Проектная работа "Механизмы Чебышева"

Костылев Артем Александрович

МБОУ «Общеобразовательная гимназия №6»

г. Архангельск, 11 класс

МЕХАНИЗМЫ П.Л.ЧЕБЫШЕВА

Введение

Задумываемся ли мы, открывая во время дождя зонтик над головой или включая «дворники» автомашины, как работают эти механизмы, и кто их изобрёл? Плоские шарнирные механизмы, которые мы встречаем повсюду в повседневной жизни  и без которых не возможны современные приборы и  промышленность создавались ещё очень давно.

          Подлинным новатором техники, создавшим различные механизмы и оставившим огромное научное наследие, был блестящий русский математик Пафнутий Львович Чебышёв. Нам захотелось больше узнать о великом русском математике, узнать о «Механизмах Чебышёва» и о принципах их работы.

Проблема исследования - поиск сведений о русском ученом П.Л. Чебышёве и о его механизмах.

Объект исследования - жизненный путь и изобретения П.Л. Чебышёва.  

Предмет исследования - свойства и принципы работы механизмов П.Л. Чебышёва.

Цель исследования - изучить наиболее интересные изобретения П. Л. Чебышёва, а также сконструировать рабочую копию одного из механизмов.

Гипотеза исследования – Пафнутий Львович Чебышёв создал большое количество разнообразных оригинальных механизмов, и внес огромный вклад в развитие теории  и практики механики.

Для достижения цели и проверки выдвинутой гипотезы поставлены  следующие задачи:

Глава 1. Великий русский математик П.Л. Чебышёв

1.1. Жизнеописание П.Л. Чебышёва

          Великий русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышёв (26.05.1821-08.12.1894) родился в деревне Окатово Калужской губернии в семье помещика. Свои первые знания Пафнутий получил от матери Аграфены Ивановны, которая отличалась суровым характером. Арифметике мальчик учился у двоюродной сестры Авдотьи Сухарёвой весьма образованной молодой девушки.

 Пафнутий Львович был хром на одну ногу. С раннего детства мальчик  предпочитал всем играм и забавам уединение, он очень любил считать и  решать всевозможные задачки. Уже тогда в нем развилось стремление к устройству всевозможных приборов. Начав с простых лучинок и палочек, сделанных перочинным ножом, Чебышёв, став взрослым, изобрел много остроумных механизмов. Кроме того, Пафнутий Львович занимался музыкой, которая сильно повлияла на него в ощущении гармонии мира.

          В 1832 году семья Чебышёвых переезжает в Москву, чтобы продолжить образование детей. Первоначальное систематическое образование Пафнутий Львович получил в семье. Математикой и физикой он занимался у одного из лучших учителей Москвы П.Н. Погоревского.

  В 16 лет Чебышёв  поступает в Московский университет, где начинает серьёзно изучать математику. Пафнутий Львович прекрасно учился в университете, в 1838 году он был отмечен как самый перспективный студент и получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения  n-ной степени.

  Двадцатилетнего студента Чебышёва оставили при университете для подготовки к профессорскому званию. Он сдает магистерские экзамены, успешно защищает магистерскую диссертацию "Опыт элементарного анализа теории вероятностей".

 В 1847 году вслед за своей семьей Пафнутий Львович переезжает в Петербург, где получает место адъюнкта в университете. А через два года он защищает новую диссертацию с тем же блеском, как и первую, и получает степень доктора математики. Диссертацией служила его книга "Теория сравнений", которой затем в течение полустолетия студенты пользовались как одним из самых глубоких и серьезных руководств по теории чисел. Слава молодого профессора растет. В Петербурге он академик. О нем знают и за границей: в Париже ему тоже присваивают звание академика. Наибольшую известность Чебышёв получает за результаты о распределении простых чисел.

          Своеобразие Чебышёва как ученого определяется его интересом приложения математики к практическим вопросам. Круг его научных изысканий широк, но в каждом из них он оставлял неизгладимый след: это теория вероятностей, теория интерполирования, теория функций, интегральное исчисление, теория механизмов и другие. В математике навсегда остались законы Чебышёва, многочлены Чебышёва, формулы Чебышёва, функции Чебышёва, неравенства Чебышёва.

