Заход Солнца и тригонометрическая функция синус.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 1» п. Пуровск Пуровского района

Научно-практическая конференция школьников

«Я намечаю путь к открытию…»

Секция: Математика и информационные технологии, программирование.

4(А) Прикладная математика. Математика и компьютерные науки.

Заход Солнца и тригонометрическая функция синус.

Выполнена обучающейся 10 класса

муниципального образовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа № 1»

п. Пуровск Пуровского района

Палий Дарьей Витальевной

Научный руководитель – учитель

муниципального общеобразовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа № 1»

п. Пуровск Пуровского района, учитель математики,

Бирюкова Вера Николаевна

п. Пуровск

2017 г.

Оглавление

Введение …………………………………………………………………………………… 3 – 4

Актуальность………………………………………………………………………………..    3

Формулировка проблемы…………………………………………………………………..     3

Цель, объект и предмет исследования …………………………………………………….    3

Гипотеза ……………………………………………………………………………………..    3

Задачи исследования…………………………………………………………………………   3

Методы и приёмы исследования ……………………………………………………………   4

Новизна исследования ……………………………………………………………………….   4

Основные этапы исследования ………………………………………………………………  4

Практическая значимость …………………………………………………………………….  4

Основная часть ……………………………………………………………………………… 5 – 11

Глава I ……………………………………………………………………………………….   5 – 6

1.1.Практическая значимость функциональной зависимости …………………………….    5

1.2. Восход и заход Солнца …………………………………………………………………. 5 – 6

Глава II ……………………………………………………………………………………….. 6 – 10

2.1. Графики захода Солнца и функции у = sin x ………………………………………….  6 – 8

2.2. Сопоставление свойств …………………………………………………………………  8 – 10

Заключение …………………………………………………………………………………..     11

Список используемой литературы …………………………………………………………     12

Заход Солнца и тригонометрическая функция синус.

Палий Дарья Витальевна

ЯНАО, Пуровский район, п. Пуровск

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа №1»

10 класс

Пристальное, глубокое изучение природы

           есть источник плодотворных открытий

                                                                                                           математики.

                                                                                                                    Ж. Фурье

Описание работы

  Введение

Актуальность: взаимосвязь окружающего нас мира и математики очевидна. И красоту математического языка можно показать, не только решая сложные математические задачи, но и объясняя явления, происходящие в нашей жизни.

Материал по тригонометрии сложен для понимания, поэтому изучение тригонометрической функции можно провести с помощью графика захода Солнца, учащимся такое объяснение  будет интересно и более понятно.

Формулировка проблемы: можно ли тригонометрическую функцию у = sin x изучить с помощью графика захода Солнца в городах не только Центральной России, но и в городе, расположенном в Ямало-Ненецком автономном округе.

Цель исследования: выяснить, могут ли заход Солнца и функция у = sin x иметь что-то общее.

Задачи исследования:

• изучить литературу по теме: заход Солнца и тригонометрические функции;
• проанализировать время захода Солнца в зависимости от даты для городов: Сочи, Москва, Тарко-Сале;
• сделать выводы по анализу полученных результатов;
• подчеркнуть красоту математических закономерностей, которые описывают явления окружающей действительности;
• обратить внимание на важность математики как «царицы наук».

Объект исследования: Солнце  и тригонометрическая функция синус.

Предмет исследования: Заход Солнца и график функции   у = sin x.

Гипотеза: изучение функции у = sin x можно провести с помощью графика захода Солнца.

Методы и приёмы исследования:

• получение информации из различных источников по интересующей проблеме;
• изучение  и анализ собранного материала;  
• графические методы обработки результатов;
• обобщение результатов исследования.

Новизна исследования: на сегодняшний день существуют работы, посвящённые данной теме, но интересно изучить эту тему на примере городов России, расположенных в разных северных широтах, включая город, расположенный на крайнем севере: Тарко – Сале.

Основные этапы исследования:

на первом этапе – аналитическом – проводился анализ статей по данной теме, были определены  объект и предмет исследования;

 на втором этапе - были определены цель и задачи работы;

на  третьем этапе – разработаны основные положения исследования, гипотеза;

на  четвёртом этапе – итоговом - осуществлялось обобщение результатов работы, проводился анализ и уточнение выводов исследования, оформлялся текст работы и презентация.

