Построение графиков сложных функций

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №7, г. Сальск.

Математика

Тема:  ««Построение графиков сложных  функций».

Автор  работы: 

Бенько Елизавета,

 9 «А» класс,

МБОУ СОШ №7 ,г. Сальск, Ростовская область.

Руководитель:

Бабина Наталья Алексеевна

 учитель математики,

МБОУ СОШ №7 г. Сальск, Ростовская область.

г. Сальск

2019г.

Оглавление

Я ученица 9 класса.  При подготовке к будущим экзаменам нами были проанализированы различные источники  с экзаменационными заданиями. И мы пришли к выводу, что в сборниках КИМ по математике  встречаются задания на построения графиков сложных  функций. В   главном  источнике  заданий для  подготовки,  в открытом  банке ,   также  размещены  аналогичные  задания, которых нет в наших учебниках.

Тема: «Построение графиков сложных функций».

Актуальность:  

экзаменационные  тесты во второй части  содержат задания  на построение графиков сложных  функций . Чтобы получить высокий бал на экзамене по математике мне необходимо научится решать такие задания.

Кроме того:

-графики широко используются в реальной жизни;

- графический способ, один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

Цель:  изучить  способы  построения  графиков  сложных функций,  разработать  методические рекомендации по построению.

Объект исследования:  процесс построения графиков.

Предмет исследования: особенности способов и методов  построения  графиков.

Гипотеза: графики сложных функций, можно построить с помощью преобразований графика исходной функции.

Научная новизна работы заключается в подборе материала по теме, не изучаемой в школьном курсе  математики.

Практическая значимость: материал используется на итоговой аттестации. Задачи:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;
2. Изучить дополнительную теорию и формулы по теме;

3. Провести расчётные исследования методов построения графиков;

4. Провести поиск  заданий  на   построение графиков из открытого банка заданий ОГЭ по математике,  дать образец их решения.

5. Разработать  методические рекомендации по построению.

Методы исследования:

-поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

-теоретический, метод описания, систематизации,  обобщения;

-практический метод   решения  на основе полученных знаний;

- исследовательские расчёты и построения;

- анализ, систематизация и обобщение  полученных в ходе исследования данных,  аналогия.

I Основная часть

1.1. Параллельный перенос графиков функций.

По рекомендации моего учителя, работу я начала с  повторения и систематизации своих знаний и умений по теме: «Графики функций».

В седьмом классе  мы  познакомились с понятием функции. Изучили  свойства и графики конкретных числовых функций:  у = ах +в ( линейная функция),  y = k/x ( обратно - пропорциональная зависимость), y = |x| .  В восьмом классе изучили  квадратичную   функцию:  у = а х2 и у = ах2 + bх+c.   Мы учились находить:

-значение функции, заданной формулой, таблицей, графиком по её аргументу и значение аргумента по значению функции;

 - наибольшее и наименьшее значение  квадратичной функции;

-нули функции, вершину параболы.

Изображали  график схематически для а>0 и а<0, описывали  свойства изученных функций.

 Графики строили  по точкам  и  с использованием  алгоритма построения графика квадратичной функции.

В главе: «Для тех, кому интересно», желающие могли изучить способ построения  графиков  с помощью  параллельного  переноса  графиков функций вдоль осей координат.

 Чтобы научиться строить  графики   функций  вида  y = f(x)+b и  y = f(x–a), мы строили графики этих функций  по точкам (приложение 1)  и анализировали  расположения графиков этих функций  по отношению к  к графикам y = f(x) и  y = f(х). Это  позволило  сформулировать другое правило построения таких графиков. Правило параллельного переноса.

a).График функции y = f(x)+b получается из графика функции  y =  f(x) параллельным переносом вдоль оси y вверх, если b > 0,  вниз, если b < 0.[1]

б). График функции y = f(x–a) получается из графика функции  y =  f(x) параллельным переносом вдоль оси x на  a единичных отрезков вправо, если a > 0, влево, если a < 0.[1]

Пример1. Построить графики  функции  у = х2 +1 и у =  (х-3)2

с помощью параллельного переноса (рис.1).

