История и способы доказательства теоремы Пифагора

Слайд 1

Слайд 2

История теоремы Исторический обзор начнем с древнего Китая . В этом сочинении так говорится о Пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., По мнению Кантора гарпедонапты , или " натягиватели веревок", строили прямые углы используя этого свойства. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян . В одном тексте 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и основание. В их руках вычислительные рецепты превратились в точную науку." Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство.

Слайд 3

Доказательство первое Простейшее доказательство « Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для такого треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2. Теорема доказана.

Слайд 4

Доказательство второе Доказательство Евклида На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник J CEL — квадрату АС К G . Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и L FBC=d+ L ABC= < ABD. Но S ABD =1/2 S BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что S ABD =S FBC , имеем S BJLD = S ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников L ВСК и L АСЕ, доказывается, что S JCEL =S ACKG . Итак, S ABFH +S ACKG =S BJLD +S JCEL = S BCED , что и требовалось доказать.

Слайд 5

Доказательство третье АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что с 2 =а 2 +Ь 2 . Доказательство: Построим квадрат Q со стороной а+Ь . На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с.Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть x и y — величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, x + y = 90°. Угол z при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными x и y , составляет развернутый угол. Поэтому x + y+z =180°. И так как x + y = 90°, то z =90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с. Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+ 4 S(T) .Так как S(Q)=( a+b ) 2 ; S(P)=c 2 и S(T)=1/2( ab ), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство ( a+b ) 2=c 2 +4*(1/2) ab . Поскольку( a+b )2=a 2 +b 2 +2ab,то равенство ( a+b ) 2 =c 2 +4*(1/2) ab можно записать так: a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab.Из равенства a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab следует, что с 2 =а 2 +Ь 2 . Ч.Т.Д.

Слайд 6

Доказательство четвертое ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ХОУКИНСА Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA'=b ²/2 SCBB'=a ²/2 SA'AB'B=( a²+b ²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c *DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c ² Теорема доказана.

Слайд 7

Доказательство пятое ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО МЕТОДОМ ГАРФИЛДА: Дано: ABC- прямоугольный треугольник Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2 Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S ABED =2*AB*AC/2+BC 2 /2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S ABED =(DE+AB)*AD/2. 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB)2/2 AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC BC 2 =AB 2 +AC 2 . Ч.Т.Д.

Слайд 8

Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа.