Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Весенненская средняя общеобразовательная школа»

Рождественские чтения

Секция: «Математические науки»

Счёт, число и календарь древних майя

Автор: Арндт Анастсия                                                                       учащаяся 10 класса                                                        Руководитель: Арндт                                                       Ирина  Васильевна,                                                       учитель математики

с. Весеннее

2019 год

Оглавление

Введение.        3

1.  Цивилизация майя.        3

2. Уровень математических и астрономических познаний древних майя.        4

2.1. Система нумерации майя.        4

2.2. Календарь древних майя.        9

3.  Результаты анкетирования.        14

Заключение.        15

Литература.        16

Введение.      

“Из недр изверженным порывом –

Трагическим и горделивым –

 Взметнулись вихри древних сил”

М. Волошин

Если взять любую книгу по истории математики, то в них очень мало написано о математике такого народа как майя. В них содержится очень скудный материал или вовсе отсутствует. А вот такой книги, в которой содержался бы весь материал, касающийся математики, но и истории в целом такого народа, к сожалению нет.

И причина отсутствия материала, наверное, состоит в том, что очень мало известно источников, по которым можно судить о развитии математики этого народа. Эти источники либо до нас не дошли вовсе, либо они полностью не расшифрованы. Прежде всего, возникает вопрос, кто это за такие народы, что они из себя представляют, и почему нас интересует их история.

Цель работы: познакомиться с историей математики древних майя.  

Задачи:  

• найти и обобщить материал по истории математики.
• Познакомиться с записью чисел майя.

Объект исследования: математика древних майя

Предмет исследования: запись чисел.

Методы исследования:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при определении способов умножения;

- практический метод при изучении записи чисел на языке майя;

- опрос учащихся школы о нумерации майя.

1.  Цивилизация майя.

Индейцы майя пришли с севера, и даже слово «север» - «шаман» на их языке – связано с понятием «древнейший», «оставшийся позади». Трудно сказать, когда индейцы майя заселили в начале земли Гватемалы и Гондураса, а затем и полуостров Юкатан. Скорее всего, это случилось в первом тысячелетии до нашей эры и с тех пор их история, их культура, вся их жизнь связана с этой обкаленной солнцем, залитой тропическими ливнями, заросшей непроходимой буйной растительностью, затопленной болотами землей. На этой земле сегодня проживает около 2,5 млн. человек, принадлежащих к большой языковой семье майя – киче. Они потомки тех древних майя.

Народ майя создал высокую культуру. В I-IX веках цивилизация индейцев майя переживала время расцвета. В эту классическую эпоху в городах – государствах, расположенных в тропических лесах Южной Мексики, Гватемалы и Юкатана были созданы величайшие творения зодчества и изобразительное искусство. Астрономия, земледельческий календарь и иерофомическая письменность достигшими наивысшего развития в пределах всей доколумбовой Америки. История народа майя представляется очень интересной, но она нам известна не полностью, так как книги – рукописи были сожжены в 1562 году епископом Диегой де Ланда. Он был уверен, что все эти рукописи написаны по наущению дьявола, хотя в них содержалась история майя.                                

 Однако спустя несколько лет, Диего де Ланда решил изучить историю этого народа, вследствие чего вышла его книга «Событие о делах в Юкатане». В настоящее время известно три рукописи, чудом спавшиеся от огня. Диего де Ланда, испанский епископ, вошел в историю как крайне противоречивая личность: с одной стороны, был автором книги «Сообщение о делах в Юкатане», содержащей много ценной информации о цивилизации майя, ввёл на Юкатане систему образования, создал латинский алфавит для языка юкатека, с другой стороны, учредил на Юкатане инквизицию, на аутодафе сжёг рукописи майя, тем самым уничтожив большую часть майяской литературы. 

2. Уровень математических и астрономических познаний древних майя.

2.1. Система нумерации майя.

  Древние майя пользовались двадцатеричной системой счисления, или счета. Почему  именно 20 наряду с единицей стало основой их счета, сейчас невозможно установить с достаточной достоверностью. Но на помощь приходит простая логика. Она подсказывает, что скорее всего сам человек был для древних майя той идеальной математической моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть естественней и проще, коль сама природа «расчленила» эту единицу «счета» на 20 единицу второго порядка по числу пальцев на руках и ногах.

По-видимому говоря «один человек», древние майя механически представляли себе число «20», если в это время речь шла о каких-то количественных единицах.

Большинство народов мира пользуются сейчас так называемой арабской цифровой системой, созданной в Индии лишь в конце первой половины прошлого тысячелетия (V века). В соответствии с этой системой, мы рассматриваем цифровые знаки горизонтально строчечным способом, применяя «позиционный принцип». Это значит, что цифры стоят друг за другом в строгом порядке, а именно: единицы, десятки, сотни и т. д. Как  и все письмо. Майя, числа записывали столбцами, идущими справа налево.

Древние майя использовали позиционный принцип, однако, запись цифровых знаков, образующих число, они стали вести не горизонтально. А вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр. Поскольку счет был двадцатеричным, то каждое начальное число следующей верхней позиции, или порядка была в двадцать раз больше своего соседа с нижней полки «этажерки майя». На первой полке стояли единицы, на второй – двадцатки и т. д.