          Сорок два года Пафнутий Львович проработал в Академии наук, умножая ее славу и гордость. В течение тридцати пяти лет он возглавлял математические науки в Петербургском университете, создал одну из самых значительных русских математических школ. Многочисленные ученики Чебышёва распространили идеи своего учителя по всей России и далеко за ее пределами. В конце ноября 1894 года П. Л. Чебышёв перенес на ногах грипп, он скончался 8 декабря 1894 года за письменным столом. Погребён в родном имении, в селе Спас, которое находится в 90 км от Москвы.

          В записке академиков А.А. Маркова и И.Я. Сонина, сказано: «Труды Чебышева носят отпечаток гениальности. Он изобрёл новые методы для решения многих трудных вопросов, которые были поставлены давно и оставались нерешёнными. Вместе с тем он поставил ряд новых вопросов, над разработкой которых трудился до конца своих дней».

  Известный математик Шарль Эрмит заявил, что Чебышёв «является гордостью русской науки и одним из величайших математиков Европы», а профессор Стокгольмского университета Миттаг-Леффлер утверждал, что «Чебышёв — гениальный математик и один из величайших аналистов всех времен».[5]

                                               1.2. П.Л. Чебышёв – механик

          П.Л. Чебышёв считал, что «Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием её, она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных». 

Многочисленные прикладные работы Чебышёва объединены одной основной идеей – как располагать наличными средствами для достижения наибольшей выгоды? Одним из важных и значительных направлений деятельности Чебышёва было конструирование (синтез) шарнирных механизмов, а также создание их теории.

  Особенное внимание он уделял усовершенствованию параллелограмма Уатта - механизма, служащего для превращения кругового движения в прямолинейное. Дело заключалось в том, что этот основной для паровых двигателей и других машин механизм был весьма несовершенен и давал вместо прямолинейного движения криволинейное. Такая подмена одного движения другим вызывала вредные сопротивления, портившие и изнашивавшие машину.

  Чебышёв создал механизмы, в которых криволинейное движение возможно меньше отклонялось  бы от прямолинейного, при этом определялись наиболее выгодные размеры частей машины. На основе разработанного метода Чебышёв создал ряд новых конструкций приближенно-направляющих механизмов.

  Кроме того, Пафнутий Львович создал ряд так называемых механизмов с остановками. В этих механизмах, ведомое звено совершает прерывистое движение, причём отношение времени покоя ведомого звена ко времени его движения должно изменяться в зависимости от технологических задач, поставленных перед механизмом. П. Л. Чебышёв впервые даёт решение задачи о проектировании таких механизмов. Ему принадлежит приоритет в вопросе создания механизмов "выпрямителей движения".

  П. Л. Чебышеву принадлежит создание свыше 40 различных механизмов и около 80 их модификаций. Он создает разнообразнейшие механизмы, способные точно воспроизводить сложные движения, работать с остановками, превращать непрерывное движение в движение прерывистое. В истории развития науки о машинах нельзя указать ни одного учёного, творчеству которого принадлежало бы столь значительное количество оригинальных механизмов. Пафнутий Львович Чебышёв, будучи профессором Санкт-Петербургского университета, большую часть своего жалования тратил на изготовление придуманных механизмов.  Некоторые из них до сих пор находят себе практическое применение в современных приборах и автоматостроении. [3]

Глава 2. Механизмы Чебышёва

2.1. Описание некоторых механизмов  Чебышёва

Лямбда механизм  

          Отправной точкой  в деятельности П.Л. Чебышёва по созданию теории механизмов и машин была работа над выпрямляющим механизмом – «лямбда механизм». Это механизм превращения движения по окружности в приближенное к прямолинейному.  Из-за своего вида, похожего на греческую букву «лямбда», этот механизм и получил своё название. Два неподвижных шарнира и три звена, имеющих одинаковую длину. Незакреплённый шарнир маленького ведущего звена вращается по окружности, при этом ведомый синий шарнир описывает траекторию, похожую на профиль шляпки белого гриба. Нижнему краю «шляпки»  соответствует ровно половина времени движения ведущего звена по окружности. При этом, нижняя часть синей траектории очень мало отличается от движения строго по прямой (отклонение от прямой на этом участке составляет доли процента от длины короткого ведущего звена).  На  основе лямбда механизма было создано большинство механизмов Чебышёва.[4]

