Применение метода мажорант при решении уравнений и неравенств

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1 г. Зеленокумска»

Советского городского округа

Ставропольского края

Исследовательская работа

Применение метода мажорант при решении уравнений и неравенств

Выполнила:

ученица 11 «А» класса

Величко Ирина

Руководитель:

учитель математики

первой квалификационной категории

Брюховецкая Зоя Григорьевна

Зеленокумск

2019

Содержание:

Введение…………………………………………………………………………….…3

Основная часть

1. Определение мажоранты функции……………………………………………5
2. Метод мажорант………………………………………………………………..8
3. Применение метода мажорант для решения уравнений и неравенств……..9

Заключение………………………………………………………………….……......15

Список использованной литературы…………………………………..…………...16

Введение

«Природа так обо всем позаботилась, что повсюду ты находишь, чему учиться»

Леонардо да Винчи

Развитие мышления у ребенка – это одна из главных задач образовательного процесса. Большой вклад в формирование мышления вносит математика. Решение различных математических задач, способствует развитию логического мышления и формированию навыков обобщения, конкретизации, анализа. Особую роль играют нестандартные задачи, при решении которых развивается творческое мышление и формируется умение нестандартно мыслить. Все это помогает использовать полученные знания и умения для решения практических и прикладных задач.

Решении уравнений и неравенств в математике играет важную роль. Без умения решать различные неравенства и уравнения невозможно успешное изучение математики. Поэтому я решила изучить метод мажорант – один из способов решения уравнений и неравенств. С помощью этого метода удобно решать нестандартные уравнения, например: уравнения, в правой и левой частях которого находятся функции разных типов, уравнения с параметром.Метод мажорант еще известен как метод оценки левой и правой части уравнения или неравенства. Применение этого метода будет успешным только в том случае, если уметь находить область значений, экстремумы элементарных функций, исследовать функцию с помощь производной.

Объект исследования:уравнения и неравенства в математике.

Цель исследования: изучить метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств, заинтересовать читателей решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и решение читателями задач подобного типа.

Гипотеза: решение уравнений и неравенств методом мажорант.

Задачи исследования:

• сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения неравенств и уравнений;
• развивать умение самостоятельно приобретать и применять знания;
• сформировать устойчивый интерес к предмету.

Актуальность этой работы заключается в том, что с помощью метода мажорант можно успешно решать олимпиадные задачи, уравнения и неравенства повышенной сложности. Также этот метод позволяет решать задания ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов ВУЗов на высший балл.

При выполнении исследовательской работы применялись теоретические методы: изучение источников информации по методу мажоранта с последующим их анализом, моделирование приемов использования метода мажоранта при решении уравнений и неравенств.

Определение мажоранты функции

Как заметил С. Коваль: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Эта работа посвящена одному из нестандартных методов решения неравенств и уравнений – методу мажорант, основанному на свойстве ограниченности функции.

Определение: Мажорантой данной функции f(x) на множестве P называется такое числоM, что либо , либо .

Метод мажорант или метод оценки чаще всего используется в уравнениях вида f(x)=g(x), где f(x)и g(x) – ограниченные функции, и на области определения данного уравнения наибольшее значение Mодной из них равно наименьшему значению M другой.

Термин «мажоранта» происходит от французского слова «majorante», от «majorer» - объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функций известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.

Пример 1.– квадратичная функция, график – парабола, направление ветвей которой зависит от коэффициента a. Координаты вершины параболы (m; n). Так как n=f(m), то M=n, то есть мажоранта квадратичной функции – ордината вершины.M=(4ac-b2)/4a.

Пример 2.  – тригонометрическая функция, график – синусоида. Область значений функции: . M=-1, M=1.

Пример 3.  – тригонометрическая функция, график – синусоида.  Область значений . M=-1, M=1.

Пример 4.  . По определению . M=0.

Пример 5.– показательная функция, график которой либо только возрастает (при ), либо только убывает (при ).