Пример 2. Построить график функции   у= с помощью параллельного переноса .

-Строим график функции у=   ( рис.2)  по точкам.

-Строим график функции у =  ( рис. 3),совершив параллельный перенос на 3 влево вдоль оси Ох.

Итак, для построения  графиков  «школьных» функций  можно применить два способа.

 Под руководством учителя я познакомила  одноклассников с новым способом построения графиков, после чего мы выяснили  их предпочтения. Опрос показал, что они предпочитают график квадратичной функции строить по точкам с применением алгоритма, а график гиперболы  ─ с применением параллельного переноса.

 Какой же более рациональный? Я провела учёт времени, затраченного на построения графиков с использованием различными способами. Результаты исследований поместила в таблицах 1 и 2.

Таблица1. Среднее время, затраченное на построение графика параболы.

По результатам данных таблицы 1 можно  сделать вывод:

на построение параболы  по алгоритму ушло меньше времени, чем на построение с помощью параллельного переноса.

Таблица 2. Среднее время, затраченное на построение гиперболы.

Данные таблицы 2 позволили мне сделать следующий вывод:

на построение гиперболы  по точкам затрачено больше времени.

Для рационализации построения гиперболы с помощью параллельного переноса важно пользоваться следующим планом построения:

-записать уравнения асимптот;

-построить асимптоты;

-построить график исходной  функции;

-совершить параллельный перенос.

1.2 Дробно-линейная функция.

Дробно-линейная функция –это функция,  у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции:, где с≠0 и сх+d ≠0.  Преобразуем дробь: .Итак, график функции  можно  получить сдвигом графика  , где   вдоль оси Ox на  и вдоль оси Oy на , где - вертикальная асимптота, а - горизонтальная асимптота.

Итак, любую дробь  можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.[2]

На следующем этапе работы мне необходимо научиться выделять целую часть из алгебраической дроби.

Пример 1.

Преобразовать дробно-линейную функцию, выделив целую часть:

1-й способ.

2-й способ.

 и   в остатке.    Получим: .

Пример 2.

Не выполняя построения графика функции, найти его горизонтальную и вертикальную асимптоты.  Решение.

Преобразую правую часть равенства, выделяя целую часть:

График функции можно получить сдвигом графика гиперболы                          вдоль оси  Ох на 1 вправо и вдоль оси Оу на 2 вверх.

Прямые  х=1 и у=2 являются соответственно вертикальной и горизонтальной асимптотами график.

Пример 3.Построить график функции   .   Решение.

Преобразую правую часть равенства, выделив целую часть:

.

Строим асимптоты.  Прямые:   х=-1 и у=-2 являются соответственно вертикальной и горизонтальной асимптотами графика.

График функции получаем  сдвигом графика гиперболы                        вдоль оси Ох на 1 влево и вдоль оси Оу на 2 вниз.

График пересекает ось Оу в точке (0;3), а ось Оу в точке  (;0) Рис.4

Пример 4.     Построить график функции .     Решение. Выделим целую часть: .

Проведём асимптоты: х = -1 вертикальная асимптота,  у = 1,5 горизонтальная асимптота.

При построении графиков дробной линейной функции, важное значение имеют асимптоты.

«Асимптотой  графика функции называют прямую, обладающую следующим свойством: расстояние от точки (x;f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении этой точки к бесконечности вдоль ветви графика». [1]

Чтобы найти асимптоты, надо выделить целую часть дробно-линейной функции.

Меня заинтересовал вопрос: «Нельзя ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеет график и сколько их?»

Ряд экспериментов с графиками дробно линейной функции,  показали следующее:

-если при делении числителя на знаменатель получается const+остаток, то график имеет горизонтальную и вертикальную  асимптоты;

-если показатель степени числителя равен показателю степени знаменателя,  то график имеет горизонтальную и вертикальную  асимптоты .

Чтобы разделить числитель на знаменатель, необходимо научиться делить многочлен на многочлен.  (Приложение 2)

2. Дробно-линейная функция  с модулем

.Сначала я изучила теоретический материал, необходимый для выполнения моей работы.

а).Модули и их свойства.

