решений, и были найдены также ниже следующие решения:

                                                              (17)

Где  - эллиптический косинус.

Причём, выражение (17) описывает сильно нелинейные знакопеременные колебания при . Заметим, что свойство выражения (5), когда известно одно частное решение, то решением является и функция, обратная ему, при  не выполняется.

Для функций  и  выражение для  одинаковые:

                                                                                     (15а)

             (18)

Соответствующая этой функции зависимость   от  выражается формулой:

(19)

Кроме того, было найдено ещё одно точное решение для периодической волны и ему тоже соответствует

(20)

Все эти решения ;;;;– являются периодическими функциями, точными решениями уравнения (4). Вопрос, находил ли кто-либо ранее данные решения, остается открытым.

     Покажем, каким образом, с помощью какого метода данные решения были найдены на примере функции (17). Известны три основные эллиптические функции Якоби:     ;и , которые обладают свойством периодичности, они и подставлялись в исходное уравнение (4) в виде:

                                                                   (21)

     Где  – неизвестные константы. Зная, как вычисляются производные от эллиптических функций [4], выражения (21) подставлялись в уравнение (4), при этом для нахождения неизвестных   получались системы алгебраических уравнений:

                                               (22)

В дальнейшем, для удобства часть обозначений опускаем. Так ;    ;  

 ,                                                                (23)

 ,

Воспользуемся формулами связи между эллиптическими функциями:     ;    и    получим далее:

,

      (25)

   Для того, чтобы выражение слева было равно нулю при любых значениях переменной, необходимо и достаточно, чтобы выражения в квадратных скобках были одновременно равны нулю:

                                         (26)

   Т.к. , то из первого уравнения этой системы находит, что:

                                                                                                             (27)

   И подставляя это выражение (27) во вторые уравнения системы, получаем:

  ,                                     (28)

Важным вопросом является вопрос о том, как выглядят полученные периодические решения.

      Дело в том, что таблиц с подробными значениями эллиптических функций Якоби нет.  Существуют довольно сложные процедуры расчёта отдельных значений этих функций. Всё это трудоёмко и отнимает много времени. Для того, чтобы построить графики полученных в данной работе решений, был выбран следующий путь. Известно разложение в ряд Тейлора в виде первых четырех членов [4]:

                                             (29)

   Здесь

Автору удалось найти несколько следующих членов разложения в ряд этих функций.

     При этом решалось дифференциальное уравнение второго порядка, точным решением которого является функция:

(30)

   А также решалось уравнение (31), точным решением которого является функция :

                                                                   (31)

   Решение (30) искалось в виде ряда:

           (32)

При подстановке (32) в (30) подтвердилось, что ;

;

   А найденные следующие члены разложения , , , выписаны ниже:

                                 (33)

     Использование этих значений коэффициентов, к сожалению, не позволило построить графики функции (17), (18) и (20) при разных . Формулы для коэффициентов разложения функции дельта – амплитуды (14) находятся аналогичным образом при подставки решения в виде ряда в (31) и здесь не приводятся в силу громоздкости выражений и отсутствия в этом особой необходимости. Выяснилось, что для того, чтобы прописать хотя бы полпериода функции эллиптического косинуса, функции дельта амплитуды 7 членов разложения в ряд недостаточно. Этим вопросом автор работы предполагает заняться позднее, т.е. – вывести формулы для членов разложения в ряд Тейлора эллиптических функций Якоби вплоть до (с  по ).

     Понять, как выглядят полученные в данном исследовании функции, точные решения (14), (15), (18) и (20) уравнения (1) можно на основе анализа основных характеристик любой волны – амплитуды и периода (длины волны).

     Докажем, что в области () найдены разные волны, отличающиеся по своим свойствам.

   Но прежде всего заметим, что все функции (14), (15), (18), (20) при переходят в одну и ту же функцию:

                                                                                            (34)

   Это известное выражение для солитона уравнения мКдВ[1,2].

Это факт лишний раз подчёркивает, что действительно  полученные в  работе  решения являются точными решениями исходного уравнения (1). При   функции (14), (15) вырождаются в две точки: , это точки минимума потенциальной функции (3). Функция (17) при этом становится нулём, а вообще она имеет смысл при       .

     Вблизи дна потенциальных ям должны наблюдаться так называемые квазигармонические волны. Их вид легко получить, зная, что при ;  а[4].

