Тела вращения в производстве элементов мебели

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Орловская средняя общеобразовательная школа»

Проектно-исследовательская работа на тему:

«Тела вращения в производстве элементов мебели»

Выполнили:

ученицы 8 класса

Ложкина Наталья Сергеевна,

Колесник София Константиновна.

Научный руководитель:

учитель математики и информатики

Демидова Яна Ивановна

п. Орловка, 2019 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………….…3

Основные термины и определения…………………………………………….…5

Применение тел вращения в производстве элементов мебели…………………13

Создание макета дверной ручки…………………………………………………17

Заключение………………………………………………………………………..19

Список использованных источников…………………………………………...20

Приложение……………………………………………………………………….21

Введение

Геометрия изучает не только фигуры на плоскости (планиметрия), но и тела в пространстве (стереометрия). Слово «Стереометрия» произошло от двух греческих слов «стереос» «метрео» тело измерять Все тела в пространстве можно разделить на две большие группы: многогранники и тела вращения (круглые тела).

Тела вращения встречаются в нашей жизни практически на каждом шагу. Это вазы, бокалы, мячи, банки, мороженое, шляпа, глобус, арбуз и многое другое. И также они являются неотъемлемой частью мебели или декора.

Объект исследования: элементы мебели.

Методы исследования: измерение, наблюдение, эксперимент, моделирование, анализ различных источников информации.

Целью работы является изучение основных аспектов по теме "Тела вращения", а также рассмотрение их применения в производстве мебели.

Задачи: изучить основные термины и определения по теме «Тела вращения. Цилиндр, конус, шар»; изучить формулы площади поверхности и объема тел вращения; провести анализ различных источников по данной теме; изучить историю развития тел вращения; выяснить сакральный смысл геометрических фигур на психику человека; выделить некоторые элементы мебели, где применяются тела вращения; создать макет дверной ручки.

Результат исследования: макет дверной ручки.

Начальные сведения о телах вращения и их свойствах относят к тому времени, когда геометрия только зарождалась как будущая математическая наука. За несколько сотен лет до нашей эры земледельцы пытались вычислить количество собранного урожая по размерам куч и ёмкостей, где онхранился. Для астрономических наблюдений необходимо было изучать свойства самого шара и его частей [1].

В современности тела вращения нашли своё применение в различных областях науки. Например:

∙ Физика: луч света имеет форму конуса, вращательное движение тел;

∙ Химия: определение геометрии молекул и длин связи в них;

∙ Астрономия: некоторые объекты космического мира имеют форму тел вращения.

Также тела вращения широко применяются в жизни. Например:

∙ Архитектура: здания, напоминающие по форме тела вращения;

∙ Промышленность: создание различных деталей машин, имеющих форму фигур вращения;

∙ Безопасность жизнедеятельности: использование понятия «конус безопасности» для установки громоотвода;

∙ Быт: сосуды и емкости, имеющие форму фигур вращения [1].

Основные тела вращения, которые изучаются в школе – это цилиндр, шар и конус. И в данной работе мы рассмотрим их применение в производстве элементов мебели.

Основные термины и определения

Тела вращения – это объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Цилиндр

Цилиндр образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.

Слово цилиндр произошло от древнегреческого слова κύλινδρος, что в переводе означает валик, каток. С цилиндром люди знакомы с глубокой древности. Основной практической потребностью стала задача вычисления объёмов, которая и была тогда одним из стимулов развития геометрии. В математике Древнего Востока, в частности в Вавилонии и Египте, был известен ряд правил для вычисления объемов, чаще всего эмпирических. Один древнеегипетский писец Ахмес написал папирус(1800 год до н.э.), который представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер. Одними из таких задач как раз и были задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Также Ахмес хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело к определению числа π [2].

 Прямоугольник  AOO1A1 вращается вокруг стороны OO1.

OO1 — ось симметрии цилиндра и высота цилиндра.

AA1 — образующая цилиндра, длина которой равна длине высоты цилиндра.

AO — радиус цилиндра.

Полученная цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра [3].

Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра. Это сечение является прямоугольником.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т.е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

На рисунке изображён цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра OO1.

ABB1A1 — прямоугольник.

OA=OB=R — радиусы.

OC — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Дуга AB равна центральному углу AOB.

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию, в сечении получаем круг, равный основаниям цилиндра.

Если представить, что боковая цилиндрическая поверхность разрезана по образующей AA1 и развёрнута, получаем прямоугольник.

Сторона AA1 равна высоте H, а другую сторону образует развёрнутая окружность основания длиной 2πR.

Так как развёртка — прямоугольник, то боковая поверхность определяется по формуле:  Sбок.=2πR⋅H.

Основания цилиндра — два круга с общей площадью 2⋅πR2.

