XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНВЕРСИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ЗАДАЧ  НА ПОСТРОЕНИЕ

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

Город Сургут

Автор:

                                                                  Сидоренко Николай Викторович,

                                                                  муниципальное бюджетное

                                                                  общеобразовательное учреждение

                                                         средняя общеобразовательная школа

                                                                   № 46 с углубленным изучением

                                                                   отдельных предметов, 9 класс

                                                                    Научный руководитель:

                                                          Максимович Юлия Геннадьевна,

                                                                    учитель математики

                                                                    муниципального бюджетного

                                                                    общеобразовательного учреждения

                                                          средняя общеобразовательная школа

                                                                    № 46 с углубленным изучением

                                                                    отдельных предметов

2017

Аннотация

XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНВЕРСИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ЗАДАЧ  НА ПОСТРОЕНИЕ

Российская Федерация

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

Город Сургут

В данной работе рассмотрена, проанализирована и решена на чертеже конструктивная задача, сформулированная на основании ситуации, возникшей на предприятии нашего города. Данная практико-ориентированная задача сводится к построению на плоскости окружности, касающейся трех данных непересекающихся окружностей внешним касанием. Построение такой окружности является одним из частных случаев древнейшей задачи Аполлония, решение которой основано на применении преобразования инверсии.

В работе изучены теоретические основы, этапы и методы решения задач на построение; преобразование инверсия и ее свойства; разработан алгоритм решения  задачи для окружностей произвольного радиуса; построено решение задачи на чертеже.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………..…….4

Глава I. Теоретические основы решения практико-ориентированной задачи.............6

1. Задачи на геометрические построения на плоскости с помощью циркуля и линейки……………………………………………………………………………....6

2.  Простейшие построения, как фундамент теории построения на плоскости…...9
3. Преобразование инверсия и ее свойства…………………………………………..9

Глава 2. Решение производственной конструктивной задачи методом построения

 с помощью циркуля и линейки…………………………………………………………….12

Заключение ………………………………………………………………….…………….…..14

Список использованной литературы и источников ………………………………….….15

Приложения…………………………………………………………………………………....16

Введение

На предприятии нашего города, при модернизации производственных процессов, появилась необходимость построения дополнительного охлаждающего резервуара цилиндрической формы в уже существующем цехе. В данном цехе уже расположены 3 аналогичных резервуара различных размеров и новый должен располагаться между ними. Для того, чтобы процесс охлаждения проходил наиболее эффективно, новый резервуар должен быть наибольшего объема, который только можно поместить в данный цех.

Вот такая сложная задача встала перед инженерами-конструкторами данного предприятия, каким образом они ее решили нам остается неизвестно. Однако нам стало интересно, каким образом можно решить эту задачу (в нашем случае на чертеже) и мы поставили перед собой цель проанализировать сложившуюся ситуацию и найти пути решения данной производственной задачи.

Проанализировав условия задачи, мы пришли к выводу, что для того, чтобы резервуар имел наибольший объем, его основание,  в нашем случае окружность, должно иметь наибольший диаметр. Наибольший диаметр окружности расположенной между 3 окружностями получается в том случае, если окружность касается всех остальных 3 окружностей. Таким образом, задача сводится к решению задачи на построение окружности, касающейся 3 других непересекающихся окружностей внешним касанием. Данная задача является одним из 8 случаев древнейшей задачи Аполлония, и  долгое время не имела аналитического решения. В 2010 году такое решение было опубликовано, но оно признано очень сложным и нерациональным. Решается данная задача путем геометрического построения с помощью циркуля и линейки, с применением преобразования инверсии.

Преобразование инверсия подробно описано в трудах  Жижилкина И. Д.,  Бакельмана И. Я. Шеломовского В.В. другие. Подробно алгоритм решения и применение задачи Аполлония описано  в книге Аргунова Б.И., Балка М.Б. «Геометрические построения на плоскости»,  Розенфельда Б. А. - «Аполлоний Пергский».  Современные приложения задачи Аполлония  рассмотрены в работе Пуховой Ю. И. и Гельдымурадовой М.О. 

Цель исследования: Поиск рациональных путей решения производственной конструктивной задачи, сводящейся к решению задачи на построение.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть и проанализировать производственную задачу.
2. Изучить основные простейшие геометрические построения с помощью циркуля и линейки.
3. Изучить преобразование инверсия и основные его свойства.
4. Применив преобразование инверсии решить поставленную производственную задачу с помощью циркуля и линейки.  

Объект исследования: преобразование инверсия.

Предмет исследования: решение производственной конструктивной задачи, сводящейся к решению геометрической задачи на построение

Гипотеза: Решение задачи аналитическим путем невозможно, а использование преобразования инверсии сводит ее к решению стандартной задачи на построение окружности касающейся двух параллельных прямых и окружности.

Личный вклад: построение решения конструктивной задачи с помощью преобразования инверсии, сводящейся к одному из видов решения задачи Аполлония.

Научная новизна: Проблема данного исследования носит актуальный характер, так как модернизация производственного процесса часто ставит перед конструкторами сложные задачи, решение которых облегчается с помощью различных геометрических преобразований и математических теорий.

Методы исследования: метод причинно-следственного анализа, метод моделирования, метод геометрического построения на плоскости.

Практическая направленность: использование данного преобразования при решении конструктивных задач на производстве или в быту.

Результатом нашей работы станет готовое построение (чертеж) с окружностями произвольных радиусов, так как размеры резервуаров на производстве нам неизвестны, но методы и алгоритм построения  можно применить к окружностям любого заданного радиуса и расположения.

Глава I. Теоретические основы решения практико-ориентированной задачи

1.1 Задачи на геометрические построения на плоскости с помощью циркуля и линейки.

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник, или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.

И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты.  Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач.  Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения.  Именно поэтому научиться  решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания; способствуют накоплению конкретных геометрических представлений о той или иной фигуре и умение мысленно оперировать знаниями об ее элементах; развивают логическое мышление, внимательность, изобретательность и целеустремленность.

 Посредством задач на построение, даже простейших из них, более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач создается наглядная модель изучаемых свойств и отношений.

Любая ли задача решается с помощью циркуля и линейки? Еще в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению.

1. Задача об удвоении объема куба.

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше объема данного куба.

2. Задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

3. Задача о квадратуре круга.

Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга.

Возникновение этих задач связано с целым рядом древних легенд. [1]

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:

• произвольную точку
• произвольную точку на заданной прямой
• произвольную точку на заданной окружности
• точку пересечения двух заданных прямых
• точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
• точки пересечения/касания двух заданных окружностей

2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:

• произвольную прямую
• произвольную прямую, проходящую через заданную точку

• прямую, проходящую через две заданных точки

3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:

• произвольную окружность
• произвольную окружность с центром в заданной точке
• произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
• окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками. [2,25]

Решение задачи на построение.

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить с помощью циркуля и линейки некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

Первый этап – анализ.

Это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе необходимо построить модель готового решения необходимо выявить такие зависимости между данными элементами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту фигуру.

Второй этап – построение – состоит из двух частей:

перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.

Третий этап – доказательство.

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения.

Четвертый этап – исследование.

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы.

Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы:

всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;

сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования. [2,30]

Основные методы решения задач на построение:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

• Метод параллельного переноса
• Метод поворота
• Метод подобия (метод расширения)
• Метод гомотетии
• Метод центральной и осевой симметрии
• Метод инверсии

3. Алгебраический метод.

2. Простейшие построения, как фундамент теории построения на плоскости

Прежде чем приступить к решению задач на построение, не достаточно знать их суть, основные этапы и методы, сначала необходимо овладеть фундаментом этой науки, научиться строить самые простейшие геометрические объекты, с помощью которых в дальнейшем возможно построить любые, даже самые сложные геометрические фигуры. Такие объекты принято называть простейшими геометрическими построениями. С некоторыми из них мы познакомились в 7 классе на уроках геометрии:

• Построение отрезка равного данному
• Построение середины отрезка
• Построение угла равного данному
• Построение биссектрисы угла
• Построение параллельной прямой, проходящей через данную точку
• Построение перпендикулярной прямой, проходящей через данную точку [3,58]

Однако это не все существующие простейшие геометрические построения, поэтому нами был изучен ряд дополнительных построений сверх школьной программы, которые в дальнейшем помогут нам при решений задач различной сложности и содержания:

• Построение суммы и разности двух отрезков
• Построение серединного перпендикуляра
• Построение пропорциональности отрезков
• Построение  касательной к окружности, проходящей через данную точку
• Построение множества точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Все построения с помощью циркуля и линейки представлены  в Приложение 1.

2. Преобразование инверсия и ее свойства

Проанализировав производственную задачу, которая нас заинтересовала, построив модель решения, удовлетворяющую условиям задачи, мы выяснили, что задача сводится к решению задачи Аполлония, где нас удовлетворяет лишь один из 8 возможных случаев касания. На рисунке 1 можно увидеть все 8 случаев качания 4 окружностей, где черным цветом обозначены 3 данных окружности, а белым -  искомая.