Т.к., , поэтому выражение для функции (14) принимает вид:

                          (35)

   Или:

                  (36)

При этом выражение (15) переходит в этом же приближении в выражение:

                                       (37)          

На (рис.7) изображены графики обеих этих функций (36) и (37). Из них видно, что по сути выражения описывают волну одного типа, так как у них совпадают и амплитуды, и периоды колебаний. Отличаются они только фазой.

     Линеаризация уравнения (4) около точек равновесия    даёт выражения для квазигармонических волн примерно такого же, как и (36), (37) вида:

                                              (38)            

Разница лишь в том, что  при процедуре линеаризации может принимать любые значения, но не превышающие существенно значения.

Исходя из описанного ранее свойства выражения (5) и формул (9)-(13), можно найти также решения уравнения мКдВ, симметричные (18) и (20), как и пара выражений (14)-(15).

    Так, для волны, описываемой выражением (18), получим:

                                                                                                    (39)                                                                      

Здесь константа                                                          (40),

которая была найдена  из:              

,  

Для 3-ей волны (20) нетрудно получить формулу зависимости  от , аналогично тому, как это было найдено для двух других волн (14, 15) и (18, 39).  Для этого выражение (20) подставляется в уравнение (5).

                                                                                                   (41)

Построим функции зависимостей энергии   от  для этих трех волн.  На (рис. 8, приложение) приведен график такой зависимости для всех типов рассматриваемых волн.

Анализ функций, описываемых выражениями (14), (18), (20), которые соответствуют точным периодическим решениям исходного уравнения мКдВ, показал, что при одинаковых  значениях эллиптического модуля эти волны имеют разные амплитуды и разные периоды (рис.9, приложение).

Если посмотреть на выражения (14), (18), (20), то можно заметить, что перед эллиптическими функциями в этих формулах стоят выражения, зависящие от модуля, а это влияет на значения амплитуд волн, а в круглых скобках стоят выражения также зависящие от  , т.е. эти выражения пропорциональны частоте и обратно пропорциональны периоду колебаний. Кроме того при анализе поведения полученных точных решений учитывалось и то, что период эллиптической функции   равен (первый эллиптический  интеграл Лежандра, равный      если        мало и увеличивается по значению с ростом     .  При малых значениях эллиптического модуля «красная» волна имеет большую амплитуду, чем «зеленая», но меньший период, а амплитуда 3-ей «синей» волны при этом очень мала по сравнению с другими, но она имеет самый большой период. И форма колебаний «красной» волны более квазигармонична, а «зеленая» по форме кноидальная волна. В области средних  амплитуда «красной» волны увеличивается сильнее, чем амплитуда «зеленой», периоды всех трех волн становятся больше, чем при малых  ,  амплитуда 3-ей «синей» волны тоже становится существенно больше. А при значениях , близких к единице, все три волны резко увеличивают свой период и в пределе  превращаются в солитон (или несколько солитонов).

Приложение.

Рис.1.    Потенциальная функция, соответствующая (5)                             Рис.2. Фазовый портрет уравнения (4).

Рис.3. Виды периодических волн                                                                                        Рис.4. График функции (7).

 сверху а) –квазигармонические волны или

квазилинейные осцилляции, посредине б) – кноидальные волны

 или колебания, снизу в) – солитон.

Рис.5. Ударные волны – «кинк» (синий) и «антикинк» (красный).       Рис.6. Потенциальная функция (8).

Рис.7.Графики функций (36) и (37).                                                Рис.8. Зависимости уровней энергии системы (5) для трех типов периодических волн  

                                                                                                                (15а) – зеленая волна (14,15); (19) – красная волна (18,39);  (41) – синяя волна (20).

Рис.9. Вид всех трех типов волн при одном  (средний                Рис.10. Качественное поведение всех трех типов волн при одной

   диапазон 0,4-0,7)                                                                         амплитуде (разные )

Литература.

1. Н.М.Рыскин, Д.И.Трубецков. Нелинейные волны.-М.:Ленанд, 2017.-312с.

2. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин. Лекции по теории колебаний и волн. Нелинейные колебания. Саратов, 2011, 314 с.

3. Н.А.Кудряшов. Методы  нелинейной математической физики . М.:МИФИ, 2008.-352 с.

4. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М.Абрамовица и И Стиган. М.Наука, 1979. Л.Милн-Томсон. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции. Гл.16, с.381-400.

5. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

6. А.Д.Полянин, В.Ф.Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.-432 с.

7. Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.:Наука,1966, - 228 с.