Геометрия вокруг нас

«Геометрия вокруг нас

Цель нашей работы:

 исследовать какие геометрические фигуры и тела встречаются вокруг нас.

 Задачи:

1.Узнать о геометрии в быту,
2.Узнать о геометрии в архитектуре,
3.Узнать о природных творениях в виде геометрических фигур: кристаллов.
4. Узнать о геометрии в природе.

Содержание.

1. Введение.
2. Геометрия в быту
3. Геометрия в архитектуре
4. Геометрия в транспорте
5. Природные творения в виде геометрических фигур (кристаллы)
6. Геометрия в природе. Геометрия у животных.
7. Заключение

Введение

Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале XXI столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника – все имеет геометрическую форму. Геометрические знания являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли  нам Геометрия?»

 Во-первых, геометрия является первичным видом интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для отдельного человека. Мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира. Многие достижения древних геометров (Архимед, Аполлоний) вызывают изумление у современных ученых, и это несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат.

 Во-вторых, геометрия является одной составляющей общечеловеческой культуры.  Некоторые люди, возможно, считают, что различные линии, фигуры, можно встретить только в книгах учёных математиков. Однако, стоит посмотреть вокруг, и мы увидим, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Оказывается их очень много. Просто мы их не всегда замечаем.

ГЕОМЕТРИЯ В БЫТУ

Мы приходим домой и здесь вокруг нас сплошная геометрия. Начиная с коридора, повсюду прямоугольники: стены, потолок и пол, зеркала и фасады шкафов, даже коврик у двери и тот прямоугольный. А сколько кругов! Это рамки фотографий, крышка стола, подносы и тарелки.

Многие вещи напоминают окружность - обруч, кольцо, дорожка вдоль арены цирка. Арена цирка, дно стакана или тарелки имеют форму круга. Если наклонить стакан, чтобы вода не выливалась, тогда край водной поверхности станет эллипсом.

Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду - горшки, вазы. На геометрический шар похожи глобус, разные мячи (футбольный, волейбольный, баскетбольный, резиновый).

Ведро имеет форму усеченного конуса, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндрической формы. Вообще, цилиндров и конусов в окружающем нас мире очень много: трубы парового отопления, кастрюли, бочки, стаканы, абажур, кружки, консервная банка, круглый карандаш, бревно и др.

ГЕОМЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ

Архитектурные сооружения состоят из отдельных деталей, каждая из которых строится на базе отдельных геометрических фигур, либо на их комбинации. Кроме того, форма любого архитектурного сооружения имеет моделью определенную геометрическую фигуру. Дом приблизительно имеет вид прямоугольного параллелепипеда. Многие жилые дома, общественные здания украшаются колоннами (цилиндр). Мы рассмотрели здания нашего города.  Произведения архитектуры являются частью пространственной структуры города. И при всем разнообразии архитектурных сооружений они почти всегда имеют в своей основе правильную геометрическую форму: призму, пирамиду, конус, шар, параллелепипед.  Здание самарского цирка имеет форму цилиндра.

Выбор их использования зависит от множества факторов: этического внешнего вида здания, его прочности,  удобства в эксплуатации и т.д. Основные требования к архитектурным сооружениям звучат так: «прочность, польза, красота».  Например, в Белоруссии спроектировано здание гостиницы возле международного аэропорта в форме конуса. Конус преобразовывает ход звуковой волны, зашедшей в него. Эта особенность конуса оказалась полезной для уменьшения шума в гостиничных номерах. Иногда, пытаясь решить с помощью архитектуры определенные идейные задачи, авторы проектов получают не совсем положительный результат. Примером может служить здание фабрики – кухни завода им. Масленникова, построенное в 1932 году по проекту Екатерины Максимовой (сейчас оно находится на реконструкции). Пытаясь максимально приблизить архитектурное здание к форме «серпа и молота» получили трудности при планировке внутренних помещений и дополнительные затраты. А форму серпа и молота смогли увидеть только птицы.

В настоящее время максимальной прочностью обладают каркасные конструкции, которые используются при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Примерами таких сооружений могу т послужить башня телецентра, Кировский мост через р. Самара.

    Шпили Храма Пресвятого Сердца Иисуса возносятся на высоту в 47 метров. Это произведение архитектуры является типичным образцом неоготического стиля.

Геометрическое построение церковного купола

Рассмотрим построение эскиза «луковичного» купола, определяя какие закономерности положены в его основу.

Существуют разные виды куполов. Рассмотрим некоторые из них: Самый простой эскиз купола строится таким образом: В квадрате ABCD отмечаются середины Е, F, К его сторон AD, DC и СВ соответственно.

Рисунок 4

Из точек А, В, С, D как из центров проводят дуги радиусом, который составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают двое из дуг в точках М и N(рис. 4).

Для построения более сложных эскизов вспомним о золотой пропорции, которую мы ранее обозначали через Ф, установив, что ф =( √5+1)/ 2 = 1,6. Допустим: АВ: 01С ≈ 1,6. Как построить отрезки АВ и 01С?

Прежде всего выберем единицу измерения — отрезок е на рис.5.

Рисунок 5

Затем выполним преобразования АВ: О1С = 1,6 = 16 : 10 = 8 : 5. Это значит, что АВ = 8 е, а О1С = 5е. Представим себе, что нам следует построить равнобедренный треугольник ABC, у которого основание АВ и высота О1С составляют золотую пропорцию. Тогда мы строим отрезок АВ = 8е, делим его пополам точкой О1, и проводим перпендикуляр к АВ через точку О1, на которой откладываем отрезок О1С = 5е. Треугольник АСВ (рис. 5) послужит основой для нового эскиза купола православной церкви.

План построения.

Проведем перпендикуляр О1К к стороне ВС (рис. 5).

На высоте СО1, отметим точку М так, чтобы СМ = О1В, и через точку М проведем прямую, перпендикулярную прямой СО1, которая пересекает отрезок О1К в точке О2.

Проведем окружность с центром в точке О2 и радиусом О2К.

Разделим отрезок О1В точкой S и через нее проведем прямую SP, перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересечении с осью СО получится точка Е.

На прямой СЕ от точки С отложим отрезок CG = 2е. Из точки О, как из центра проведем окружность, радиусом O1G которая пересечет предыдущую окружность в точке N, и окружность радиусом О1К, пересекающую высоту СО1 в точке F (рис. 6)

Рисунок 6

Через точки E и N проведем прямую. Из точки С как из центра проведем окружность радиусом EF, которая пересечет прямую EN в точке О3.

Затем из О3 проведем дугу радиусом О3N до ее пересечения с точкой С.

Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО1 (рис. 7)

Рисунок 7

Самый простой эскиз купола строится таким образом. В квадрате АВСД отмечаются середины E, F, К его сторон AD, DC и CB соответственно. Из точек А, В, С, Д проводятся дуги, равные четвертой части окружности радиуса, равного половине стороны данного квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают две из дуг в точках М и N.

Следующее построение эскиза купола использует золотое сечение и его «производную». Напомним, что золотым сечением называют такое деление отрезка на две части, при котором отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей его части.

Строится равнобедренный треугольник АСВ (АВ – основание), в котором АВ/СО1=ф (ф~1,618);

Проводится перпендикуляр ОТК к боковой стороне ВС;

На высоте СО1 отмечается точка М так, что СМ=О1В; через точку М проводится прямая, перпендикулярная СО1, которая пересекает отрезок О1К в точке О2;

Из точки О2 чертится окружность радиуса О2К;

Отрезок О1В делится пополам и через полученную середину проводится прямая, перпендикулярная АВ, она пересекает построенную окружность в точке L; через неё далее проводится прямая, параллельная АВ, а в пересечении с осью симметрии купола получается точка Е;

Из точки О1 строится окружность радиуса О1К, которая пересекает СО1 в т. F, из точки О2 проводится окружность радиуса МF так, чтобы она пересекала сторону ВС в точке R;

Затем из точки С проводится окружность радиуса ЕF и строится прямая ЕR; эти две фигуры пересекаются в точке ОЗ, из которой проводится окружность радиуса ЕF; три перечисленные окружности, пересекаясь, образуют из своих частей линию, определяющую половину контура купола; вторая половина купола получается при выполнении симметрии относительно оси СО1.

Основной строительной единицей длины Древней Руси была сажень («досягать», определялась досяганием рук человека.) На её основе строится квадрат АВСД. В нем проводится диагональ АС, которая тогда соответствует великой косой сажени, диагональ АЕ прямоугольника АДЕF будет сажень без чети, диагональ АМ прямоугольника ALMF (с точками K и L сторона данного квадрата делится на три равные части) – прямая сажень, диагональ АР прямоугольника АLPB – косая сажень и диагональ АN прямоугольника ALNB – трубная сажень. Из построенного «Вавилона» вытекают и другие меры длины.

Сопряженность русских мер была основой создания гармонических пропорций архитектурных сооружений. Она и сохранила всю совокупность этих мер длины как единую метрологическую систему Древней Руси, в основу которой были положены пропорции человеческого тела. Эти пропорции пришли из Древней Греции, где они играли важную роль в геометрической гармонизации зданий. Создав систему саженей, то есть систему мер и пропорций, русские зодчие получили богатейший инструмент для тонкого архитектурного варьирования, передачи в пропорциях сооружений целой гаммы всевозможных оттенков, тонких нюансов, что и обеспечило создание архитектурных произведений высокого эстетического уровня. К ним принадлежат и крестово-купольные храмы.

Основа такого храма – квадрат, расчлененный четырьмя столбами, причем примыкающие к подкупольному пространству прямоугольные ячейки образуют архитектурный крест. Создание типа крестово-купольного храма было событием в истории мировой архитектуры. Его конструкция и композиция представляли завершенную в себе структуру, не восприимчивую к изменениям. Эта завершенность структуры, конструктивная стабильность структуры, сохранение полной гармоничности постройки при всех изменениях архитектурной формы предполагают, по мнению архитектора Е. Ф. Желоховцевой, существование какой-то общей системы построения этой формы, позволявшей зодчему охватить основные закономерности строя пропорций храма и варьировать его параметры, не нарушая их общей гармонии и не выходя за пределы, гарантирующие прочность постройки.

Геометрическое описание чертежа плана крестово-купольного храма отражает общую систему построения архитектурной формы. Эта система состоит из следующей последовательности геометрических построений:

Строится квадрат АВСД, из середин его сторон проводятся окружности радиусом, равным половине стороны квадрата. Эти окружности в пересечении образуют четырёхлепестковую розетку. Из центра О квадрата проводится такая же окружность, которая пересечет части розетки в восьми точках.

Через полученные точки проводятся четыре прямые, получается квадрат А1В1С1Д1, моделирующий внутренние границы трехнефного ядра плана (непродольная часть храма); внешние границы дает диаметр окружности, проведённой из центра квадрата. Ширина каймы, образовавшейся по сторонам главного квадрата, составляет 1/15 ширины постройки. Через точки Q, R, S, T, F, E, L, P проводятся прямые, которые, пересекаясь, образуют центральный квадрат А2В3С2Д2, моделирующий центральное звено плана. Здесь же намечаются границы продольных и поперечных нефов. Сторона центрального квадрата равна половине стороны главного. Такое отношение встречается у всех видов крестово-купольных храмов, за исключением посадских новгородских церквей, где наблюдается это же отношение, но уже между шириной постройки и диаметром подкупольной окружности.

Далее определяется выступ центральной апсидии (то место в восточной части храма, где находится алтарь). Для этого проводятся окружности из точек А1 и В1, радиусы которых равны диагоналям внутреннего квадрата. С целью нахождения западной границы плана проводятся симметричные дуги и продолжаются стороны АД и ВС квадрата АВСД. Для построения центральной апсиды списывается полуокружность (ее центрО1 – середина стороны внутреннего квадрата) в выступ от пересечения дуг. Можно варьировать это построение, помещая вершину О1 равнобедренного треугольника МО1N как на внутренних, так и на внешних границах плана.

Таким образом, построение плана купола расчленяется на несколько определённых этапов, каждый из которых охватывает особое архитектурное звено. Эти геометрические построения с помощью четырехлепестковой розетки дает возможность варьировать соотношения длины и ширины плана, не выходя за жесткие границы рамки.

Торжественность и устремленность ввысь - такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей. Это видим на здании Главного штаба. (Санкт-Петербург). Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы купола, арки, округлые своды, что зрительно увеличивает пространство, создает эффект полета, легкости.

А как красивы культовые сооружения. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой. Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими.

 Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само же оно имеет форму многогранника.

4. Геометрия транспорта

 По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения - круги. Недалеко от нашей школы находится железнодорожный музей, где представлены различные виды паровозов, электропоездов. Паровой котел паровоза напоминает цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка изгибаются, образуя поверхность очень сложной и неправильной формы, которую инженеры должны знать, чтобы суметь правильно рассчитать котел на прочность. Сложную форму имеет и корпус подводной лодки. Он должен быть хорошо обтекаемым, прочным и вместительным. От формы корабельного корпуса зависит и прочность корабля, и его устойчивость и скорость. Результат работы инженеров над формой современных автомобилей, поездов, самолетов - высокие скорости движения. Если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха значительно уменьшается, за счет чего увеличивается скорость. Сложную форму имеют и детали машин - гайки, винты, зубчатые колеса и т.д.

КРИСТАЛЛЫ

С XVIII в. кристаллами стали именовать тела, имеющие многогранную форму. Кристаллы одни из самых красивых и загадочных творений природы. В настоящее время изучением многообразия кристаллов занимается наука кристаллография. В каждом кристалле есть душе, заключенная в грани, ребра и вершины. Гранями называются плоские ограничения кристаллов. Линии, разделяющие грани, образуют ребра. Угловая точка, в которой пересекаются несколько граней, представляет вершину кристалла. Главнейшим геометрическим свойством кристаллов является симметрия.  Рассматривая различные кристаллы мы видим, что все они разные по форме, но любой из них представляет симметричное тело .

 Многие считают, что кристаллы в природе встречаются редко. Однако это не так: кристаллы буквально окружают нас, но, бывает мы их не замечаем от того, что они срастаются или слепляются. А вот одиночные кристаллы сразу же узнают по правильности форм. Плоские грани и прямые рёбра являются характерным свойством кристалла; правильность формы несомненно связана с правильностью внутреннего строения кристалла.

Конечно, веками люди любовались на кристаллы драгоценных камней. Первые успешные попытки синтеза драгоценных камней приходятся на конец XIX века. В 1877 году Эдмон Фреми и Шарль Фейль получили кристаллы рубина. Получают искусственно и прекрасные кристаллы, которые в природе вообще не существуют. Например, фианиты – их название происходит от сокращения ФИАН – Физический институт Академии наук, где они впервые были получены. Фианиты – искусственные кристаллы, которые внешне очень похожи на бриллианты.

Потребность в кристаллах в мире очень высока. Они используются в часах, транзисторных приёмниках, вычислительных машинах, лазерах и многом другом. Великая лаборатория - природа - уже не может удовлетворить спрос развивающейся техники, и вот на специальных фабриках выращивают искусственные кристаллы: маленькие, почти не заметные, и большие - весом в несколько килограммов. Десятки тысяч тонн разнообразных кристаллов выращиваются ежегодно, и специалисты по росту и исследованию кристаллов постоянно востребованы как у нас в стране, так и за рубежом. Работы по созданию технологий кристаллических материалов входят в Перечень Приоритетных направлений развития науки, технологий и техники Российской Федерации, утвержденный Президентом РФ. А для создания многих электронных приборов искусственно выращивают кристаллы кремния.

Кристаллы издавна используются для изготовления украшений и ювелирных изделий.

Каменная соль NaCl являющуюся одним из наиболее знакомых каждому человеку минералов. Толщина пластов каменной соли, образовавшихся при испарении воды соленых озер, достигает в некоторых месторождениях нескольких сотен метров.

Каждому знаком способ образования кристаллов из пара. Снежинки,

морозные узоры на стеклах окон и иней, украшающий зимой голые ветки деревьев, представляют собой кристаллы льда, выросшие из паров воды.

 Подобным образом образуются и кристаллы некоторых минералов.

«Мир устроен так, что неживая природа стремится организовать себя в форме кристаллов».

ГЕОМЕТРИЯ У ЖИВОТНЫХ

Многие птицы — воробьи, крапивники, лирохвосты — строят свои гнёзда в форме полу шара. Есть архитекторы и среди рыб: в пресных водах живет удивительная рыба колюшка. В отличие от многих своих соплеменников она живет в гнезде, которое имеет форму шара. Но самые искусные геометры — пчёлы. Они строят соты из шестиугольников. Любая ячейка в сотах окружена шестью другими ячейками. А основание, или донышко, ячейки представляет собой трехгранную пирамиду. Такая форма выбрана неспроста. В правильный шестиугольник поместится больше меда, а зазоры между ячейками будут наименьшими! Разумная экономия усилий и строительных материалов.

Геометрия в природе

Кто сказал, что геометрия не может быть интересной? Казалось бы, фракталы слишком идеальны для хаотичной природы, но это совсем не так. Когда мы видим что-то гармоничное и идеальное, мы полагаем, что к этому приложил руку человек, ведь сложно представить, чтобы такая красота создавалась «сама по себе».

Но ещё Галилео Галилей писал, что Вселенная «написана» на языке математики. А чтобы постичь язык гармонии, нужно присматриваться к природе. Ведь именно она – главный художник, вдохновитель и математик.

Заключение

В нашей работе мы исследовали, какие геометрические фигуры и тела окружают нас, и убедились, сколько самых разнообразных геометрических линий и поверхностей использует человек.

Геометрия несет красоту в нашу жизнь.  А человеку остается только учиться у природы - самого гениального изобретателя

В архитектуре  сооружения созданы человеком, благодаря геометрии. Архитекторам в профессиональной деятельности при создании архитектурного произведения не обойтись без знаний геометрии, а именно знании определенных свойств геометрических форм.

Геометрия участвует во многих сферах человеческой жизни и вносит свой вклад в ряд наук.

Новые геометрические понятия предстоит изучить более подробно на уроках геометрии.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

 1. Шарыгин И.Ф., Еранжиева Л.Н. Наглядная геометрия: учебное пособие для учащихся 5-6 классов.-М. : Дрофа,2002.

2.Энцеклопедический словарь юного натуралиста/ сост.А.Г Рогожкин. – М. : Педагогика,1981.

3.Энциклопедия для детей. Математика. – М. : Аванта +, 2003.Т, 11.

4.http: //ilib.mccme.ru/djvu/geometry/geom_ rapsodiya.htm/ - Левитин К.Ф. Геометрическая рапсодия.

5. bibliofond.ru