Полная поверхность цилиндра определяется по формуле: Sполн.=2πRH+2πR2=2πR⋅(H+R) [3].

Конус

Конус образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.

Конус – латинское слово, заимствованное от древнегреческого слова κώνος, которое в переводе означает сосновая шишка.

История изучения конуса, также как и цилиндра, начинается с Древнего Востока и далее уходит в Древнюю Грецию. Евдокс Книдский дал строгое доказательство теорем, которые служат для вывода формулы объема конуса, используя метод исчерпывания.

В 11-ой книге «Начал» Евклида дается такое определение конуса: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом.

Треугольник POA вращается вокруг стороны PO.

PO — ось конуса и высота конуса.

P — вершина конуса.

PA — образующая конуса.

Круг с центром O — основание конуса.

AO — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось PO конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

APB — осевое сечение конуса.

∡PAO=∡PBO — углы между образующими и основанием конуса.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора — это длина окружности основания конуса длиной 2πR, угол развёртки боковой поверхности α.

В конусе нельзя обозначить угол развёртки. На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Радиус сектора — это образующая конуса.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом l:

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом l, но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом R. Сравним выражения длины дуги и выразим α через R:

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса, не используется угол развёртки боковой поверхности:

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

OO1 — ось конуса и высота конуса.

AA1 — образующая конуса.

Круги с центрами O и O1 — основания усечённого конуса.

AO и A1O1 — радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA1B1B — осевое сечение конуса.

Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:

Так как ΔPAO∼ΔPA1O1, то стороны их пропорциональны:

Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса [3]:

Шар

Шар образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.

Под шаром принято пониматьтело, которое ограничено сферой, то есть считается, что шар и сфера разные геометрические тела. Однако оба этих слова происходят от одного и тогоже греческого слова « сфайра», что в переводе означаетмяч.При этом появление слова «шар» обусловлено переходом согласных сф в ш.

В настоящее время шаром называют сокращенно словосочетание «воздушный шар». Причем это словосочетание имеет два значения: средство передвижения и игрушка.

В древности и сфера и шар всегда были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы. Пифагорейцы в своих в какой-то степени мистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы». По мнению Аристотеля, шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Также он полагал, что Землю окружает ряд концентрических сфер. Сфера и шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники.

Греческий математик Эратосфен подсчитал длину окружности земного шара. Он первый известный ученый определивший, что наша Земля имеет форму шара. И произвел достаточно точные расчеты длины окружности Земли по меридиану [1].

Сферическая поверхность — это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, которая называется центром сферической поверхности.

На рисунке все точки равноудалены от точки C, радиус CA соединяет центр с точкой на сфере.

Шар — это тело, ограниченное сферической поверхностью.

Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара.

Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.

Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов [3].

OO1=d — расстояние между центром шара и плоскостью сечения,

OA=R— радиус шара,

O1A=r— радиус окружности сечения.

Радиус шара – это расстояние от центра шара до любой точки его поверхности.

Площадь поверхности шара можно получить, зная его радиус:

Объем шара можно вычислить, также зная его радиус:

Применение тел вращения в производстве элементов мебели

Тела вращения используются везде и всюду, просто невозможно перечислить всё, что нас окружает в данном виде. Рассмотрим только элементы мебели. Если внимательно посмотреть, то в каждой квартире можно найти деталь мебели, которая будет изготовлена в одной из форм тел вращения. И при этом именно они придают мебели некую изящность, мебель выглядит более дорого.

Известно влияние архитектурных форм на наше самочувствие: в одном здании человек чувствует себя комфортно, в другом – плохо. Пространство и его организация оказывают решающее влияние не только на человека, но и на любое биологическое существо, а архитектурные формы, в том числе, так называемые, городские тела, являются инструментом его организации.

Существуют результаты исследования «влияние пространственных архитектурных форм на психику человека».

Исследование проводилось на выборке 204 человека (141 женщина и 63 мужчины). Возраст: 18-55 лет. При формировании выборки были исключены люди, имеющие архитектурное или дизайнерское образование. Результаты обрабатывались методом контент-анализа. Исследование представляло собой эксперимент с использованием методики, основанной на индивидуальной проективной технике методом вопросов-меню. Испытуемому предлагалось брать по очереди картинки интерьерных пространств, объемы которых созданы на основе круга, квадрата и треугольника (картинки созданы так, что на них присутствует только "голая" форма, все они имеют одинаковый объем, приблизительно одинаковую площадь основания, одинаковую освещенность и цветовую гамму) и мысленно входить в них. Имея на руках список действий, ему нужно отметить желаемые действия и те действия, которые остро не хотелось бы делать. В ходе исследования были выявлены определенные закономерности взаимосвязи между геометрическими характеристиками архитектурно-пространственной формы и психологической реакцией человека на нее.

