«Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»

Опубликовано Неупокоева Галина Геннадьевна вкл 07.10.2019 - 18:52

Автор:

Салихова Екатерина

Проектная работа ученицы 9 класса.

Скачать:

Вложение	Размер
salihova_proekt.docx	379.32 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Города Новосибирска

«Средняя общеобразовательная школа №210»

Тема: «Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»

Предмет: математика

Автор: Салихова Екатерина Алексеевна

Учащаяся 9 «В» класса

Консультант проекта: Неупокоева Галина Геннадьевна

Учитель математики

Новосибирск, 2019

Содержание

Паспорт проекта……………………………………………………………………...3

1. Теоретическая часть

1.1. Стандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур…4

1.2. Нестандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур5

Биография Георга Александра Пика………………………………………………..6

Формула Пика………………………………………………………………………...7

Доказательство формулы Пика……………………………………………………...8

Применение формулы Пика в реальной жизни…………………………………….9

Подведение итогов………………………………………………………………….10

Список используемых сайтов и литературы………………………………………11

Приложение 1……………………………………………………………………….12

Приложение 2……………………………………………………………………….13

Паспорт проекта

Название: «Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика.»
Автор работы: Салихова Екатерина Алексеевна
Класс: 9 «В»
Учебное заведение: МБОУ СОШ № 210
Предметная область: математика.
Время разработки проекта: с 18.12.2018 г. по 02.02.2019г.
Актуальность: Задачи на нахождение площадей часто встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Цель проекта: Изучить нестандартные способы нахождения площадей геометрических фигур, изучить и проверить на практике формулу Пика.
Задачи проекта:

1) Обобщить знания по нахождению площадей геометрических фигур;

2) Узнать и изучить раннее неизвестные способы нахождения площадей;

3) Научиться применять новые знания на практике;

4) Узнать возможно ли применение формулы Пика для вычисления площадей объектов из жизни.

10. Тип проекта: исследовательский.

11. Форма продукта: проект

12. Исследование: исследовать возможность применение нестандартных способов нахождения площадей многоугольников в реальной жизни.

1. Теоретическая часть

1.1. Стандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Площадь прямоугольника, формула.

S=a·b

Площадь квадрата, формула.

S= a·а

S=d^2/2

Площадь треугольника, формула.

S=1/2 a·h

Площадь трапеции, формула.

S=1/2(a+b) h

Площадь параллелограмма, формула.

S=a·h

Площадь ромба, формула.

S=1/2d1·d2

Площадь правильного многоугольника, формула.

S= r·p=1/2r·n·a

Площадь круга, формула.

S=π·r^2

2. Теоретическая часть

1.2. Нестандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Сложение площадей

Если разбить фигуру на несколько фигур, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. (см. приложение 1, фотография №1)

Вычетание площадей

Площадь многоугольника можно найти, вписав его в прямоугольник, и вычитая площади соответственно лишних частей. (см. приложение 1, фотография №2)

Георг Александр Пик (1859–1942)

Родился Георг Пик в еврейской семье. Мать его — Йозефа Шляйзингер (Josefa Schleisinger), отец — Адольф Йозеф Пик (Adolf Josef Pick) — возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии (Leopoldstaedter Communal Gymnasium). В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и мог поступать в университет.

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 году универститет, получив возможность преподавать оба эти предмета. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов” (Über Eine Klasse abelscher Integrale).

После получения докторской степени Пик был назначен помощником Эрнста Маха в пражском университете Карла-Фердинанда. Мах переехал из Граца, где он был профессором математики, в Прагу в 1867 году, чтобы занять там кафедру физики. Он, как и Пик, учился в университете в Вене и, к тому времени как Пик стал его помощником, считался одним из ведущих европейских ученых. Пик теперь хотел читать лекции в Праге, и для того чтобы получить на это право, он должен был написать специальную работу (habilitation thesis). Он это сделал достаточно быстро, написав Über die Integration hyperelliptischer Differentiale durch Logarithmen, после чего в 1881 году получил право читать лекции в Праге.

Формула Пика

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

В + Г / 2 − 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана Георгом Пиком в 1899 году.

Доказательство формулы Пика

Для начала рассмотрим, как можно вычислить площадь треугольника, применив теорему Пика.

Пусть АВСD – треугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри треугольника, а через Г – количество узлов на его границе. (см. приложение 1, фотография №3)

В=34, Г=15

По формуле Пика найдем площадь.

S=34+15/2-1

S=40, 5

Проверим решение через стандартную формулу нахождения треугольника S=1/2ah (см. приложение 2, фотография №4)

S=1/2*9*9

S=40, 5

Применение формулы Пика в реальной жизни

Использовать формулу Пика в реальной жизни резоннее для нахождения примерной площади объектов, чью площадь нельзя измерить при помощи стандартных измерительных приборов (линейки, рулетки). Формулой Пика удобно находить примерную площадь парков, больших площадок, городов, областей.

Рассмотрим применение данной формулы на примере нахождения площади Новосибирской области.

На карту Новосибирской области я наложила сетку, где площадь одной клетки на настоящий масштаб примерно равна 465,6 км^2 (см. приложение 2, фотография №5). Количество узлов на границе карты области 53. Количество узлов, лежащих внутри карты области 353. Далее подставляем числа в формулу:

353+53/2 -1=378,5

Полученный результат надо умножить на примерную площадь одной клетки сетки, тогда мы получаем следующий результат:

378,5 * 465,6 = 176 229,6 км^2

Сравним полученный результат с настоящими данными. Площадь Новосибирской области по данным из интернета равна 178 200 км².

Подведение итогов

Вывод: работая над проектом, я изучила нестандартные способы нахождения площадей геометрических фигур и проверила на практике формулу Пика. Также я обобщила знания по нахождению площадей геометрических фигур, узнала и изучила раннее неизвестные способы нахождения площадей, научилась применять новые знания на практике и узнала, что применение формулы Пика для нахождения объектов из жизни возможно.