Определение модуля числа.

Модуль произведения, частного и степени.

                    [2]

б).Построение графика

Пример 1.   Построить  график функции   

Решение.

Сначала я построила график функции по точкам (приложение 3 ).

Из сопоставления двух графиков:  у = (х-2)2  и  у = (-х-2)2 появилась  гипотеза, что график функции у = f(|х|)  получается из графика у = f (x) при симметричном отображении его относительно оси Оу.

Проверим гипотезу:

 -построим график функции (Рис.8)..

-часть графика, лежащую правее оси ординат, отобразим симметрично относительно этой оси.(Рис.9).

Графики в приложении 3 и на рисунке 9 совпадают,  что  подтверждает нашу гипотезу.

в).Построение графиков функций  вида  у = .

Пример 3.  Построить график функции .    

Чтобы выявить правило построения такой функции, я построила график этой функции   по точкам.( Приложение 4).

Оказалось, что правило для построения графика   функции , подходит и для функции у = :

-построим график функции  для х≥0.

 -отобразим  его  симметрично относительно оси Оу и,   получится тот же самый график. (Рис.5).

г).Построение графиков функций  вида  у =.

Пример1.  Построить  график функции  y = .

С целью исследования  способа построения графика такой функции, я также построила график  функции  точкам.  (Приложение 5 ).

Это  график можно получить, если  построить график функции у= , а затем, часть графика, которая находится ниже оси Ох отобразить симметрично  ей:

-построим график функции  у =  .(Рис.6).

-часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, надо отобразить симметрично относительно этой оси.(Рис. 7).

д).Построение графиков вида у = , где с≠0 и ad-bc≠0.

Пример2. Построить график функции .Исследовательские построения дают возможность сформулировать правило построения графиков таких функций:    Построим график функции .Асимптоты: у=1 и х=-1. Часть графика, находящуюся ниже оси Ох отразим симметрично этой оси. (Рис.8).

е).Графики функций .

Пример . Построить  график уравнения .    Исследовательские построения (приложение 6)дают возможность сформулировать правило построения графиков таких функций:

-строим график без модуля;

Часть графика, который находится выше оси Ох, отображаем симметрично относительно оси абсцисс.

Решение.       Построим график функции  (Рис.9).

Часть графика, расположенную выше оси Ох, отобразить симметрично относительно этой оси. (Часть графика расположенную ниже оси Ох, убираем).(Рис.10).

При построении графиков  , у = и  была выдвинута гипотеза, что существуют отдельные правила для каждой функции, которые упрощают построения. С целью проверки гипотезы построение графиков проводилось по точкам.  Выявлялась закономерность расположения линий графика, на основании которой формулировалось правило. После построения графика  по этому правилу, сравнивались графики, что позволяло подтвердить  выдвинутую гипотезу и сформулировать правила построения графиков функций с модулем.(Приложение7).

1.4.Графики сложных функций на ОГЭ.

        Задание на построение графиков функций  на ОГЭ – это задания второй части под номером 23. Среди них  есть функции дробно-линейные, дробно-рациональные и функции с модулем. Надеюсь, что после моей работы, я смогу справиться с заданиями ОГЭ на построение графиков. Пример1. Постройте график функции  и найдите её область значений.

Решение. Упростим функцию:

Получили линейную функцию с выколотой точкой  (2;-1). Построим график функции.(Рис.11).

Ответ .(-∞; -1); (-1;+∞)

Пример  2. Постройте график функции .

 Определить при каких значениях  m прямая у=m  имеет с графиком ровно одну точку.

Преобразуем формулу  при  х≠-1  Построим график функции. Это парабола с выколотой точкой

(-1;3).     (Рис.12).

 Прямая у=m  имеет с графиком ровно одну точку при m=-1и m =3.

Ответ. m=-1и m =3.

Пример 3. Постройте график функции  у=  х2 -4|x| +3.

 1.Построим график функции  у= х2-4х+3:

-находим вершину  параболы;

-находим точки пересечения  параболы с осью Ох;

-строим параболу по точкам при х≥0;

- отображаем график симметрично оси Ох. ( Рис.12)

Пример 4. Постройте график функции  у= |х2-2х-3|.Сколько точек может иметь с этим графиком прямая у=m?

