Теорема проективной геометрии

_____________________________________

______________________________________________________________________________

2015

Оглавление.

1. Введение……………………………………………………………………….…..3
2. Исторические замечания………………………………………………………….4
3. Теорема Дезарга и её доказательство……………………………………….....5-7
4. Значение проективной геометрии………………………………………………8-9
5. Выводы……………………………………………………………………………9
6. Список литературы………………………………………………………..……..10
7. Приложения…………………………………………………………………...11-15

Введение.

Проектирование используется очень широко в науке и технике. Все чертежи есть результат их проектирования из пространства на плоскость.

Проектирование позволяет обнаружить более общие и глубокие свойства геометрических фигур. Поэтому изучение данной темы актуально, потому что геометрия является элементом общей культуры человечества, теоретической основой искусства, а также элементом общей культуры отдельного человека, который стремился к пониманию внутренних законов красоты и гармонии. В школьной геометрии при изучении фигур используются отображения перемещения (движения) и подобия.

В школьной геометрии изучаются только такие свойства фигур, которые сохраняют свою силу при перемещениях и подобиях.

Проектирование обобщает известные нам перемещения и подобия, то есть движения и подобия суть частные случаи проектирования.

С какой целью изучают проектирование? Проектирование очень широко используются в науке и технике.

Цель: изучить историю проективной геометрии, узнать, где и как используются проектирование, теоремы, связанные с ним.

Объект: геометрические фигуры.

Задачи:

• изучить историю возникновения проективной геометрии;
• изучить первую теорему проективной геометрии;
• исследовать взаимное расположение двух треугольников, находящихся в одной или нескольких плоскостях.

3

Исторические замечания.

Когда и в каких исторических условиях возникла проективная геометрия?

Отдельные теоремы проективной геометрии были известны уже древним греческим геометрам. Истоки проективной геометрии, как самостоятельной науки лежат в живописи и инженерном деле и относятся к началу эпохи возрождения, а особенно к XVI и XVII векам. Расцвет живописи в эпоху Возрождения поставил перед художниками важнейшую задачу – найти законы изображения пространственных образов на плоскости.

Но поскольку изображение предмета на картинке было по существу проектированием этого предмета из глаза художника на плоскость, то законы, которые искал художник, и были законами правильного проектирования. Изображения предметов в согласии с этими законами называлось их перспективным изображением.

Одновременно те же задачи возникли перед инженерами и техниками, которые нуждались в плоских чертежах для постройки своих пространственных сооружений.

Французский инженер и математик Жерарг Дезарг (1591-1661) издал в Париже в 1639 году книгу «Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса с плоскостью». Здесь вместе с другими вопросами он изучал свойства эллипсов, парабол и гипербол, рассматривая из некоторого центра. Однако, книга Дезарга оказалось утерянной. Её копия случайно была найдена в 1845 году.

Проективная геометрия как самостоятельная дисциплина возникла в работах Ж. Понселе (1788-1867).Ж. Понселе, будучи инженером в армии Наполеона и участвуя в походе в Россию, попал в плен. Здесь, живя в Саратове, он занимался разработкой вопросов проективной геометрии. Вернувшись в Париж, он опубликовал в 1822 году «Трактат о проективных свойствах фигур», где рассматривал вопросы проективной геометрии с помощью проектирования фигур из некоторого центра. Его результаты легли в основу современной проективной геометрии.

4

Теорема Дезарга и её доказательство.

Если два треугольника ABC и А’B’C’ расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что прямые (AA’), (BB’) и (CC’), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S, то есть (AA’) ∩ (BB’) ∩ (CC’)= S, то их соответственные стороны (АВ) и (А’В’), (ВС) и (В’С’), (АС  )и (А’С’) пересекаются в трех точках M, N, P одной прямой (прямая Дезарга), то есть (AВ) ∩ (А’В’)=М,  (ВС) ∩ (В’С’)= N, (АС) ∩ (А’С’)=Р и M, N, P принадлежат прямой l.

Обратим внимание: 1) на то, что теорема Дезарга как проективная теорема ни в своей формулировке, ни в доказательстве не содержит измерительных понятий; 2) на способ доказательства теоремы Дезарга. Это доказательство теоремы получается только из внимательного рассмотрения чертежа. Никаких вспомогательных построений проводить не придется; 3) принципиальный интерес представляет собой то, что доказывать теорему Дезарга надо сначала для пространственного расположения треугольников.

Доказательство (для случая пространственного расположения треугольников, рис.1)

Прямые  (AA’) и (BB’) пересекаются в точке S. Значит, они лежат в одной плоскости. Следовательно, в этой же плоскости лежат точки A, A’, B, B’. Отсюда следует, что прямые (АВ) и (А’В’) пересекаются (т.к.в проективной геометрии всякие две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются). Они пересекаются в точке М, лежащей на линии пересечения плоскостей α и α’. Действительно, прямая (АВ) лежит в плоскости α, а прямая (А’В’) лежит в плоскости α’. Поэтому они могут пересечься только в одной точке, лежащей одновременно в плоскостях α и α’, то есть на линии их пересечения.

