Аликвотные дроби

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ "СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРА №23" МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ СИМФЕРОПОЛЬ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

«Аликвотные дроби»

Работу выполнил:

Русин Родион Владимирович

учащийся 6-А класса

МБОУ СОШ №23

г. Симферополя

Научный руководитель:

учитель математики

Кириллова Марина Николаевна

Содержание

Введение ……………………………………………………………………3

Аликвотные дроби……………………………………………………...….4

1. .    Происхождение аликвотных дробей.………………………………5

2. Основные операции над аликвотными дробями……………….....7

1. Разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби...7
2. Разложение обыкновенной дроби на сумму аликвотных дробей………………………………………………………...9

3. Решение задач из учебника ………………………………………12
4. Решение олимпиадных задач ………………………….…………13

Заключение………………………………………………………………..15

Используемая литература………………………………………………...16

Введение

Моя работа называется аликвотные дроби. Почему я выбрал эту тему?

Практически на одном из первых уроков алгебры  учитель предложил нам сделать пример из сборника для самостоятельных работ, который, как нам показалось, был достаточно прост, нужно было только старательно выполнить все действия.

   Вычислить:

Мы начали приводить дроби к одному знаменателю и быстро поняли, что это достаточно трудно. Оказывается, есть очень простой способ!

Если представить дроби:  

,     ,      .    И так далее!!!

Получаем:

Мы узнали, что такие дроби с числителем 1 – называют аликвотными! Меня очень заинтересовало – когда появились эти дроби, какие еще примеры можно решать с их помощью и т.д. И я решила узнать об аликвотных дробях побольше!

Цель исследования:

• Выяснить, какое значение имеют  аликвотные дроби в нашей жизни

Задачи исследования:

• Узнать происхождение аликвотных дробей.
• Рассмотреть основные операции  с аликвотными дробями.
• Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.
• Составлять и решать задачи практического содержания.

Аликвотные дроби.

Аликвотные дроби начали использовать еще в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –  – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

 Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида  (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками, как определение, для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья.

1.  Происхождение аликвотных дробей.

Тема «Аликвотные дроби» является интересной темой для исследования дробей.  Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5.  И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

                                         1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора»

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Рассмотрим такую задачу: ,,Разделить 7 хлебов между 8 людьми.,,   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления)

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении единицы на двенадцать частей. 1/12 единицы веса называется унция. У числа 12 значительно больше делителей, чем у числа 10, поэтому при расчетах до сих пор пользуются унциями.

    Дроби в Древней Руси называли долями, позднее «ломаными числами». Названия они имели следующие: 1/2-половина, полтина; 1/3-треть; 1/5-пятина;1/16-полполчеть; 1/4-четь; 1/6-полтреть;1/32-полполполчеть; 1/7-седьмина; 1/8-полчеть; 1/12-полполтреть; 1/10-десятина.

    Проценты пришли к нам следующим образом. Римляне стали использовать это понятие при взимании долгов. Они говорили: «На каждые 100 сестерцев долга надо заплатить 16 сестерцев лихвы». Т.к. слова «на сто» звучат по-латыни «процентум», то сотую часть стали называть процентом.

1.2 Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

1.2.1. Разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби

В процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3

1/2=1/(1*2)=1/1 -1/2

Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых  являются последовательные  числа  равные  их  произведению.

Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим, на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:

1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

1/12=1/(3*4)=1/3-1/4

1/20=1/(4*5)=1/4-1/5  и т.д.

 Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается:

1=1/2+1/2 (Наша формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42  => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

Я познакомился с различными задачами древности, которые решаются через аликвоты. Ещё меня заинтересовал вопрос разбиения дробей на аликвоты. Исследуя разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) я получил математические формулы разбиения вида 2/n=1/n + 1/n; 2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1) и я посчитал очевидным, путём исследования, получить ещё одну формулу 2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1). Например,

при n=2         2/5=1/3 + 1/15

при n=5        2/11=1/6 + 1/66   и  т.п.

1.2.2. Разложение обыкновенной дроби на сумму аликвотных дробей.

Складывать аликвотные дроби неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей (в виде суммы двух, трёх или четырёх  аликвот). А что делать с дробями, у которых числитель не 2?

Рассмотрим два алгоритма, позволяющих разложить несократимую дробь  в сумму различных аликвотных дробей .

1. Первый способ разложения.

Пусть b = ak +r, где 0 < r < a. В качестве первой дроби возьмем дробь, знаменатель которой является наименьшим кратным числителя, большим знаменателя данной дроби, то есть a(k+1). (Вторая дробь есть просто разность между данной дробью и первой). Получим:

Следовательно, повторяя проделанную процедуру несколько раз, мы добьемся требуемого разложения. В частности, все дроби вида  могут быть разложены в сумму аликвотных дробей за один ход.