 Стопоходящая машина

На что же ещё, кроме шляпки гриба, похожа синяя траектория? Пафнутий Львович увидел сходство с траекторией движения копыта лошади!  Чебышёв прикрепил к лямбда - механизму ногу со «стопой», а  к тем же неподвижным осям в противоположной фазе ещё одну такую же ногу. Для устойчивости он добавил зеркальную копию уже построенной двуногой части механизма. Дополнительными звеньями согласовал их фазы вращения, а общей платформой соединил оси механизма. Таким образом, Чебышёв  получил, как говорят в механике, кинематическую схему первого в мире шагающего механизма. Он воплотил описанный механизм «в дереве и железе» и назвал его «Стопоходящая машина». Этот первый в мире шагающий механизм, изобретённый российским математиком, получил всеобщее одобрение на Всемирной выставке в Париже 1878 года. Стопоходящая машина не умела самостоятельно двигаться и не умела поворачивать. Но это был первый успешный опыт в попытках найти замену колесу. Современные реализации шагающих механизмов можно увидеть, к примеру, в шагающих экскаваторах или моделях голландского кинематического скульптора Тео Янсена.[4]

Сортировалка

Ещё один дошедший до наших дней механизм Пафнутия Львовича — «сортировалка». В нем простая и красивая геометрическая идея служит решению важной практической задачи — сортировке зерна. И в XIX веке, и в наши дни зерно сортируют по массе с целью отобрать лучшие — более тяжелые — зерна.

          Принцип работы приспособления заключается в следующем. При крайнем правом положении коромысла DF зерно из бункера поступает в лоток, укрепленный в верхней части коромысла. Так как остановка коромысла DF в этом положении продолжительна и соответствует полуобороту кривошипа АС, то зерно успевает полностью заполнить лоток. За следующую половину оборота кривошипа АС коромысло DF с лотком, наполненным зерном, быстро совершает полное качание. При этом зерна, отделяясь от лотка, падают ближе или дальше, в зависимости от величины их массы. Звено NP закрывает выходное отверстие бункера, открывая его лишь в момент, соответствующий остановке коромысла DF. При резком выбрасывании из лотка происходит сортировка зерен по массе. Лучшие — более тяжелые — зерна оказываются (в среднем) лежащими дальше от механизма.[4]

Арифмометр

Чебышёв изобрел и автомат для вычислений – «арифмометр». В отличие от других счетных машин  машина Чебышёва могла работать в быстром темпе, превышающем 500 вычислений в час. Счетная машина Чебышёва не смогла найти себе применение в царской России, единственный ее экземпляр попал во Францию в Париж в Музей искусств и ремесел.

Известно, что всего Чебышев сделал около четырех десятков различных механизмов, некоторые из них хранятся сейчас в Политехническом музее.

От «гребного механизма», приводящего в движение лодку, до  нас дошли только фотографии. Механизм под названием «велосипед»  (идея ножного привода), а также «самокатное кресло», хранятся в Музее истории  Санкт- Петербургского Университета.

       Многие идеи русского ученого по  созданию шарнирных механизмов были забыты после его смерти. Лишь во время Великой Отечественной войны, когда академику Ивану Ивановичу Артоболевскому (1905–1977) понадобилось в срочном порядке создавать некоторые механизмы, он обнаружил, что в трудах Пафнутия Львовича многие необходимые идеи уже содержались. Впоследствии вместе с его учеником Н. И. Левитским они классифицировали механизмы Чебышёва с точки зрения механики, и идеями, заложенными в них, пользуются ученые и сегодня.[4]

2.2. Парадоксальный  механизм

В изучение механизмов Чебышёва, наиболее всего меня привлёк механизм названный «парадоксальным». В чём же его парадоксальность и как он работает?

