Исследовательская работа "Дельтоид"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа № 7" города Когалыма

Исследовательская работа
Дельтоид

Автор: Полякова Анастасия ,

8 «И» МАОУ СОШ №7

Руководитель:

Ионга Ирина Николаевна,

учитель математики

г. Когалым, 2019

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение………………………………………………………………………………...3

2. Дельтоид………………………………………………………………………………...4
   2.1 Определение дельтоида……………………….........................................................4

    2.2 Признаки дельтоида………………………………………………………………..5
   2.3 Свойства дельтоида………………………………………………………………...7

    2.4 Формула площади дельтоида……………………………………………………...7

3. Решение задач…………………………………………………………………………..8

4.Заключение……………………………………………………………………………..10

5. Список используемых источников…………………………………………..………10

ВВЕДЕНИЕ

В школе на уроках геометрии мы изучали различные четырехугольники. Узнав про дельтоид, я решила дополнительно изучить различные его свойства и признаки.

АКТУАЛЬНОСТЬ

Дельтоид – сложная, но интересная геометрическая фигура. Поискав информацию про дельтоид в различных школьных учебниках геометрии, я ничего не смогла найти. Именно поэтому будет очень интересно изучить эту геометрическую фигуру и научиться решать задачи, применяя ее свойства. Я считаю, что изучение дельтоида актуально для школьников, так как некоторые задачи в геометрии можно решить с помощбю его свойств.

Объект исследования: четырехугольник дельтоид

Цель: изучить дельтоид как геометрическую фигуру

Задачи:

- сформулировать определение дельтоида

- доказать признаки и рассмотреть свойства дельтоида

- рассмотреть формулу для нахождения площади дельтоида

- научиться решать задачи по теме «Дельтоид»

Объект исследования: дельтоид.

Предмет исследования: свойства и признаки дельтоида.

Метод исследования: изучение свойств, признаков дельтоида и задач про дельтоид.

ДЕЛЬТОИД

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЛЬТОИДА

Дельтоид – это четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины, причем равными являются две пары смежных сторон.

Дельтоид бывает выпуклым и невыпуклым.

Дельтоид имеет две диагонали – главную и неглавную.

Дельтоид часто встречается в окружающем нас мире. Например, воздушный змей имеет форму дельтоида.

ПРИЗНАКИ ДЕЛЬТОИДА

Первый признак дельтоида: если в четырёхугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то такой четырёхугольник – дельтоид.

Давайте докажем первый признак дельтоида.

Дано: ABCD – четырехугольник, AC ⊥ BD, AC – биссектриса, ∠BCO=∠OCD, ∠BAO=∠OAD

Доказать: ABCD – дельтоид
Решение.

Докажем, что BC=CD и BA=DA.

Рассмотрим △BCO и △DCO. Они равны по 2 признаку равенства треугольников (CO – общая, ∠BCO=∠OCD(по условию), ∠COD=∠COB(по условию)). Поэтому, BC=CD.
Рассмотрим △BAO и △DAO. Они равны по 2 признаку равенства треугольников (AO – общая, ∠BAO=∠DAO(по условию), ∠BOA=∠DOA(по условию)). Поэтому, BA=DA.

Из этого следует, что ABCD – дельтоид, чтд.

Второй признак дельтоида: если в четырёхугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то такой четырёхугольник дельтоид.

Докажем второй признак дельтоида.

Дано: ABCD – четырехугольник, AC ⊥ BD, BO=OD

Доказать: ABCD – четырёхугольник

Решение.

Докажем, что BC=CD и BA=DA.

Рассмотрим △BCO и △DCO. Они равны по1 признаку равенства треугольников (CO – общая, BO=OD (по условию), ∠COD=∠COB(по условию)). Поэтому, BC=CD.

Рассмотрим △BAO и △DAO. Они равны по 1 признаку равенства треугольников (AO – общая, BO=∠OD(по условию), ∠BOA=∠DOA(по условию)). Поэтому, BA=DA.

Из этого следует, что ABCD – дельтоид, чтд.

СВОЙСТВА ДЕЛЬТОИДА

• Углы между сторонами неравной длины равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон
• Для любого невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух больших сторон и продолжений двух меньших сторон, и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.
• Точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
• Другая диагональ является биссектрисой углов.
• Одна диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.
• Другая диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый, и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он невыпуклый.

ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ДЕЛЬТОИДА

Площадь дельтоида, можно найти по формуле: S = (a + b) r, где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Я нашла в интернете несколько интересных задач про дельтоид. Давайте решим их.

Задача 1.

Дано: ABCD – дельтоид, AD=2AB, P=60см
Найти: AB, BC, CD, AD

Решение:

Так как ABCD – дельтоид, то AB=DC и AD=DC
Пусть AB – х, тогда AD – 2х
Составим уравнение:
х+х+2х+2х=60

6х=60
х=10

AB=BC=10
AD=CD=2AB=10*2=20
Ответ: 10,10,20,20

Задача 2.

Построить дельтоид по двум неравным сторонам и диагонали.

1. Построим отрезок AC
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AC.
3. Построим окружность с радиусом a и центром в точке A.
4. Найдем точку B пересечения окружности и перпендикуляра с.
5. Построим отрезки AB и BC.
6. Построим окружность с радиусом b и центром в точке А.
7. Найдем точку D пересечения окружности и перпендикуляра с.
8.  Построим отрезки AD и CD.

Задача 3.

Дано: ABCD – дельтоид, Р△ABD=15см, BD=6см, OC=4см

Найти: PABCD

Решение:

AD+AB= Р△ABD-BD=15-6=9см

DO=OB=6:2=3см

DC====5

PABCD=DA+AB+BC+DC

PABCD=9+5+5=19см

Ответ: 19 см

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, было дано определение дельтоида, были рассмотрены его свойства и формула его площади. Были рассмотрены задачи на применение свойств дельтоида и задачи на нахождение его площади. Цель работы выполнена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%B8%D0%B4

https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm