« Быстрый счёт без калькулятора»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение      «Средняя общеобразовательная школа №98»

    « Быстрый счёт без калькулятора»

  (научно-исследовательская работа по математике)

                                                     Выполнила: ученица 7 а класса

                                                               МБОУ «СОШ №98»

                                                               Мирошниченко Яна

                                                                    Руководитель: учитель математики  

                                                               Мирошниченко Е.И.

                                        г.Барнаул, 2018 год               

Введение                                                                                                                  

Глава I. Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел.

1. Умножение  чисел  на 11.
2. Умножение чисел   на 22, 33,… ,99.
3. Умножение  чисел  на 111 ,1111 , 11111  и  т. д.
4. Умножение чисел  на  101 , 1001 и  т.д.
5. Умножение чисел  на  37.

Глава II. Алгоритмы  ускоренных  вычислений.

2.1.     Алгоритм  перемножения  двузначных  чисел, близких  к 100.

2.2.     Алгоритм  возведения в  квадрат  двузначных  и  трёхзначных  чисел, оканчивающихся  на  5.    

2.3.     Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1.

2.4.     Алгоритм  возведения  в  квадрат  чисел, близких  к 50.

Глава III. «Интересные»  числа  с  применением  свойств  умножения.                                

3.1.     Число  -  142857.                                                  

3.2.     Число  Шехерезады.

3.3.      Интересные цифры                                                                                                      

Заключение                                                                                                            

Список использованной литературы                                                                                                          

                                              Введение

Всем известно, какую роль в школьном курсе  обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии, черчению нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Счёт в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных  с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы естественно – математического цикла. Поэтому я  поставила перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.                                                   Объект  исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно – математического цикла.                                        Предмет исследования – нестандартные приёмы и навыки устного счёта  при умножении  натуральных чисел.                                                                            Цель исследования: быстрый счёт с использованием нестандартных приёмов  устного счёта, знание упрощённых приёмов устных вычислений, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора .

 Задачи:

1)узнать об упрощённых, нестандартных способах  устных вычислений  при умножении  натуральных чисел.

2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов  при умножении и делении чисел.

Методы исследования: 1) сбор информации; 2) систематизация и обобщение.

 Актуальность выбранной темы заключается в том, что  нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны  на ум обычного  «человека» и не требуют уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося. Большинство учащихся испытывают затруднения при выполнении вычислений.  Многие часто используют калькулятор, устно же считать почти никто не умеет. Приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало, однако при сдаче ЕГЭ и ОГЭ использование калькулятора не разрешается и на экзамене требуются умения и навыки хороших вычислений

Я провела анкетирование учащихся 5-го, 7-го и 9-ых классов по следующим вопросам:

        1. Умеешь ли ты быстро и правильно считать?

        2. Как часто ты пользуешься калькулятором?

        3. Знаешь ли ты какие-либо приемы быстрого счета?

        4. Как ты думаешь, развивает ли умение считать такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться?

        Результаты исследований представлены на диаграмме.

Трудно сказать, когда появились числа и как человек научился считать. Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек, сам не замечая того, научился считать, производить вычисления.

В огромном мире людей с давних пор известны обладатели феноменальных способностей устного счета. Ими владели многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. А также и многие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом. Ранее на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счете. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. 

Глава I.   Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел.

1. Умножение трехзначного числа на 999

Чтобы получить результат, нужно записать число меньшее на 1 от умножаемого, и приписать три цифры, являющиеся дополнением первых трех до девяти.

     659*999 = 658341

     989*999 = 988011

                                     65*99 = 6435

                                     65*999 = 64935

                                                                 78*99 = 7722

                                                                 78*999 = 77922

                                                                                            41*99 = 4059

                                                                                            41*999 = 40959

2. Умножение на  0,5;  0,25;  0,125;  1,5;  2,5

Чтобы число умножить на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину   84*1,5 =84+42=126

Чтобы число умножить на 2,5 нужно к числу прибавить его же и его половину : 84* 2,5 =84+84+42=210

Чтобы число умножить на 0,5; 0,25; 0,125 надо это число разделить

        на 2, на 4, на 8  :          98*0,5=49            124*0,25=31     168*0,125=21

1.3.   Умножение чисел на 11

1-ый способ - Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297;      62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682.

2-ой способ – Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

 Пример:

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

Есть ещё один способ умножения на 11 больших чисел:  чтобы умножить число на 11, к нему приписывают  0 и прибавляют исходное число. Например:

345 х 11 = 3450 + 345 = 3795;

 4215 х 11 = 42150 + 4215 = 46365.

1.2.     Умножение  чисел на  22, 33,… ,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11,             то есть 33 = 3 х 11; 44 =  4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

 Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715.  

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя  и уменьшении другого:

28 х 33 = (28 х 3) х (33:3) = 84 х 11 = 924,

48 х 22 = (48 х 2) х (22:2) = 96 х 11 = 1056.

1.3.     Умножение  чисел  на 111 ,1111 , 11111  и  т. д.

Кто знает, как умножать на 11, может легко умножать на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и  т.д.

Примеры:

32 х 111 = 3 (3+2) (3+2) 2 = 3552;

45 х 111 = 4 (4+5) (4+5) 5 = 4995;

26 х 1111 = 2 (2+6) (2+6) (2+6) 6 = 28 886;

52 х 1111 = 5 (5+2) (5+2) (5+2) 2 = 57 772.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми числами.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662.

Раздвинуть 4 и 2 на 5 шагов. Если единиц 6, то шагов будет на 1 меньше, то есть 5. Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

57 х 111 = 5 (5+7) (5+7) 7 = 5 (12) (12) 7 = (5+1) (2+1) 27 = 6327;

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

69 х 1111 = 6 (15) (15) (15) 9 = (6+1) (5+1) (5+1) 59 = 76659

76 х 1 111 111 = 7 (13)(13)(13)(13)(13)(13) 6 =

= (7+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) 36= 84444436  

1.4.Умножение чисел  на  37.

Прежде чем научиться устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111,

Примеры:

24.  37 = (24:3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;    18 х 37 = 18 : 3 х 111 = 6 х 111 = 666.

1.5.Умножение чисел  на  101 , 1001 и  т.д.

Чтобы любое число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа

это же число.

Примеры:

32 х 101 = 3232;  47 х 101 = 4747; 54 х 101 = 5454;  93 х 101 = 9393.

Чтобы трёхзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Примеры:

324 х 1001 = 324 324;   675 х 1001 = 675 675;   869 х 1001 = 869 869.

Другие примеры:   6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 =  846932846932.

       Глава II.  Алгоритмы  ускоренных  вычислений.

Алгебра позволяет найти удобные алгоритмы быстрого выполнения арифметических вычислений – например, для быстрого умножения чисел или возведения в квадрат.

      Приведу примеры таких алгоритмов, сделав предварительно два замечания. При устных вычислениях удобно пользоваться «телефонным способом чтения чисел»: каждое число разбивается на группы по 1-2 цифры (иногда 3) в каждой, и каждая группа читается как отдельное число. Например: 5328 можно читать так : пятьдесят три – двадцать восемь;14253 можно читать так : один, сорок- два – пятьдесят три.                                             Для облегчения формулировки многих алгоритмов ускоренных вычислений будем говорить: «К числу а приписать двумя цифрами (аналогично, тремя и т. д.) число б». Это означает :умножить число а на 100,1000 и т.д. и к тому, что получится, прибавить число б.

  Например: приписать к числу 38 двумя цифрами число 9 означает: написать число 3809.

2.1.     Алгоритм  перемножения  двузначных  чисел, близких  к 100.

Например:      98 х 97 = 9506

                           2        3

 Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Вот ещё примеры:

                       1                                                   1  

  92 х 85 =  7720 = 7820;             88 х 89 = 7732 = 7832

    8       15                                           12      11     

2.2.     Алгоритм  возведения в квадрат  двузначных  и  трёхзначных  чисел, оканчивающихся  на  5.    