Оказывается, изучая траектории, описываемые отдельными точками звеньев шарнирно-рычажных механизмов, П. Л. Чебышёв остановился на траекториях, форма которых является симметричной. Изучая свойства этих симметричных траекторий (шатунных кривых), он показал, что эти траектории могут быть использованы для воспроизведения многих важных для техники форм движения. В частности, он показал, что можно шарнирными механизмами воспроизвести вращательное движение с различным направлением вращения около двух осей, причём указанные механизмы не будут ни параллелограммами, ни антипараллелограммами, обладающими некоторыми замечательными свойствами.

 Один из таких механизмов, получивший в дальнейшем название парадоксального, является до сих пор предметом удивления всех техников и специалистов. Парадоксальный механизм – это одна из разновидностей «лямбда механизма».   

Передаточное отношение между ведущим и ведомым валами в этом механизме может меняться в зависимости от направления вращения ведущего вала.

Какое преобразование кривых может выполнять представленное сочленение с одним неподвижным красным шарниром? Пусть серый шарнир скользит по кривой, симметричной относительно прямой, проходящей через закреплённый красный шарнир. Можно показать, что в таком случае траектория синего шарнира будет также симметрична относительно некоторой прямой, проходящей через неподвижный шарнир.

Российский математик Пафнутий Львович Чебышев исследовал вопрос, какова же может быть эта траектория. Важным частным случаем серой траектории является окружность. На практике он реализуется добавлением одного неподвижного (красного) шарнира и ведущего звена некоторой длины. Для синей же траектории двумя важными случаями является схожесть её либо с отрезком прямой, либо с окружностью или её дугой.

Чебышев пишет: «Здесь мы займёмся рассмотрением случаев, наиболее простых и наичаще представляющихся на практике, а именно когда имеется в виду получить движение по кривой, которой некоторая часть, более или менее значительная, мало разнится от дуги круга или от прямой линии».

Именно к выявлению наилучших параметров этого механизма, решающего перечисленные задачи, Пафнутий Львович впервые сам применяет теорию приближения функций, разработанную им незадолго до этого при изучении параллелограмма Уатта. Подбирая расстояние между закреплёнными шарнирами, длину ведущего звена, а также угол между звеньями, Пафнутий Львович получает замкнутую траекторию, мало уклоняющуюся от прямолинейного отрезка. Уклонение синей траектории от прямолинейной можно уменьшать, изменяя параметры механизма. Однако при этом будет уменьшаться и длина хода синего шарнира. Но это происходит медленнее, чем уменьшение отклонения от прямой, поэтому для практических задач можно подобрать удовлетворительные параметры.

 Это один из вариантов приближённого прямила, предложенного Чебышёвым. Перейдём к случаю схожести синей кривой с окружностью. Рассматривая случай, когда звенья составляют прямую, приходим к механизму, похожему на греческую букву «лямбда».  С некоторыми параметрами Чебышев использовал его для построения первой в мире «стопоходящей машины». При этом синяя кривая была похожа на шляпку белого гриба. Подбирая параметры лямбда-механизма по-другому, можно получить траекторию, поочерёдно касающуюся двух концентрических окружностей и остающуюся всё время между ними. Изменяя параметры механизма, можно уменьшать расстояние между концентрическими окружностями, внутри которых расположена синяя траектория. Достроим лямбда-механизм, добавив неподвижный шарнир и два звена, сумма длин которых равна радиусу большей окружности, а разность — радиусу меньшей. Получившееся устройство имеет точки бифуркации или, как ещё говорят, сингулярные или особые точки. Находясь в такой точке, при одном и том же движении лямбда-механизма по часовой стрелке добавленные звенья могут начать вращаться либо по часовой стрелке, либо против. Таких точек бифуркации в нашем механизме шесть — когда добавленные звенья находятся на одной прямой.