 Практическая значимость данной работы: выявив взаимосвязь  между явлением и математическим понятием, сделать вывод о значимости математики в нашей жизни. Полученные выводы позволяют «материализовать» математическое понятие, извлекать из математической теории практические выводы: помогут учащимся в создании прочных пространственных представлений о реальном пространстве, что очень важно для обучающихся. Данной работой может воспользоваться преподаватель при изучении тригонометрической функции у = sin x.

Структура исследовательской работы:

1. Выбор городов России для построения графика захода Солнца. Определение географических координат выбранных городов. Составление таблиц даты захода Солнца в течение 2016 года на первое число каждого месяца в городах: Сочи, Москва, Тарко – Сале.

2. Построение графиков по данным значениям   из таблиц. Рассмотрение преобразования графика функции у = sin x. Сравнение графиков тригонометрических функций и графиков захода Солнца.

3. Сопоставление свойств.

4. Вывод полученного результата.

Заход Солнца и тригонометрическая функция синус.

Палий Дарья Витальевна

ЯНАО, Пуровский район, п. Пуровск

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1»

10 класс

 Основная часть.

Глава I

1.1. Практическая значимость функциональной зависимости.

    Трудно переоценить образовательное, воспитательное и практическое значение графика, как способа выражения функциональной зависимости. С построением графика связано изучение свойств функции, развитие мышления и решения целого ряда задач, убеждающих их в практической значимости теории.

    Многочисленные примеры движений в окружающем мире позволяют обосновать практическую значимость математической теории. Мы видим преломление абстрактных математических понятий в реальной действительности, что значительно расширяет наш кругозор, делает предмет математики интересным, а знания осмысленными и глубокими, неформальными. Например, форму параболы принимает струя воды, бьющая из шланга, по параболе летит мяч или камень; то есть – парабола- это траектория движения материальной точки, брошенной в наклонном или горизонтальном направлении. [5]

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Гюйгенса, Лейбница, одним из основных стимулов, для которых было постичь законы движения тел, они говорили, что математика – это часть физики.

Механические колебания, движения при плавании; движения ползущей змеи, движения китов, дельфинов – графики получаются в результате наблюдений из повседневной жизни, они идут по волновой линии. [5]

1.2. Восход и заход Солнца

Такие астрономические явления, как заход Солнца и восход Солнца происходят каждый день  в разное время и только благодаря вращению вокруг Солнца. В другом случае, небесное светило было бы в постоянном зените, что лишило бы Землю не только восходов и заходов, но и сама жизнь на планете бала бы невозможной.

Заходом и восходом называют промежутки времени, когда верх края Солнца находится на одном уровне с линией горизонта.

Большинство людей знают, что Солнце восходит на востоке и заходит на Западе, однако это не более чем обобщение. На самом деле это бывает только два дня в году – во время весеннего и осеннего равноденствия. В другие дни Солнце восходит с севера на юг. Ежедневно точки, в которых происходит заход Солнца и восход Солнца незначительно перемещаются. В день летнего солнцестояния оно восходит по максимуму к северо - востоку. Каждый день после этого светило поднимается чуть-чуть южнее. В день осеннего равноденствия Солнце восходит строго на востоке и заходит на западе.

С давних времён люди отслеживали рост и параметры точек восхода и захода Солнца с большой детализацией. Таким образом, в древности можно было ориентироваться во времени при помощи зубчатых вершин гор вдоль линии горизонта, или при помощи стоячих камней, выстроенных особым образом. [10]

Заход светила - это пересечение светилом западной части горизонта и его переход на невидимую часть неба.  [8]

    В течение ряда лет люди излагали первоначальные  сведения о тригонометрических функциях, исходя из наблюдений картины движения Солнца по небесной сфере и описания зависимости момента захода Солнца от даты календаря.

    В статье одного из учителей математики Х. Шенфельда школы  города Берлина, рассказывается, что получить сведения о тригонометрических функциях можно получить исходя из наблюдений картины движения Солнца по небесной сфере и описывая зависимость момента захода Солнца от даты календаря. Автор приводит пример графика для города Берлина. [7]

    В статье Л.И. Серовой «Нетрадиционные подходы к изучению функций в школе» также приведены примеры построения графика движения Солнца по небесной сфере для городов Москва и Волгоград.