Рисунок 1.

Решение подобных задач, если данные окружности имеют радиусы отличные от нуля (т.е. не являются точками на плоскости) и отличных от радиуса равного бесконечности (когда окружность является прямой) не имеет решения без применения метода геометрического преобразования инверсии. Поэтому перед нами встала задача: изучить основные понятия и способы построения данного преобразования, на уровне, достаточном для решения поставленных задач. [5]

Определение инверсии. Построение инверсных точек.

Преобразование инверсии отличается от изученных нами в 9 классе преобразований движения и подобия, которые сохраняют природу простейших фигур, являясь наиболее сложным геометрическим преобразованием меняющим природу объекта, т.е. при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот.

Пусть на плоскости дана некоторая окружность ɷ (О, R) и точка Р – произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку Р´, которая удовлетворяла бы двум условиям:

1. точка Р´ лежит на луче ОР;
2. |ОР|·|OР´| = R2.

Такую точку Р´ мы называем инверсной или обратной точке Р относительно окружности ɷ. Окружность ɷ называется базисной окружностью инверсии, ее центр – центром инверсии, а радиус – радиусом инверсии. Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точками данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на то, что при R = 1 ОР´= 1/ОР, так что если точка Р инверсна точке Р´, то расстояния ОР и ОР´ являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку Р´ называют обратной точке Р, а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением.

Рассмотрим построение инверсных точек:

1случай. Если точка Р Є ɷ(О,R), то Р´= Р (совпадают), точки окружности инверсии являются неподвижными.

2 случай.Пусть точка Р вне базисной окружности. Тогда построение инверсной точки выполняется по алгоритму:

1. ɷ (О, R) и Р – данная точка.
2. Строим прямую ОР
3. РК – касательная к окружности ɷ, где К Є ɷ(О,R).
4. КР´┴ОР, Р´ Є ОР, Р´- инверсна точке Р. (Рисунок 2).

3 случай.Точка Р – внутри базисной окружности. Тогда построение выполняем вобратом порядке.

1. ɷ (О, R) и Р – данная точка.
2. Строим прямую ОР
3. РК┴ОР, К Є ɷ(О, R).
4. КР´ – касательная к окружности, точка Р´ инверсная точка Р.[6]

Рисунок 2.

Свойства инверсии:

1. Точки инверсной окружности ɷ (О, R)  неподвижны.
2. При рассмотрении инверсии к плоскости добавляют воображаемую «бесконечно-удаленную точку» U, лежащую, по определению, на каждой прямой; считается, что при любой инверсии центр O инверсии переходит в бесконечно-удаленную точку U и обратно, U переходит в O.
3. Любая прямая проходящая через центр инверсии О переходит сама в себя.
4. Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O и наоборот окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O (Рисунок 3, а).
5. Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа)(Рисунок 3, б).
6. Инверсия сохраняет углы: угол между любыми двумя линиями равен углу между их образами (угол между кривыми в точке их пересечения определяется как угол между касательными к ним в этой точке).[7,4]

              а)                                                           б)

Рисунок 3

Построения инверсной точки, а также построение инверсии различных окружностей  выполненные с помощью циркуля и линейки можно увидеть в Приложении 2.

Глава 2. Решение производственной конструктивной задачи методом построения с помощью циркуля и линейки.

1 этап. Анализ: для решения задачи необходимо представить тот вариант решения, который удовлетворяет всем условиям и схематически его начертить. В ходе анализа перед нами встала нелегкая задача: как найти центр окружности, касающейся 3 данных окружностей. Без преобразования инверсии это сделать невозможно, но и как правильно применить инверсию к решению данной задачи стоило подумать. Логично, что для упрощения построения искомой окружности необходимо использовать свойство распрямления окружностей, но преобразовать все 3 окружности в прямые не представляется возможным, так как их радиусы не равны, или расстояние между ними не симметричны. Следовательно, «раздуть» их таким образом, чтобы все 3 проходили через центр инверсной окружности при произвольном расположении невозможно. Однако мы выяснили, что можно достаточно «раздуть» две окружности таким образом, чтобы они касались в одной точке, данная точка и станет центром нашей инверсной окружности. При таком расположении точки О после инверсии две касающиеся окружности преобразуются в параллельные прямые, а третья окружность преобразуется в другую окружность. Таким образом наше построение сводится к построению окружности касающейся двух параллельных прямых и окружности. Данная задача решается несложно. Достаточно построить равноудаленную от двух параллельных  прямых прямую, причем расстояние между параллельными прямыми и будет радиусом искомой окружности. Последним шагом необходимо определить точку О* - центр искомой окружности. Достаточно применить преобразование гомотетии (раздуть окружность) увеличив радиус на длину равную расстоянию от параллельной прямой до равноудаленной прямой. Точка пересечения получившейся окружности с равноудаленной прямой и есть искомый центр нашей окружности. Теперь необходимо только инвертировать данные точки и полученная окружность будет касаться трех данных окружностей произвольного радиуса и расположения

2 этап. Построение проводится по алгоритму, выведенному в ходе анализа, и подробно описано при построении на бумаге в Приложении 3.

3 этап. Доказательство: Касание с первыми двумя окружностями следует из определения точки О* на прямой, равноудаленной от двух данных параллельных прямых, являющихся образами окружностей. Касание с третей прямой следует из ее пересечения с равноудаленной прямой, гомотетичной ей окружности, раздутой на радиус образа предполагаемой искомой окружности.

4 этап. Исследование: Если, раздутая на радиус образа предполагаемой окружности окружность, пересекает прямую, то получится 2 точки центра О*, один из которых будет касаться внешним касанием, а один внутренним. Нашим условиям удовлетворяет только один.

Если эта окружность коснется прямой, то существует единственное решение.

Если не пересекает, то решения в таким образом выбранной окружностью инверсии нет, однако  если повторить все выше изложенные преобразования с другими 2 из 3 окружностей решение скорее всего будет найдено. Вероятность того, что решения нет очень низкая.

Заключение

Преобразования являются одним из основных разделов геометрии, на основе которых решается большой круг задач и доказывается множество теорем. Преобразования получили широкое применение во многих видах деятельности: проектировании зданий и сооружений, машиностроении, картографии и других областях научной и практической деятельности человека.

Преобразование инверсия – одно из интереснейших нестандартных абстрактных преобразований геометрии, способное изменить геометрическую природу объекта, его форму, при этом сохраняя комфорность. Применяя преобразование инверсии можно свести  наисложнейшие задачи к элементарному решению.

В нашей работе нам удалось изучить способы построения инверсных точек и фигур, изучить основные свойства преобразования инверсии. Конечно, это только основы, и преобразование инверсии хранит в себе еще множество тайн и возможностей, которые на данном этапе нам еще не под силу освоить, так как их изучение требует более глубоких знаний в области высшей математики и конструктивной геометрии.

Однако нам удалось проанализировать и решить интересную конструктивную задачу, вставшую перед инженерами на предприятии нашего города. В ходе поиска решения нам удалось узнать много нового, изучить основы теории построения на плоскости, исследовать и научиться строить основные простейшие построения на плоскости с помощью циркуля и линейки. Научиться решать задачи на построение, выполняя все этапы. Но самое главное наглядно убедиться, как помогает преобразование инверсии упростить условия задачи, сводя их к более легкому решению.

Изучение и решение задач на построение, применение различных преобразований помогли нам лучше понять природу геометрических объектов, способствовали закреплению многих понятий и свойств, изученных нами в курсе школьной геометрии, анализировать и представлять, строить логические цепочки и продумывать алгоритмы, исследовать возможные исходы построения и их существование.

Но главным своим достижением, мы считаем готовое построение, которое является одним из решений известной задачи Аполлония, увлекавшей математиков всего мира не одну сотню лет, анализ и исследование данного случая. Таким образом, можно сказать, что поставленные перед нами цели достигнуты. Выработанные алгоритмы можно использовать для решения данной задачи с заданными радиусами и расположением окружностей, поэтому их можно применить на производстве, в быту (например, при разбиении клумб в саду) или в обучающих целях, как теоретический и наглядный материал.

Список использованной литературы и источников

1.Что такое задачи на построение. Полные уроки [Электронный ресурс] Режим доступа:

http://edufuture.biz/index.php?title=Что_такое_задачи_на_построение._Полные_уроки

2. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд.2, Учпедгиз, 1957;

3. А.В. Погорелов Геометрия 7 – 9.  Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2008.

4. А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1991.

5.Конструктивная геометрия: Задача. [Электронный ресурс] Режим доступа: http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/34b51ab0-f818-4071-b6ef-c3f258efd2c0/KG_Apolo_article.html

6. Портал естественных наук: Инверсия.[Электронный ресурс] Режим доступа:

http://e-science.ru/math/theory/?t=586

7. И. Я. Бакельман, Инверсия, издательство «Наука» 1966 г.

8. В.В. Прасолов. Геометрические задачи древнего мира. – М.: «Фазис», 1997.