Существует большое и важное направление в математике — теория особенностей — исследование предмета через изучение его особых точек. Очень простым частным случаем является изучение поведения функции через исследование точек её максимума и минимума. Чтобы наш механизм проходил все шесть особых точек в одном наперёд выбранном направлении, маленькое звено связывают с маховиком, которое, будучи раскрученным в какую-то сторону, выводит механизм из особой точки, вращающимся в ту же сторону. Если из точки бифуркации раскрутить маховик так же как и ведущее звено, по часовой стрелке, то за один оборот ведущего звена маховик сделает два оборота. Если же из особой точки придать маховику движение против часовой стрелки, то за один оборот ведущего звена по часовой стрелке маховик сделает целых четыре оборота! В этом и заключается парадоксальность этого механизма, придуманного и сделанного Пафнутием Львовичем Чебышёвым. Казалось бы, плоский шарнирный механизм должен работать однозначно, однако, как видим, это не всегда так. И причиной являются особые точки [3].

                                              Практическая работа

          Изучая действие парадоксального механизма Чебышёва в теории, я захотел сделать действующий механизм самостоятельно. Моя практическая работа состояла из 3 этапов:

1 этап - В  1 томе справочного пособия для инженеров, конструкторов и изобретателей И.И. Артоболевского «Механизмы в современной технике» (стр. 285) я нашёл соотношения звеньев  шарнирно-рычажного парадоксального механизма Чебышёва [1].

2 этап - На основе данных соотношений, приняв 10 см за 1, рассчитал длины звеньев. В результате расчетов я получил следующие величины:

AB = BС = MB = 10 см; EA = 5,6 см; CE = 13,2 см; FC = 13,9 см; DM = 5,8 см; FB = 1,2 см        

3 этап - Пользуясь своими расчетами, я выпилил звенья и основание механизма. Соединил их, закрепил на основании и получил действующую модель парадоксального механизма П.Л.Чебышёва. Созданная модель так же, как и оригинальный механизм совершает 2 оборота диска за один оборот ручки по часовой стрелке. И наоборот, 4 оборота диска при движении ручки против часовой стрелки.

Заключение:

В ходе работы были сделаны следующие выводы:

 - Пафнутий Львович Чебышёв – великий ученый, гордость русской науки. Он  внес огромный вклад в развитие математики и механики. Особенностью Чебышёва как ученого было то, что он с помощью математики пытался решать практические задачи, считая сближение теории и практики благотворным как для одного, так и для другого.

 - Одним из важнейших направлений деятельности Чебышёва было конструирование шарнирных механизмов. Пафнутий Львович является автором значительного количества оригинальных механизмов, среди которых такие как «Лямбда механизм», «Стопоходящая машина», «Сортировалка», «Арифмометр», «Гребной механизм» и другие. Всего Чебышёвым было создано около 40 различных механизмов и около 80 их  модификаций. В наши дни подобные механизмы стали основой многих совершенных конструкций.

 - Одним из самых интересных механизмов Чебышёва является «Парадоксальный механизм», это одна из разновидностей «лямбда механизма». Благодаря особым точкам, плоский шарнирный механизм работает не однозначно, в чем и заключается его парадоксальность.

 - В ходе практической работы была создана действующая копия парадоксального механизма Чебышёва, обладающая свойствами оригинала.

Изучая деятельность П.Л.Чебышёва и его механизмы, автор много узнал для себя нового и интересного. Благодаря интернет-проекту «Математические этюды» Математического института им. В.А.Стеклова, я смог увидеть работу некоторых механизмов Чебышёва в 3D графике. Наблюдая за движением этих механизмов, я был поражен оригинальностью их конструкций, что побудило меня самостоятельно сделать модель парадоксального механизма.

Список  литературы

1. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике.  Справочное пособие для инженеров, конструкторов и изобретателей издание второе, переработанное, том 1 – М.: «Наука» главная редакция физико-математической литературы, 1979г. – 495с.
2. Интернет-ресурс. Механизмы Чебышева. Фонд «Математические этюды», 2009 – 2013г.г.  http://www.tcheb.ru/
3. Интернет-ресурс. Библиотека юного исследователя, Пафнутий Львович Чебышев, http://nplit.ru/books/item/f00/s00/z0000044/st009.shtml
4. Интернет-ресурс «Математические этюды», Парадоксальный механизм П.Л.Чебышева http://www.etudes.ru/ru/etudes/paradox/
5. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. Т. 4 Теория механизмов.  Издательство академии наук СССР. Москва – Ленинград, 1948г. – 211с.