    Во всех случаях замечено, что множество точек расположено вдоль волновой линии. Кроме того, во всех случаях получили график синуса с некоторыми отклонениями от «идеального». И свойства тригонометрической функции у = sin x можно сформулировать, анализируя график захода Солнца.[5]

    Нам захотелось проверить эти факты на примере трёх городов, причём все три города расположены в разных географических широтах. Сравнить результаты и построенные графики.

Глава II

2.1.

 Графики захода Солнца  и тригонометрической функция у = sin x.

    Для того чтобы выяснить, в чём сходство между заходом Солнца и функцией синус, был составлен дневник захода Солнца в 2016 году для городов: Сочи, Москвы, Тарко – Сале.

 Город Сочи  - географические координаты: 43° 35минут 7 секунд северной широты 39° 43минуты 13 секунд восточной долготы.

Город Москва  - географические координаты: 55° 45 минут 7 секунд северной широты 37° 36 минут 56 секунд восточной долготы.

 Город Тарко – Сале  - географические координаты: 64° 54 минуты 53 секунды северной широты 77° 46 минут 22 секунды восточной долготы. .[9]

Затем все полученные точки были нанесены на координатную плоскость и плавно соединены. В прямоугольной системе координат по оси ОХ отмечали дату захода Солнца в месяцах, а по оси ОУ время захода Солнца в часах. Ось абсцисс совмещается со средним временем – 18 часов, так как при сложении всех временных отрезков, а затем делении полученной суммы на 12 месяцев, в среднем выходит 18 часов.

Заход Солнца в Сочи

График захода Солнца в городе Сочи

Заход Солнца в Москве

График захода Солнца в городе Москве

Заход Солнца в Тарко-Сале

График захода Солнца в городе Тарко-Сале.

    Если взять график функции у = sin x

 и рассмотреть график, например, на промежутке от -  до , то видим, что графики захода Солнца и функции синус похожи. [4]

     Из графиков видно, что каждому дню соответствует ровно один момент захода Солнца; день, когда Солнце не заходит во всех трёх случаях не существует.

Таким образом, каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент у их множества У. А это и есть определение функции.

Замечание:

В России есть территории, где Солнце не заходит. Исключения составляют города, расположенные на полярном круге и за полярным кругом. Например, в городе Салехарде, расположенном на полярном круге, полярный день, то есть день, когда Солнце не заходит, продолжается с 5 июня по 5 июля. В городах, расположенных за полярным кругом: в  Мурманске полярный день  - с 20 мая по 21 июля, Норильске – с 19 мая по 23 июля, в Воркуте – с 29 мая  по 14 июля. А на самом Северном полюсе полярный день длится до 186 суток.  [3]  

Полярные области в данном случае не рассматриваются, так как это отдельный разговор.

2.2. Сопоставление свойств.

Область определения.

Солнце будет жить много миллионов лет! Примерно через 5 миллиардов лет водородное горючее Солнца выгорит и Солнце станет ярче  в сотни раз. [2]

Солнечная система существует достаточно долго, и будет существовать в будущем, поэтому можно считать, что область определения: х принадлежит множеству действительных чисел.

Множество значений функции.

Момент захода Солнца в городах лежит в определённых границах - Сочи: 16:54 ≤ t ≤ 20:06; Москва: 16:07 ≤ t ≤ 21:16; Тарко – Сале: 13:50 ≤ t ≤ 22:37.

Точно так же функция у = sin x принимает свои значение на отрезке: - 1 ≤ sin x ≤  1, а функция

 у = m·sin x принимает свои значения: - m  ≤ m·sin x ≤  m.

Действительно, построив график зависимости захода Солнца, например, для города Сочи, можно получить аналогичный график для более высоких широт путём растяжения от оси ОХ. Это просматривается на вышивке, где изображены графики для трёх выбранных городов в одной координатной плоскости, и чертеже графиков функций вида

 у = m·sin x: у = sin x, y = 3sin x (коэффициент растяжения равен 3), y = 0,5sin x (коэффициент сжатия равен 2). [4]

Наименьший период.