-построим график функции  у= х2-2х-3;

-часть графика, расположенную ниже оси Ох отобразим симметрично этой оси.

Пример5. Постройте график функции  .

При каких значениях с  прямая  у = с имеет с графиком функции единственную общую точку?

1. Построим график « кусочной»    функции.

2.с  €(-1; 0].

Материал разделов 1.1-1.3 моей работы помог мне освоить способы построения графиков  дробно линейной функции и функции с модулем из материалов ОГЭ. В подразделе 1.4 дан образец решения заданий на построение графиков сложных функций  из открытого банка заданий ОГЭ по математике.

Заключение

В данной работе я  рассмотрела новые  приёмы, которые позволяют  строить графики функций дробно-линейной, дробно-рациональной, функций с модулем.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку  они не отражены в школьных учебниках математики. Овладение данными приёмами поможет мне  успешно  решать  задания  23 из ОГЭ.

В своей  работе  я использовала  различные  методы  исследования: изучение, сравнение, опытные расчёты,   систематизация, обобщение, опрос.

Используя новые для меня понятия, правила я решила  более  40  заданий . В своей работе я привожу  подробное решение  26   из них.

Круг   заданий,  которые я могу решать,  расширился.

Я считаю, что уметь строить графики функций это очень актуально, так как графики широко используются метеорологами, геологами, врачами, экономистами. Кроме того,  20% заданий вариантов ЕГЭ-задания на чтение графиков, а примерно 30% заданий –это задания на построение графиков  функций.

Результаты моей работы:

1. Круг  заданий на построение графиков функций  расширился. Это мне очень поможет   на итоговой аттестации.

2.  Проведён  поиск  заданий  на   построение графиков из открытого банка заданий ОГЭ по математике,  даны  образцы их решения.

3.  Выработаны алгоритмы  построения графиков дробно-линейной, дробно-рациональной функций и функций с модулем.

4.Материал моей работы можно использовать для элективных занятий по математике  в 8-10 классах.

Таким образом, цель работы:  изучить  способы  построения  графиков  сложных функций,  разработать  методические рекомендации по построению, достигнута.

Гипотеза, что графики сложных функций, можно построить с помощью преобразований графика исходной функции, подтвердилась.

В банке заданий по математике для девятого класса  также есть задания на построение графиков дробно- иррациональной функции. До экзаменов у меня есть время, чтобы изучить способы построения таких графиков.

;

Источники:

1. Алгебра. 9 класс», авт. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, и др.( М.: Просвещение, 2016)  
2. Г.В.Дорофеев. Графики уравнений с модулями. Математика в школе №10 2003.
3. Ю.М.Колягин и другие. Алгебра и начала анализа. 2-е издание. Москва. Посвящение 2015г.
4. Н.К. Костюкова. Научно-исследовательская работа учащихся. Математика в школе №1 1999.

5. Ф.Ф. Лысенко. Математика ОГЭ-2019г.
6. http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?proj- открытый банк заданий.

Приложение

Приложение 1. Построение  графиков по точкам.

у=х2

у=х2+2

у=х2

у=(х-4)2

у=6/х

у=6/х-3

Приложение 2. Деление многочлена на многочлен.

Приложение 3. Построение графика      по точкам.

Приложение 4. Построение графика  у = .    по точкам.

Приложение 5 .Построение графика у =   по точкам

Приложение 6.Построение графика      по точкам.

Приложение 7. 

Правила построения графиков функций с модулем для построения графика функции вида:

1. 

-построим график функции  

-часть графика, лежащую правее оси ординат, отобразим симметрично относительно  оси Оу.

2. у =

-построим график функции

-часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, надо отобразить симметрично относительно этой оси

3.:

-строим график без модуля:

-часть графика, который находится выше оси Ох, отображаем симметрично относительно оси абсцисс.

4.у = :

-для функции  выделить целую часть;

-построить асимптоты;

-построить график функции ;

-часть графика, расположенную ниже оси Ох отобразить симметрично относительно этой оси.