Применение производной в экономике

Слайд 1

Слайд 2

Определение Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю :

Слайд 3

Историческая справка Русский термин "производная функции" впервые употребил русский математик В.И. Висковатов (1780 - 1812)

Слайд 4

Историческая справка Обозначение приращения (аргумента/функции) греческой буквой Δ (дельта) впервые употребил швейцарский математик и механик Иоганн Бернулли (1667 - 1748)

Слайд 5

Историческая справка Краткое обозначение производной штрихом - f′(x) - принадлежит французскому математику, астроному и механику Ж.Л. Лагранжу (1736 - 1813), которое он ввел в 1797 году

Слайд 6

Производная в экономике На вопрос «что такое производная?» экономист ответит: «Маржинализм». « Marginal » в переводе с английского означает «предельный». Предельными величинами в экономике являются: предельный доход, предельные издержки, предельная полезность, предельная производительность труда. Они характеризуют не состояние, а процесс, т.е. изменение экономического объекта. Поэтому производная показывает скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса с течением времени или по отношению к другому исследуемому фактору.

Слайд 7

Производная в экономике Для исследования процессов в экономике применяют понятие эластичности функции ( Ex,y ), которое показывает предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x, при ∆x → 0:

Слайд 8

Эластичность функции – это изменение одного показателя x по отношению к изменению другого показателя y, от которого зависит первый. Она показывает процентное изменение одной переменной в результате изменения другой на 1 %. Существует несколько видов эластичности: – Эластичность спроса по цене (прямая ): она показывает процентное изменение величины спроса на какое-либо благо при изменении его цены на 1 % и характеризует реакцию потребителей на изменение цен на продукцию .

Слайд 9

– Эластичность спроса по доходу : характеризует относительное процентное изменение величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя на 1 %. Положительная эластичность определяет качественные товары, а отрицательная – некачественные.

Слайд 10

Ценовая эластичность ресурсов : показывает относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс, например, труд, при изменении его цены на 1 %.

Слайд 11

Задача Цементный завод производит Х т цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т цемента в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: K = –x3 + 98x2 + 200x, а удельные затраты составят: K/x = –x2 + 98x + 200 .

Слайд 12

Решение Найдем наибольшее и наименьшее значение функции y = –x2 + 98x + 200 на промежутке [20; 90]. Выведем x = 49 – критическая точка функции. Найдем значение функции на концах и в критической точке: f(20) = 1760; f(49) = 2601; f(90) = 320. Итак, при выпуске 49 т цемента в день удельные издержки максимальны ( т.е экономически это не выгодно), а при выпуске 90 т в день удельные издержки минимальны, значит заводу можно работать на предельной мощности и ещё более усовершенствовать свои технологии, поскольку дальше начнет действовать закон убывающей доходности и без нововведений выпуск продуции не может быть увеличен .

Слайд 13

Источники Сайт https:// www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_0.php Фото Висковатов https :// dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/844339 Фото Бернулли https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8,_% D0%98%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%BD Фото Лагранж https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_% D0%9B%D1%83%D0%B8 Сайт https:// www.top-technologies.ru/ru/article/view?id=31986

Слайд 1

Слайд 2

Производная в физике Механика. Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость. Если закон движения тела задан уравнением s = s ( t ), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо: 1. Найти производную s ' = f ' ( t ). 2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Слайд 3

Функция Формула Вывод m ( t ) – зависимость массы расходуемого горючего от времени. Производная массы по времени есть скорость расхода горючего. T( t ) – зависимость температуры нагреваемого тела от времени. Производная температуры по времени есть скорость нагрева тела. m ( t ) – зависимость массы при распаде радиоактивного вещества от времени. Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада. q ( t ) – зависимость количества электричества, протекающего через проводник, от времени Производная количества электричества по времени есть сила тока . A( t ) – зависимость работы от времени Производная работы по времени есть мощность .

Слайд 4

Задача. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36 км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t 2 Ответ: Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с или 21,6 км / ч

Слайд 5

Задача. Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c , задаётся формулой q ( t ) = 2t 2 + 3t + 1 ( Кул ) Найдите силу тока в конце пятой секунды. Ответ: 23А

Слайд 6

Задача. Найдите величину силы F, действующей на точку массой m , движущуюся по закону х ( t ) = t 2 – 4t 4 (м), при t = 3 с. Ответ: - 430 m

Слайд 7

Производная в химии Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Слайд 8

Пусть дана функция m=m ( t ), где m -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m . Отношение Δm / Δt - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt . Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Слайд 9

Задача. Зависимость между массой х вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением x= 7(1+2e -5t ). Определите скорость химической реакции в момент времени t .

Слайд 10

Решение. Надо найти производную от х по времени t : v=x’=7(1+2e -5t )’=-14*5*e -5t =-70e -5t Ответ: - 70e -5t

Слайд 11

Применение производной в медицине Применение дифференциального исчисления в медицине сводится к вычислению скорости. Например, скорости восстановительных реакций и скорости релаксационного процесса. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, изменении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. С помощью производной можно вычислить, при какой дозе лекарства реакция организма максимальна. С помощью второй производной можно определить условия, при которых скорость процесса наиболее чувствительна к каким-либо воздействиям

Слайд 12

Применение производной в биологии Биологический смысл производной заключается в том, что по известной зависимости численности популяции можно определить относительный прирост особей. Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p ( t ). Пусть Δt -промежуток времени от некоторого начального значения t до t+ Δt . Тогда у+ Δу=p (t+ Δt ) - новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+ Δt , а Δy + p (t+ Δt )- p ( t )- изменение числа особей организмов.

Слайд 13

Задача Зависимость суточного удоя y в литрах от возраста коров х в годах определяется уравнением , где х >2 . Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим .

Слайд 14

Решение Беря во внимание, что х >2 , находим знаки производной на интервалах (2 ;7)u(7;+∞) (лет)- точка максимума, возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим .

Слайд 15

Спасибо за внимание!