Построив графики захода Солнца для одного года, стало ясно, что моменты захода Солнца повторяются в той же последовательности, так как полный оборот Земли вокруг Солнца осуществляется за год. Поэтому при построении графика достаточно ограничиться одним периодом с первого января по 31 декабря.

Промежутки возрастания и убывания.

Начиная с 21 декабря, продолжительность светлого времени суток возрастает до 21 июня, а после 21 июня продолжительность светлого дня убывает. Что говорит о возрастании и убывании функции.

Нулевые точки (корни)

Начало осени и начало весны соответствуют нулевым значениям функции.

 Выводы:

Подведя итоги главе II необходимо подчеркнуть, что в ходе проведённого исследования было выявлено, что графики захода Солнца и функции у = sin x имеют много общего: область определения; область значений – отрезок; промежутки возрастания и убывания; имеют период; нулевые точки. Поэтому изучение графика функции можно провести с помощью графиков захода Солнца любого города России, расположенного до полярного круга.

 Тогда материал для учащихся будет более понятен и хорошо запомнится.

Следовательно,  процесс захода Солнца описывается тригонометрической функцией синус.

Заход Солнца и тригонометрическая функция синус.

Палий Дарья Витальевна

ЯНАО, Пуровский район, п. Пуровск

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №1»

10 класс

Заключение.

    Математика - это красота, вдохновение творцов, восхищение тех, кто способен оценить её достижения.

    Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие учёные видели задачу в содействии законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова: «Великая книга природы написана языком математике». В чём и убедились, проведя данное исследование.

В современном мире без математики никуда, какую бы область не брали, она всюду с нами.  

И так, изучение функции синус можно провести на примере графика захода Солнца.

В перспективе было бы интересно изучить график захода Солнца в южных  и заполярных широтах. Скорее всего, график захода Солнца в южных широтах будет похож на графики в северных широтах, а вот как будет выглядеть график захода Солнца для заполярных широт, и с какой функцией он будет иметь что-то общее это очень интересно. Ясно одно, что график  захода Солнца в заполярных широтах будет прерываться. Исследования в этом направлении могут быть продолжены.

Назначение работы.

Результаты нашего исследования  могут быть использованы   учителем при подготовке к  изучению тригонометрической функции у = sin x, а учащиеся, изучая свойства тригонометрической функции на примере графика захода Солнца, смогут лучше запомнить материал.

Данная исследовательская работа доказала, что математика и явления неразделимы.

Что дала работа самому исследователю.

До процесса написания работы трудно было представить, что заход Солнца может иметь что-то общее с тригонометрической функцией синус. В процессе работы над исследованием был приобретен опыт сравнения результатов, опыт построения графиков, умение провести анализ, выявить общее. Результаты исследования заставили ещё раз задуматься о значимости математики в нашей жизни.  

Список используемой литературы

1. Живаго О.А. Большая книга «Почему»: Пер. с итал. – М.: РОСМЭН, 2010 – с. 35.
2. Комиссарова Е.В., Жукова В.А. Большая энциклопедия «Почемучек»: пер. с англ. – М.: РОСМЭН, 2009 – с.171.
3. Маркин В.А. Детская энциклопедия. География. «Я познаю мир». – М. АСТ, 1996 – с.15.
4. Мордкович А.Г., П.В. Семёнов «Алгебра и начала математического анализа». Учебник 10-11 классов для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов изд., – 5-е, М.: Мнемозина, 2014 г, 423 с.
5. Серова Л.С. «Нетрадиционные подходы к изучению функций в школе». Фестиваль «Открытый урок», Москва, 2010 г.
6. Смирнова И.М. «Необычный способ получения синусоиды», журнал «Математика в школе» № 3, 1993 г.
7. Шенфельд Х. «Что общего между заходом Солнца и функцией синус?», журнал «Математика в школе» № 2, 1993 г.
8. Энциклопедия для детей Аванта. Универсальный иллюстративный энциклопедический словарь. – М.: 2003, 684 с.
9. Материалы из Интернета: ru.wikipedia.orq/wiki/Москва; ru.wikipedia.orq/wiki/Сочи; ru.wikipedia.orq/wiki/Тарко-Сале.
10. http://fb.ru/artikle/209525/zakat -solntsa - i - voshod – solntsa-svetovoqo – dnya.