Презентация на тему: "Многогранники"

Слайд 1

“ Смоленский автотранспортный колледж им. Е.Г. Трубицына ” Тема :” Многогранники ” Выполнил студент группы ТОР-12 : Васильев Павел Смоленск 2018

Слайд 2

Цели : Узнать , что такое многогранники Как они изображаются геометрически Изучить свойства и виды

Слайд 3

Задачи : Достигну цели изучив материал в интернете и в книгах по геометрии.

Слайд 4

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигур. Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником .

Слайд 5

Многоугольники, из которых составлен многогранник , называются его гранями. Стороны граней называются ребрами , а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью , а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Слайд 6

Общие свойства многогранников : Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней). Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней.

Слайд 7

Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Слайд 8

Многогранники можно условно разделить на: Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела). Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Слайд 9

Призма и её свойства Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов .

Слайд 10

Призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как : Параллелепипед – это призма , если в основании лежит параллелограмм.

Слайд 11

Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами равны противоположных сторон. Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра. Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием. Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.

Слайд 12

Изображение призмы в стереометрии

Слайд 13

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A 1 .A 2 ...A n и B 1 B 2 ...B n и называют n-угольной призмой. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы . Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае- наклонной . Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если её основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани- равные прямоугольники.

Слайд 14

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей её боковых граней. Площадь S полн полной поверхности выражается через площадь S бок боковой поверхности и площадь S осн основания призмы формулой S полн = S бок + 2S осн* .

Слайд 15

Основные свойства призмы: Равны основания. Все боковые рёбра призмы равны и параллельны. Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Слайд 16

Параллелепипед Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом . Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными , а не имеющие общих ребер – противоположными . Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда . Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда . Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.

Слайд 18

Свойства параллелепипеда: Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Слайд 19

Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Длины трёх ребер, имеющих общую вершину, назовём измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Слайд 20

B 1 D - диагональ ; AD,AB,AA 1 -Измерения A 1 D 1 DA- Грань

Слайд 21

Теорема : Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Свойства: В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

Слайд 22

Пирамида Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n- го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.

Слайд 23

Изображение пирамиды в стереометрии

Слайд 24

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей: Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Слайд 25

Свойства пирамиды: В случае если все боковые рёбра пирамиды равны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра равны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Слайд 26

Апофема Апофема (от греч. apotithemi - откладываю) отрезок (а также его длина) перпендикуляра а, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон в правильной пирамиде апофема - высота боковой грани. ON- апофема.

Слайд 27

Площадь полной поверхности пирамиды L - апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С , на ребро основания АВ ) P - периметр основания S осн - площадь основания

Слайд 28

Теорема : Если пирамиду пересечь плоскостью , параллельной основанию , то : 1)боковые ребра разделятся на пропорциональные части ; = 2) в сечении получится многоугольник , подобный основанию ; = = = 3)площади оснований данной пирамиды и отсекаемой пирамиды относятся как квадраты соответственных ребер ; = =

Слайд 29

Площадь усеченной поверхности пирамиды p1 - периметр верхнего основания; p2 - периметр нижнего основания; l - апофема усеченной пирамиды.

Слайд 30

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур : Тетраэдр . Гексаэдр. Октаэдр . Додекаэдр. Икосаэдр.

Слайд 31

Гексаэдр и его свойства :

Слайд 32

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства :

Слайд 33

Все рёбра куба равны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу. Все грани – равные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание. Все многогранные углы равны 90. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3. Куб имеет 9 осей симметрии, которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Слайд 34

Тетраэдр Тетраэдр – это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Слайд 35

Свойства правильного тетраэдра: Все грани тетраэдра – это равносторонние треугольники, из чего следует, что все грани четырёхгранника равны. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Слайд 36

Октаэдр и его свойства:

Слайд 37

Свойства октаэдра: Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 равных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4. Так как все грани октаэдра равны, равны и его многогранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Слайд 38

Додекаэдр

Слайд 39

Свойства додекаэдра: В каждой вершине пересекаются по три грани. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Слайд 40

Икосаэдр

Слайд 41

Свойства Икосаэдра : Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие: Все грани икосаэдра - равносторонние треугольники. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.