Пример 6. – логарифмическая функция, график которой либо только возрастает (при ), либо только убывает (при  ).

Такимобразом, для нахождения мажоранты функции необходимо:

• знание свойств функции;
• умение определять область значений функции;
• умение находить экстремумы функции;
• умение преобразовывать функции.

Значительно упрощает поиск мажоранты знание определения ограниченности функции.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число A, что при всех допустимых xвыполняется условие  .

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число A, что при всех допустимых xвыполняется условие  .

Функция ограничена и сверху, и снизу при одновременном выполнении этих условий.

Метод мажорант

Как понять, что в задании присутствует мажоранта и его нужно решать именно предложенным методом? Для этого нужно знать основной признак подобных задач: имеется смешанное уравнение (неравенство), то есть в задании присутствуют разнородные функции, например: линейная и логарифмическая, тригонометрическая и квадратичная.

Основная же идея метода может быть сформулирована в виде следующих теорем.

Теорема 1.

Пусть  – некоторые функции, определенные на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом Mсверху, аg(x)ограничена на этом множестве тем же числомMснизу. Тогда уравнениеf(x)=g(x) равносильно системе уравнений:

Теорема 2.

Пусть   – некоторые функции, определенные на множестве D. Пусть f(x) иg(x) ограничены на этом множестве сверху (снизу) числамиM и Nсоответственно. Тогда уравнение равносильно системе уравнений:

Теорема 3.

Пусть   – некоторые неотрицательные функции, определенные на множестве D. Пусть f(x) иg(x) ограничены на этом множестве сверху (снизу) числами M и Nсоответственно. Тогда уравнение (при условии, что ) равносильно системе уравнений:

Применение метода мажорант при решении уравнений и неравенств

Пример 1. Решить уравнение:.

Решение: Нам дано уравнение вида f(x)=g(x). Проанализируем каждую функцию отдельно. Рассмотрим f(x)=. Область значений этой функции [-1; 1]. Рассмотрим теперь g(x). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, получающаяся из графика функции  с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на 1 единицу вверх. Значит, координаты вершины (0; 1). Получается, что если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть равна только 1.

Следовательно, уравнение  равносильно системе:

Решим второе уравнение системы. Оно имеет только один корень . Проверим первое уравнение, подставив значение x. Получаем верное равенство  Значит,   – корень уравнения .

Ответ: 0.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение: Упростим данное уравнение.

Получаем уравнение вида f(x)=g(x). Проанализируем каждую функцию отдельно. Рассмотримf(x)=. .

Рассмотрим теперь g(x). Область значений этой функции [-1; 0]. Получается, чтоM=0.Следовательно, уравнение равносильно системе:.

Решим первое уравнение системы.

Подставим значение переменной во второе уравнение. Получаем,  Это не верно. Значит, уравнение:  не имеет решений.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решитьнеравенство:.

Решение: Определим, чем ограничены функции. Так, .  Проведем преобразование второй функции:

. Мы видим, что наибольшее значение этой функции равно 1.

Следовательно, неравенство   равносильно системе:

Решив второе уравнение системы, получаем . Проверим первое уравнение, подставив значение x. Получаем верное равенство . Значит,  является решением неравенства.

Ответ: -1.

Пример 4. Решитьнеравенство:

Решение: Преобразуем данное неравенство:  . Т.к.  , то . Мы получили неравенство видаf(x)g(x).

Рассмотрим f(x)=. Преобразуем подлогарифмическое выражение: . Получаем, что подлогарифмическое выражение Т. к. возрастает при , то

Рассмотрим g(x)=. Мы знаем, чтовозрастает. Т. к.  то  Получаем, что M=1. Следовательно, неравенство   равносильно системе:

Решив первое уравнение системы, получаем . Проверим первое уравнение, подставив значение x. Получаем верное равенство Значит, является решением неравенства.

Ответ: 3.

Пример 5. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

Решение: Рассмотрим правую часть уравнения. Она имеет вид , где.

Рассмотрим левую часть уравнения. Преобразуем её: . Теперь и левая часть уравнения имеет вид , где .

Получаем, что . Тогда .

Получаем квадратное уравнение , которое не имеет корней только в том случае, если D<0.  .

Значит,

Ответ:

Пример 6. Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно 1 решение.

Решение: Рассмотрим первое уравнение системы.

1. При  – уравнение окружности с центром в точке O1(5; 4) и радиусом 3.
2. При . - уравнение окружности с центром в точке O2(-5; 4) и радиусом 3.

Рассмотрим второе уравнение системы. – уравнение окружности с центром в точке O(-2; 0) и радиусом a.

Построим графики функций в одной системе координат.

Построив графики, получаем серию окружностей с центром в точкеO(-2; 0) и различными радиусами. Система уравнений имеет только 1 решение, окружностьс центром в точкеOкасается одной из окружностей с центрами O1и O2, при этом не касаясь и не пересекая другую. Этому условию удовлетворяют окружности N1и N4графика. Найдем радиусы этих окружностей.

OA – радиус окружности N1.OA=OO2 – O2A. O2A=3. OO2найдем из , где . По теореме Пифагора: .OA=5-3=2. Значит, a=2.

OB – радиус окружностиN4. OB=OO1 + O1B. O1B=3. OO1 найдем из , где . По теореме Пифагора:. OB=3+. Значит, a=3+.

Следовательно,  a=3+и a=2.

Ответ: 2; 3+.

Пример 7.Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений    имеет ровно 2 решения.

Решение: Рассмотрим первое уравнение системы.

Мы видим, что числитель можно разложить на множители способом группировки:

 .

.Дробь равна 0, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, при уравнение не имеет смысла. Значит мы будем рассматривать только . Тогда имеем

y-1=0   или   xy-4=0

y=1– линейная функция, график – прямая, параллельная оси абсцисс.

 – обратная пропорциональность, график – гипербола.

Рассмотрим второе уравнение системы.

y=x+a – серия прямых, параллельных прямой y=x.

Построим все графики в одной системе координат.

Система уравнений будет иметь ровно столько решений на определенных промежутках, сколько точек пересечения имеют графики на этих же промежутках. Таким образом, имеем:

при a<-3 графики имеют 3 точки пересечения,

при a=-3 графики имеют 2 точки пересечения,

при -3графики имеют 3 точки пересечения,

при a=0графики имеют 2 точки пересечения,

при 0графики имеют 2 точки пересечения,

при aграфики имеют 1 точку пересечения.

Система имеет ровно 2 решения при a=-3 иa.

Ответ: -3; .

Заключение

Многие функции, которые нам известны, имеют мажоранты. Например, квадратичная, тригонометрические, некоторые дробно-рациональные функции. Если же мажоранта не видна сразу, её можно найти, исследуя функцию. Чтобы найти мажоранту, нужно найти наименьшее или наибольшее значение функции на промежутке.

При разборе приведенных примеров мы убедились, что умение оценивать левую и правую части уравнений (неравенств) помогает успешно решать нестандартные задачи и задания повышенной сложности.

Таким образом, при выполнении данной работы я изучила метод мажорант и показала его применение при решении уравнений и неравенств. Также привела примеры использования этого метода при решении заданий, встречающихся в ЕГЭ.

Я считаю, что эта работа имеет практическую пользу, так как предложенный в ней метод помогает успешно решать задачи, которые включают в олимпиады и ЕГЭ.

Список использованной литературы

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд; Под ред. А. Н. Колмогорова. – 12-изд. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002. – 384с.
2. Математика: Учебно-методический журнал – М.: Первое сентября, 2009.
3. ЕГЭ 2017. Математика. 10 вариантов экзаменационных работ. Профильный уровень. Под ред. И. В. Ященко/ М.: 2017.
4. А. Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа 10-11, «Мнемозина» - Москва, 2012.
5. Е. Д. Куланин, В. П. Норин. 3000 конкурсных задач по математике. М.:Айрис-пресс, 2003.