Папирус Райнда содержит таблицу разложения дробей вида в сумму аликвотных дробей. (Наличие такой таблицы упрощало задачу разложения по суммам аликвотных дробей для дробей с произвольными числителями, так как умножение было двоичным) Например: а) ; б) . В таблицу, как видим, занесены разложения и из трех слагаемых. Если воспользоваться нашим алгоритмом, то разложение для дроби получаем:   или .

Египтяне пользовались, видимо, другими соображениями.  Неясно, из чего они исходили при таком сведении к аликвотным дробям, хотя и существуют интересные теории для объяснения того способа, каким египетские специалисты могли получать свои результаты. Возможно, они стремились к тому, чтобы минимизировать знаменатели дробей в разложении, если даже для этого приходилось увеличивать число слагаемых в разложении.

• Приведем еще несколько примеров разложений по алгоритму:

 В этом случае знаменатели дробей быстро растут. Однако такое разложение может оказаться и не оптимальным, например, по числу слагаемых или по величине знаменателей.

Например: .

В этом разложении и слагаемых меньше, и знаменатели маленькие. Из практических соображений оно более предпочтительно.

2. Теперь рассмотрим одну модификацию нашего алгоритма.

В ходе его применения после первого шага мы имели: . Далее будем применять алгоритм уже для дроби . Полученное разложение, конечно, будет уже другим. Действительно, по второму алгоритму получаем:

Полученные разложения имеют меньшие знаменатели или меньшее число слагаемых в разложении по сравнению с разложением по первому алгоритму.

По первому алгоритму получим:  .

Вероятно, такие разложения были бы более предпочтительны для древних египтян. Хотя сами бы они разложили дробь  так: .

Я сам, принимая во внимание задачу о разделе хлебов, подобрал еще одно разложение:

3. Случай, когда числитель нечетный, а знаменатель четный.

В случае, когда числитель дроби нечетный, а знаменатель четный, можно на первом шаге выделить одну долю, после чего дробь сократится, числитель уменьшится и, следовательно, число ходов сократится, а число слагаемых в разложении уменьшится. Например:   .

По алгоритму же получаем:       .                          

Египтяне, вероятно, предпочли бы первое разложение. Или, быть может, предложили другое?

Итак:

• Самая большая аликвотная дробь - это 1, а самой маленькой не существует.
• Множество аликвотных дробей будем обозначать буквой А, нетрудно догадаться, что множество А является подмножеством правильных дробей, а вместе с ним подмножеством рациональных чисел (Q).

1.3 Решение задач.

1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трех слагаемых

 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

Б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

B) 5-и слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=

1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

1. Митя обнаружил, что 1/n часть класса написала работу лучше него, а 1/(n-1) часть класса – хуже него. Сколько учеников в классе?

Если 1/n написало лучше, а 1/(n-1) хуже. В идеале никто не написал работу также как и он, но с таким же результатом могло быть и большее количество учеников.  

За нескольких сказать ничего не могу, а за одного:  Мы можем взять число всех учеников классе за 1. И тогда получается что мы должны разложить число 1 на 3-и аликвотные дроби.

1=1/n+1/(n-1)+1/x

1/x=1/n*(n-1) тогда получается что в классе n*(n-1) учеников.

1=1/(n-1)+1/n+1/(n*(n-1))

Методом подбора мы видим что 1 раскладывается на аликвотные дроби только следующим образом :

1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6  во всех других случаях мы не сможем получить из суммы других аликвотных дробей 1.

Так что,  в случае, если он один написал работу с таким результатом, можно утверждать, что в классе 6 человек.

А если таких учеников было несколько, то задача имеет множество решений. 1/x=(n*(n-1)-n –n+1)/(n*(n-1))

1.4 Решение олимпиадных задач

1.4.1.Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

1.4.2.Найти сумму

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

        1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10

Ответ:  9/10

1.4.3.Верны ли равенства?

А)  

Равенство верно.

Б) 

Равенство верно.

В) 

 Равенство верно.

1.4.4. Задача «Кофе с молоком».

Сначала отпили 1/6 чашки черного кофе и долили ее молоком. Затем выпили треть чашки и снова долили ее молоком. Потом выпили еще полчашки и опять долили ее молоком. Наконец, выпили полную чашку.

Чего выпили больше - черного кофе или молока?

Решение.

Кофе не доливали, поэтому его выпили одну чашку.

Молока сначала долили 1/6 чашки, затем 1/3 чашки и, наконец, 1/2 чашки,

то есть тоже одну чашку: 1/6 + 1/3 + 1/2 = 6/6 = 1.

Значит, кофе и молока выпили поровну.

Ответ: Кофе и молока выпили поровну.

Заключение

 Таким образом, при разработке данной темы,  мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида a/b  может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач.  Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

 Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

Задачи с использованием в  решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего,  задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Используемая литература:

1. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
2. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.
3. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.
4. Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
5. Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.
6. Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.25-28.
8. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. – М.: Аванта+, 2002, с.176.
9. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин и др. – М.: ООО «Изд. АСТ-ЛТД», 1997, стр.55.
10. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0 
11. http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D0%B9&stype=image