Министерство образования и науки Республики Бурятия

Отдел образования МО «Еравнинский район»

МБОУ «Сосново-Озерская средняя общеобразовательная школа №2»

Конференция «Шаг в будущее»

Секция «Алгебра»

Решение задач с параметрами

Автор: ученик  9 «а» класса

Белобородов Илья

Научный руководитель: учитель  математики,

учитель высшей категории,

Заслуженный учитель РФ

Цыбикова Сэндэма Дугаровна

с. Сосново-Озерское

2016 год

Оглавление

1.        Введение……………………………………………………...……………………..2

2.        Основная часть……………………………………………………………….……..3

3.        Заключение…………………………………………………………………...…….10

4.        Список использованной литературы……………………………………...………11

5.        Приложение……………………………………………………………………..…..12

Введение.

Актуальность темы исследования. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания.  Хотя задачи с параметрами  позволяют развить активную творческую, деятельность, развивают системное мышление, готовят к решению творческих задач.

Существующее противоречие между количеством и уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и задач на эту тему, предлагаемых при поступлении в вузы или среди задач с развернутым ответом единого государственного экзамена определили актуальность исследования.

Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между уровнем сложности задач с параметрами, изучаемых в школе, и уровнем сложности задач, предлагаемых при поступлении в Вузы, задач с развернутым ответом Единого Государственного экзамена.

Объект исследования –задачи с параметрами –линейные уравнения первой степени и уравнения второй степени

Предмет  исследования - способы решения  задач с параметрами

Целью данного исследования  является  систематизация и обобщение  способов решения  задач с параметрами.

Задачи исследования;

1)рассмотреть задачи с параметрами с решениями;

2)  провести систематизацию основных типов задач с параметрами, а также методов их решения.

3)показать практическую значимость умения решения задач с параметрами

Гипотеза исследования состоит в том что, системное использование этих задач будет служить для того, чтобы способствовать возможности практического применения  умений  решать задачи с параметрами при сдаче ЕГЭ.

Методы исследования: анализ литературы, школьных учебников и учебных пособий, анализ личного опыта решения задач, аналогия, классификация, метод сравнения

Основная часть.

 1. Что такое параметр?

Понятие параметра. Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax²+bx+c=0), то обратите внимание, что при поиске их корней значение остальных переменных, входящих в уравнение, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных. Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, мы предлагаем взять за основу следующий его простейший вариант:

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения   не следует неотрицательность значений выражения a-1, и если a-1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

2. Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значение параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т.д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у слушателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

3. Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значение параметра, при которых:

1. Уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2. Множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т.д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики, но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

4. Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ 1. Аналитический. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

По моему мнению, аналитический способ – самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ 2. Графический. В зависимости от задачи рассматриваются графики или в координатной плоскости (x;y), или в координатной плоскости (x;a), где a – значение параметра.

Способ 3. Решение относительно параметра. При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способах решения задач с параметром.

Аналитический метод.

 Найдите все значения параметра a, при которых уравнение: (2а-1)х2+ах+(2а-3)=0  имеет не более одного корня. Решение: При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай а=½ разбираем отдельно. Если а=½, то уравнение принимает вид  1/2х =0 , оно имеет один корень.

[ Если а≠½, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был не положителен: D=a2-4(2a-1)(2a-3)=-15a2+32a-12.

-15a2+32a-12≤0 ⇔        a≥(16+2)/15

        a≤(16-2)/15

 Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли a=1/2 условию, а для этого надо сравнить числа ½ и (16-2)/15. ½ >(16-2)/15.Очевидно, что ½<(16+2)/15.

 Ответ: ( -∞;(16-2)/15]∪{½}∪[(16+2)/15;+∞)

Графический метод.

 Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет единственный корень:

Решим эту задачу графически.

Для начала составим две функции:

y=

y=ax-12a-5

График первой функции это полуокружность с центром в точке (4;0) и радиусом 5, лежащая в верхней полуплоскости.

График второй функции – семейство прямых, проходящих через точку (12;5).

Построим графики. Уравнение имеет единственный корень, если графики имеют единственную общую точку.