Точно также доказываем, что и другие пары прямых (ВС) и (В’С’), (АС)и (А’С’) пересекаются соответственно в точках N и P, лежащих на линии пересечения плоскостей α и α’, то есть на одной прямой с точкой М.

Теорема доказана.

5

Обратная теорема (рис.1)

Если два треугольника ABC и А’B’C’ расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости), так, что их соответственные стороны (АВ) и (А’В’), (ВС) и (В’С’), (АС)и (А’С’) пересекаются в трех точках M, N, P одной прямой, то прямые (AA’), (BB’) и (CC’), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S.

Дано: (AВ) ∩ (А’В’)=М,  (ВС) ∩ (В’С’)= N, (АС) ∩ (А’С’)=Р

Доказать: (AA’) ∩ (BB’) ∩ (CC’)= S

Замечание: прежде всего заметим, что в случае пространственного расположения треугольников ABC и А’B’C’ уже из того обстоятельства, что их соответственные стороны попарно пересекаются в трех точках, следует, что эти три точки лежат на одной прямой. Действительно, пусть треугольник АВС лежит в плоскости α, а треугольник А’B’C’ лежит в плоскости α’. Тогда прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая А’B’ лежит в плоскости α’. То по условию они пересекаются. Следовательно, их общая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей α и α’. То же рассуждение имеет место и для других пар сторон. Следовательно, все три точки M, N и P пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой – на линии пересечения плоскостей α и α’.

Доказательство:1)По условию прямые (АВ) и (А’В’) пересекаются в точке М. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Но тогда и точки А, В, А’, В’ лежат в этой же плоскости и пересекаются в некоторой точке S1 (рис1, б). 2)По условию прямые (ВС) и (В’С’) пересекаются в точке N. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому, точки В, С, В’, С’ лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (BB’) и (CC’) пересекаются в некоторой точке S2. 3)По условию прямые (АС) и (А’С’) пересекаются в точке Р. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому точки В, С, В’, С’ лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (AA’) и (CC’) пересекаются в некоторой точке S3.

Теперь остается доказать, что эти три прямые (AA’), (BB’), (CC’) пересекаются в одной точке, то есть что точки S1, S2, S3 совпадают.

6

Чтобы это доказать заметим, что поскольку два треугольника ABC и А’B’C’ не лежат в одной плоскости. И наоборот, если бы три прямые (AA’), (BB’), (CC’) лежали в одной плоскости, то и шесть точек  A, A’, В, В’, C, C’ лежали бы в одной плоскости, а следовательно, и наши треугольники ABC и А’B’C’ лежали бы в одной плоскости. Отсюда сразу видно, что если бы три точки S1S2S3, в которой лежали бы три прямые (AA’), (BB’), (CC’), а следовательно, и два наших треугольника ABC и А’B’C’. Но последнее противоречило бы исходному положению. Итак, три точки S1, S2, S3 совпадают, представляя собой точку S. Теорема доказана.

Все доказательства протекают без единого вспомогательного построения. Доказательство получается только из внимательного рассмотрения чертежа и установления определенных, следующих из этого выводов. Теорема Дезарга прекрасно иллюстрирует мысль о том, что значит и как важно уметь смотреть на чертеж и видеть по возможности все то, что на нем изображено. Но это сводится к умению делать из обзора чертежа возможно больше логических выводов.

Все доказательство не выходит за пределы совершенных соображений, доступных всем изучающим стереометрию.

7

Значение проективной геометрии.

В том, что проективная геометрия позволяет глубже понять теоремы элементарной, школьной геометрии, увидеть связь между различными геометриями, в частности между геометрией Лобачевского и школьной геометрией Евклида.

Особо отметим значение первой теоремы проективной геометрии теоремы Дезарга в стереометрических чертежах, выполняемых по правилам начертательной геометрии. Пространственная теорема Дезарга является обобщением одного хорошо известного факта. Если треугольную пирамиду с основанием АВС, «стоящую» на плоскости α, рассечь плоскостью α’, параллельной основанию, то в сечении получится треугольник А’B’C’, подобный треугольнику АBC и гомологичный ему.

В этом случае треугольник А’B’C’ находится в условиях Дезарга с треугольником АBC (рис 2, а).

Действительно, прямые, соединяющие вершины (ребра пирамиды (AA’), (BB’), (CC’)), пересекаются в одной точке – в вершине пирамиды  S, а их соответственные стороны (АВ) и (А’В’), (ВС) и (В’С’), (АС)и (А’С’) взаимно параллельны или, иначе говоря, пересекаются в трех точках М∞, N∞, P∞.(бесконечно удаленных точках!) одной прямой («бесконечно удаленной прямой!). Это «предельный случай» теоремы Дезарга.

