Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 223.95 КБ |
II Ямало-Ненецкий окружной тур Всероссийского конкурса
исследовательских работ учащихся 5-7 классов
«Тропой открытий В.И. Вернадского»
Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге
Направление: естественнонаучное
Кузьмин Владислав Сергеевич, обучающийся 6б класса МБОУ «ООШ №3» | |
Руководитель: Мунирова Мария Сергеевна, учитель математики МБОУ «ООШ №3» |
Губкинский 2019
Аннотация
В данной работе проводится исследование методов нахождения площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Рассматриваются произвольные выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Для нахождения площадей данных фигур рассмотрены 3 способа: разбиение на прямоугольные треугольники, дополнение до прямоугольника, формула Пика. Все используемые методы и расчеты верны, так как результаты вычислений совпадают. В работе используются рисунки, показывающие способ разбиения на прямоугольные треугольники, дополнение до прямоугольника или квадрата, а также рисунки для работы с формулой Пика. В конце работы приведен анализ методов исследования, сделаны выводы о необходимости изучения дополнительных методов нахождения площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.
Введение
Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было сооружать жилища, прокладывать дороги, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры. В наше время эта проблема не менее актуальна, но с помощью различных средств вычисление площадей и длин занимает минуты. После изучения четырехугольников, площади которых находятся по готовым формулам, таких как квадрат, прямоугольник и прочие, ученик задастся вопросом: как найти площадь произвольного четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге? Какие существуют способы?
Цель работы: исследование способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.
Задачи:
Объект исследования: задача по нахождению площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге.
Предмет исследования: варианты нахождения площади многоугольника.
Методы исследования: сравнение, моделирование, обобщение, анализ, аналогии, классификация информации.
Способы исследования
В процессе исследования будем находить площадь четырехугольника на клетчатой бумаге тремя способами.
Первый способ состоит в разбиении многоугольника на прямоугольные треугольники или прямоугольники с вершинами в узлах сетки.
Идея второго способа в том, что от площади основного прямоугольника вычитаются площади прямоугольных треугольников или прямоугольников.
Третий способ заключается в применении формулы Пика.
Если все используемые методы и расчеты будут верны, то площади будут равны.
Способ 1: разбиение на прямоугольные треугольники и прямоугольники
Смысл данного способа заключается в разбиении многоугольника на прямоугольники или прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.
Ответ: 8,5
Способ 2: дополнение до прямоугольника
Смысл данного метода заключается в дополнении многоугольника до прямоугольника, а затем в вычитании лишних частей.
Дополним до прямоугольника так, чтобы его стороны
проходили через вершины четырехугольника. Будем иметь прямоугольник со сторонами 3 и 5 (рис.2).
2.Найдём площадь прямоугольника и четырех треугольников Sкв=3*5=15, S1=½*2*2=2, S2=½*1*4=1, S3=½*1*3=1,5, S4=½*1*2=1
3. Найдём площадь четырёхугольника как разность прямоугольника и треугольников S = Sпр - (S1+S2+S3+S4) = 15-(2+1+1,5+1) =8,5
Ответ: 8,5
Способ 3: формула Пика
Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе (рис.3). В данном случае В=7, Г=5.
Площадь прямоугольника равна S=В+Г/2-1=7+5/2 -1= 8,5.
Ответ: 8,5
Вычисление площади невыпуклого многоугольника
Способ 1 не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить на прямоугольники или прямоугольные треугольники.
Способ 2
1. Дополним фигуру до квадрата со стороной 6 (рис.4)
2. Найдём площадь квадрата и четырех треугольников Sкв=6*6=36, S1=½*2*6=6, S2=½*3*6=9
S3=½*2*3=3, S4=2*3=6
3.Найдём площадь искомого четырёхугольника
S=Sкв - (S1+S2+S3+S4) =36-(6+9+3+6)=12
Ответ: 12
Способ 3
Количество узлов, лежащих внутри В=9, количество узлов на границе Г=8 (рис.5), S=В+Г/2-1, S=9+8/2-1=12
Ответ:12
Анализ способов нахождения площади четырехугольника
на клетчатой бумаге
Положительные характеристики методов: простота подсчёта площади фигур; небольшое количество вершин; краткость формулы: S=В+Г/2-1; простота алгоритма.
Отрицательные характеристики: множество действий; сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы; фигуры с большим количеством узлов; невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольные треугольники.
Заключение
Данная работа помогла расширить знания по решению задач на клетчатой бумаге и нахождению площадей фигур и убедиться существовании дополнительных способов вычисления площади многоугольника.
В данной работе были рассмотрены 3 способа нахождения площади. Конечно, существуют и другие методы.
Данная работа имеет практическую значимость, так как такой тип задач, где фигура изображена на клетчатой бумаге, встречаются в заданиях ЕГЭ и ОГЭ, поэтому следует знать несколько способов вычисления площади многоугольника.
Задачи, поставленные в начале работы, были выполнены, цель достигнута. Исследуемый вопрос достаточно полезен.
Любой из рассмотренных способов применим для решения задач.
Литература
Астрономический календарь. Октябрь, 2018
Знакомые следы
Чья проталина?
Свинья под дубом
Ель