Единственное решение при а=0 (касание) или при а принадлежит (а1;а2]

При а=а2 прямая проходит через точку (9;0) из этого следует, что а2=5/3

При а=а1 прямая проходит через точку (-1;0) и а1=5/13

Ответ: {0}U(5/13;5/3]

Метод решения относительно параметра.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х−8 = −ах + 3а + 2 имеет единственное решение.

 Решение: Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть х −8 = t , t ≥ 0 , тогда x=t2+8 и уравнение примет вид at2+t+5a-2=0. Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at2+t+5a-2=0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

 1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t=2.

2) Если а≠0 и D=1-20a2+8>0, то имеем единственное неотрицательное решение, если корни разных знаков, т.е.

t1t2=(5a-2)/a≤0 ⇔ a∈(0;2/5) .

 (При a=2/5 получаем t1=0, t2=-1/a<0).

 3) Если а≠0 и, то D=0 ⇔ a=-0,1 и a=0,5 одно неотрицательное решение имеем при а = -0,1.

 Ответ: {− 0,1}∪[0;0,4].

Рассмотрим еще несколько задач с параметрами:

Начнем с простейших, которые часто встречаются в задачах.

Решить уравнения:

a/(x-2)=1 .

Решение. Очевидно, x ≠ 2 . Умножив обе части уравнения на x − 2 ≠ 0 , получим a = x − 2, или x = a + 2 . Затем проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденное значение x было бы равно числу 2, т. е. решим уравнение 2 = a + 2 относительно a. Получим, что при a = 0 и x = 2 , но число 2 не входит в область определения исходного уравнения, следовательно, не может быть его корнем. Ответ. При a = 0 корней нет, при a ≠ 0 , x = a + 2.

  x/(x+1)=a.

 Решение. Очевидно, x ≠ −1 . Приведя исходное уравнение к виду (1− a)⋅ x = a , заметим, что при a =1 уравнение не имеет корней, а при a ≠1 получаем x=a/1-a. Осталось проверить, нет ли таких значений параметра a, при которых найденное значение x равно −1 , т. е. нужно решить уравнение -1=a/1-a относительно а. Поскольку последнее уравнение не имеет корней, других вариантов, кроме рассмотренных выше, не имеется.

Ответ. При a ≠1 a a x − = 1; при a =1 корней нет.

Рассмотрим пример посложнее:

При каких а уравнение ax2-x+3=0 имеет единственное решение?

Решение. Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0 . Итак, если a = 0 , то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a ≠ 0 , то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант D =1−12a принимает значение, равное нулю, при a=1/12.

 Ответ. {0};{1/12}

В этих примерах ничего сложного нет. Однако, параметр в этих задачах проявляет свое «коварство», особенно для начинающих. Поэтому рассмотрим еще  пример, где параметр «расставляет ловушки».

  При каких а уравнение ax2-4x+a+3=0 имеет более одного корня?

Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант D= 16-4a2-12a - положительный. Отсюда получаем − 4 < a <1 . Однако в полученный промежуток (−4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

 Ответ. (− 4;0)∪ (0;1).

 Заключение

Систематизированы и обобщены   задачи с параметрами по типам, рассмотрены задачи с подробным решением.

 Подобрана и составлена целостная система задач и упражнений, позволяющая обрести некоторый опыт в преодолении трудности при встрече с задачами с параметрами, развивать системный  тип мышления.

Выявлены способы решения задач с параметрами: графический способ, аналитический способ 
Выделены преимущества решения  задач с параметрами:

1)        При решении задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение теоретического материала.

2)        Решение задач с параметром расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач.

3)        Задачи с параметром – эффективные упражнения для тренировки мышц интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать.

4)        Приобретаются навыки исследовательской работы.

5)        Помощь при подготовке к экзаменам.

6)        Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Список литературы.

 Ф.Ф.Лысенко и С.Ю.Калабухов; «Подготовка к ЕГЭ-2016», издательство «Легион» Ростов-на-Дону, стр.70

О.Креславская, Газета «Математика» №23 2002, «Задачи с параметром» стр. 23-27

О.Креславская, Газета «Математика» №18 2004 «О задачах с параметром», стр.23-27

Приложение.