Действительно, если провести секущую плоскость α’ не параллельно основанию пирамиды, то мы получим общий случай сечения пирамиды плоскостью, то есть общий случай теоремы Дезарга.

Если эту плоскость α’ поворачивать так, чтобы образовывала все меньший угол с плоскостью α, то прямая Дезарга будет постепенно удаляться и в случае параллельности этих плоскостей станет «бесконечности удаленной»

В результате мы получим предельный («школьный») случай теоремы Дезарга. Если мы удалим точку S в бесконечность, то получим теорему Дезарга для случая призмы (рис 2, б).

Подобно этому, отыскать можно сечения многоугольных пирамид и призм наклонной плоскостью, так как каждую из этих фигур можно разбить на треугольные пирамиды и призмы. Сечение плоскостью α’ конуса и цилиндра находим также на основании теоремы Дезарга, так как это сечение мы строим по точкам с помощью вписанных пирамиды и призмы, а потом эти точки соединяем плавной кривой (рис 2, в)

Теорема Дезарга, будучи важнейшей теоремой начертательной геометрии, обобщает хорошо известную теорему стереометрии о сечении пирамиды плоскостью на тот случай, когда эта плоскость не параллельна плоскости основания.
8

Выводы

Изобразим произвольную пирамиду SABC, «стоящую» на плоскости α, рассекаем её плоскостью α’, пересекающая ся с плоскостью α по прямой L.

Можно ли правильно построить её сечение с плоскостью, α в виде треугольника A’B’C’?

Из чертежа видно, что два треугольника ABC и A’B’C’ находятся в условиях теоремы Дезарга.

Да, сечение будет построенным верно, если точки пересечения соответственных сторон треугольников ABC и A’B’C’ будут лежать на одной прямой – и эта прямая должна быть прямой L, пересечения плоскостей α и α’(рис 3, а). Если это условие не будет выполнено, то чертеж будет ошибочен (рис 3, б).  Покажем, как грамотно построить такие чертежи от руки. Чертим плоскости α и α’ вместе с прямой  L их пересечения и пирамиду SABC (рис 3, а). Возьмем одну произвольную точку, например A’ на ребре АS, в качестве вершины треугольного сечения  A’B’C’ пирамиды с плоскостью α’. Этим мы однозначно определим положение секущей плоскости α, так как прямой и точкой вне  ее плоскость определяется. Теперь строим сечение. Продолжаем ребро АВ до пересечения с прямой L. Получаем точку М. соединяем точку М с точкой A’. В пересечении прямой МА’ с ребром BS получаем точку B’. в пересечении ребра ВС с прямой L получаем точку N.

В пересечении прямой B’N с ребром CS получаем точку С’. Соединяем точки A’, B’ и C’ – получаем треугольник A’B’C’.

9

Список литературы

1. Атанасян Л.С. «Геометрия» 10-11 класс, М. «Просвещение», 2011 г.
2. Атанасян Л.С. «Геометрия» 7-9 класс, М. «Просвещение», 2011 г.
3. Потоцкий М.В. «Что изучает проективная геометрия?»,  М. «Просвещение», 1982 г.
4. Мацуо Комацу «Многообразие геометрии», М., «Знание»1981 г.
5. Коксетер Г.С. «Новые встречи с геометрией»
6. Прасолов В.В. «Задачи по планиметрии», М., «Наука»1991 г.
7. Фетисов А.И. «Геометрия в задачах», М., «Просвещение»
8. Пидоу Д. «геометрия и искусство», М., «Мир»1979 г.
9. Атанасян Л.С. «Геометрия. Дополнительные главы к учебнику», 8класс, М. «Вита-Пресс» 2006 год

10

14

15

Рецензия на исследовательскую работу ученицы 11 класса Оёрской СОШ
Тучиновой Чимиты по теме «Первая теорема проективной геометрии».

Ученица исследовала взаимное расположение двух треугольников, находящихся в одной или различных плоскостях.

В работе показано, что теорема Дезарга интересна тем, что она является одной из важнейших теорем начертательной геометрии, на ее основе решаются множество задач проекционного черчения.

В работе сформулирована и доказана первая проективная теорема, в которой идет речь только о взаимной принадлежности геометрических образов.

Ученица понимает суть одной из наук, принадлежащей к высшей математике, проективной геометрии. Также понимает, что в ней не рассматриваются строгие и длинные выводы, которые так отпугивают многих.

Ученица узнала, что начертательная геометрия, которую называют «языком инженера», есть своеобразная глава проективной геометрии.

Может быть, кто-то из тех, кто изучал математику как «неизбежное зло», познакомившись с работой Чимиты, заинтересуется математикой и перейдет в число её любителей.