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6), на число десятков увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25    (6 х 7=42.  Ответ: 4225).

 Например:        

Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся  на 5, надо: к 5²=25

прибавить число единиц

        К полученному результату приписать справа квадрат единиц:

    56²=(25+6) (6²)=3136                       59²=(25+9) (9²)=3481

2.3.     Возведение в квадрат чисел состоящих только из 1.

              11 х 11 =121

            111 х 111 = 12321

          1111 х 1111 = 1234321

        11111 х 11111 =123454321

      111111 х 111111 = 12345654321

    1111111 х 1111111 = 1234567654321

  11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

2.4.     Алгоритм  возведения  в  квадрат  чисел, близких  к 50.

 Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но больше 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка этого числа над 50.

Примеры:

               582 = 3364                                                      

Пояснение. 58 – 25 = 33,    82  = 64,       582  = 3364.

                   642  = 4096                                                                          1

Пояснение. 64 – 25 = 39,   64 – 50 = 14,    142  = 196,    642  = 3996 = 4096.      

Глава III. «Интересные»  числа  с  применением  свойств  умножения.                                

3.1.     Число  Шехерезады.

« Сказки 1001-й ночи…»  Чем замечательно это число? Оно является произведением простых чисел 7, 11, 13. При умножении числа 1001 на любое трёхзначное число, записанное дважды данным трёхзначным числом. Например, 1001 х 347 = 347 347. На этом свойстве числа 1001 основаны некоторые «фокусы». Этот принцип умножения используется для угадывания чисел. Мы знаем, что приписывание такого числа равносильно умножению трёхзначного числа на 1001. Например, предлагаю записать любое трёхзначное число к нему приписать такое же число. Затем разделим полученное шестизначное число на 11, затем на 13 и наконец на 7.

( Мы знаем, что 11 х 13 х 7 = 1001, т.е. мы просили учеников разделить число на 1001.) О последнем частном вы сможете сказать: «Это число вы задумали».

3.2. Интересные цифры

  Возьмите числа, кратные трём,- от 3 до 27,умножьте их на 3 . Посмотрите, как занятно! Произведения трёхзначные . В каждом из них три раза повторяется то число, которое получится, если множимое разделить на 3 :

                                       Или ещё так:

  3 х 37 = 111                                                    33 х 3367 = 111111

  6 х 37 = 222                                                    66 х 3367 = 222222

  9 х 37 = 333                                                    99 х 3367 = 333333

12 х 37 = 444                                                    132 х 3367 = 444444

15 х 37 = 555                                                    165 х 3367 = 555555

18 х 37 = 666                                                    198 х 3367 = 666666

21 х 37 = 777                                                    231 х 3367 = 777777

24 х 37 = 888                                                    264 х 3367 = 888888

27 х 37 = 999                                                    297 х 3367 = 999999

Результаты математического диктанта  в 7 классе:

Вывод:

1. Множество материала по данной теме свидетельствует о многолетнем интересе и ученых, и простых людей к игре с цифрами.
2. Некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть любой  человек.
3. Знание и использование таких приемов позволит существенно  увеличить скорость и качество счета, добиться успехов в изучении не только математики, но и других школьных предметов 

                                            Заключение

В своей работе я рассказала  лишь о нескольких упрощённых нестандартных приёмах устных вычислений быстрого счёта при умножении натуральных чисел из существующих 30 способов, способствующих развитию памяти и повышению математической культуры мышления.

На основании своих исследований я сделала вывод о том, что знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Работа, проведенная мною, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении   таблиц или калькулятора.

            Список использованной литературы

1. «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов
2. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева
3. «Задачи математических олимпиад» И.Л. Бабинская
4. «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин
5. «Мир чисел» Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов
6. «Задачи для математического кружка» Е.Г.Козлова
7. «Тысяча проблемных задач по математике» Л.М. Лоповок
8. «Логические основы математики» А.Д.Гетманова