Рассмотрим лишь интересующие нас фигуры:

1. Куб – сосредоточенность, отсутствие положительных эмоций.

2. Пирамида – сосредоточение внутренних сил (для рывка).

4. Цилиндр – танец, красивые движения, чувство одиночества.

5. Три четверти шара – ощущение гармонии мира.

6. Конус – сосредоточенная внутренняя работа.

7. Шар (сфера) – гармония с природой и космосом.

С точки зрения эниологии – науке об энергоинформационном обмене в природе и обществе, купола и своды обладают свойством распределения концентраций энергонапряжений. Круглым формам присуще равномерное поле без существенных зон напряжений и патогенных аномалий, в отличие от углов, близких к 90 градусам. Обратившись к подобной форме в своей повседневной жизни, человек будет ощущать себя в большей гармонии с природой и космосом. Люди всегда подсознательно связывали божественные энергии со сферическими поверхностями, и это сознание отражалось в культовых постройках (церкви, мечети, святилища и др.). Как правило, все они накрыты полусферой - куполом [4].

Таким образом, не зря говорят, что именно круглые формы благоприятно воздействуют на человека. И поэтому, мы сразу обращаем внимание на детали мебели в форме тел вращения.

Рассмотрим некоторые элементы мебели в форме тел вращения:

1. Кресла

2. Пуфики

3. Подушки - валики

4. Ножки для столов и стульев

5. Столы и стулья

6. Дверные ручки

В данной работе мы решили своими руками сделать дверную ручку из дерева в форме тела вращения.

Создание макета дверной ручки

Для начала мы построили чертеж вида спереди нашей будущей ручки, который состоял из окружности, трапеций и прямоугольника. Измерили его параметры, такие как радиус окружности, высота трапеций и длина их оснований, а также длина и высота прямоугольника.

Далее перенесли эти данные в трехмерное пространство, где радиус окружности соответствует радиусу шара, высота трапеций и длины их оснований – высоте и диаметрам оснований усеченных конусов, а длина и высота прямоугольника – это диаметр и высота цилиндра.

Таким образом, получаем:

1) диаметр шара равен 4 см, т.е. радиус равен 2 см, значит, площадь его поверхности будет приблизительно равна .

2) радиусы оснований верхнего усеченного конуса равны 1,25 см и 1 см, а образующая его – 0,7 см, откуда получаем, что площадь поверхности составляет приблизительно 13 см2.

3) радиусы оснований верхнего усеченного конуса равны 1 см и 1,35 см, а образующая его – 1,5 см, откуда получаем, что площадь поверхности составляет приблизительно 20 см2.

3) радиус цилиндра равен 2 см, а высота его – 0,7 см, таким образом, площадь поверхности будет приблизительно равна .

В итоге, сложив все площади, получаем общую площадь поверхности ручки, приближенное значение которой будет равно  . А это значит, что брусок, из которого нужно будет сделать ручку, должен иметь площадь не менее .

Аналогично, вычислив объем каждой фигуры, найдем общий объем детали. Он будет равен приблизительно .

Таким образом, для того, чтобы получить нужный нам результат, брусок должен быть площадью не менее  и объемом не менее .

В итоге, применив полученные результаты, мы сделали макет дверной ручки.

Заключение

Математика имеет большое значение в жизни людей. Не проходит и дня, чтобы мы не столкнулись с математикой. Тела вращения тоже встречаются нам каждый день, мы знакомы с ними с детства. Каждый играл с мячом, пока ещё не зная, что это шар. В каждом предмете, окружающем нас мы можем найти тела вращения, например, бутылка – это немного измененный цилиндр. На протяжении всей истории человечества тела вращения восхищали совершенством форм и широтой областей, в которых их можно применять. В обычной жизни люди, не связанные с математикой, и возможно, последний раз встречавшиеся с ней в школе, постоянно встречают тела вращения и решают задачи с ними связанные, хотя многие об этом не догадываются.

Тела вращения находят своё широкое применение при дизайне и создании мебели, их можно найти во многих уголках наших комнат, зачастую именно они являются украшением или той изюминкой интерьера, которая сразу бросается в глаза.

Список использованных источников:

1. Микацадзе Юлия Александровна. История изучения элементарных тел вращения как одно из средств формирования познавательного интереса приизучениитемы «Тела вращения» – г. Ульяновск, Россия – 12 с.

2. Хрестоматия по истории математики /под ред. А. П. Юшкевича. ‒ М. : Просвещение, 1977. ‒ 224 с

3. https://www.yaklass.ru/p/geometria/11-klass/tela-vrashcheniia-10442

4. http://novikov-architect.ru/sacral-arch_vliyanie_formi.htm

Приложение 1.