Майя записывали свои цифры в виде точек и тире, причем точка всегда означала единицы данного порядка, а тире – пятерки. Особый знак для пятерки  послужил основанием для зачисления системы счета древних майя в так называемую пятерично – двадцатеричную систему счисления. Создание этой системы счисления относится к началу нашей эры.

рис. 1

Двадцатой цифрой был «нуль» и изображался он в виде стилизованной раковины.

рис.2

В двадцатеричной системе, знающей понятие нуля, первым двузначным числом является число 20. Оно изображалось так: над раковиной – нулем они рисуют точку, т.е. первую цифру своего счета. Новый знак изображался так:

рис.3

Обозначая первоначальную единицу счета второй полки многообразного числа (многоэтажной этажерки). Таким образом, здесь пользовались только тремя значками и лишь одним сложением.

Однако на этом похождение раковины не кончались. Раковина все же стала  появляться и без точки, располагалась на разных полках цифровой этажерки майя. Это означало, что настоящее число было образовано без участия единиц той полки, на которой в данном случае находилась раковина. Она говорила, что единиц на этой полке (на которой она расположилась) попросту нет.

Давайте рассмотрим пример, что соответствует числу 21 в нашем представлении.

рис. 4

Действительно, если точка находится на нижней полке, то это означает наличие одной единицы первой позиции, или, попросту говоря «единицу», но уже не абстрактный цифровой знак, а как конкретное число. Верхняя  же полка указывает на наличие одной единицы второго  порядка, каковой является двадцатка в двадцатеричной системе. То есть во втором разряде приведенные знаки имели значение в 20 раз больше, чем в первом.

Рассмотрим написание двухзначного числа майя; оно наглядно продемонстрирует технику применения ими позиционного принципа, условно названного  нами «числовой этажерки майя».

Рис.5

Здесь было бы вполне естественно написать «и так далее», однако это самое «и так далее» как раз и не получается…

В двадцатеричной системе древних майя есть исключение: стоит прибавить к числу «359» только одну – единственную единицу первого порядка, как это исключение немедленно вступает в силу. Суть его сводится к следующему: число 360 является начальным числом третьего порядка, его место уже не на второй, а на третьей полке. Но тогда выходит, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в 20 раз (20 20=400, а не 360), а только в 18 раз! Значит принцип, двадцатеричности нарушен! Все верно. Дело обстоит именно так. Это и есть исключение.

При образовании чисел четвертой и всех последующих полок – позиций «этажерки майя» принцип двадцатеричности восстанавливается: первоначальное число четвертого порядка 7200 (360 20); пятого 144000 (7200 20) и так до бесконечно больших величин.

Таким образом, например, получилось следующее,

Рис.6

Интересно отметить, что майя были знакомы с ними не только теоретически. На стене из священного города Канона жрецы записали начальную, правда мифическую, дату летоисчисления майя 5 041 738 год до нашей эры!

Если  мы это число запишем с помощью цифровых знаков майя, то она будет выглядеть так:

         5 041 738

                                                18

рис.7

Находя сумму чисел правого столбца, как раз получим число, равное 5 041 738. Значит с помощью цифр майя можно записать любое число.

        А как же будет выглядеть запись текущего, 2019 года с помощью цифр майя? А она будет иметь следующий вид:

рис.8

Для каждого разряда использовалось свое название – свой иероглиф: «кин», «винал», «тун», «катун» и так далее (типа как у нас – «единица», «десятка», «сотня», «тысяча»).

Кин = 1

Виналь = 20 кинов = 20

Тун = 18 виналов = 360

Катун = 20 тунов = 7200

Бактун = 20 катунов = 144 000

Пиктун = 20 бактунов = 2 880 000

Калабтун = 20 пиктунов = 57 600 000

Кинчильтун = 20 калабтунов = 1152000000

Алавтун = 20 кинчильтунов = 23040000000….. и так далее.

Для записи дробей у майя либо не было знаков, либо они до нас не дошли. Вот таким образом выглядела математика древних майя.                

2.2. Календарь древних майя.

          Математические расчеты с применением многозначных чисел майя были в основном связаны с астрономическими вычислениями, которые лежали в основе календаря, чтобы упростить их, они максимально приблизили первоначальное число третьего порядка к числу дней своего года. Ведь в восемнадцати двадцатидневных  месяцах, составляющих месяцах, составляющих календарный год майя, число дней как раз и будет равно360.  

Майя имели календарь, основанный на весьма высоком уровне астрономических позиций. Он был самым точным из всех календарей древнего мира.

Календарь – это (от латинского Календариум, буквально долговая книга – должники платили проценты первого числа каждого месяца) – система счисления продолжительных промежутков времени, использующая периодичность явлений природы, проявляющуюся особенно отчетливо в движениях небесных светил.

Давайте рассмотрим, на чем основан календарь майя, что он представляет из себя, и что послужило толчком для его создания.

Ученые считают, что к созданию календаря майя привело земледелие. Основным  и главным продуктом питания у майя служила кукуруза. Жрецы – составители календаря майя, обязаны были указывать сроки выполнения сельскохозяйственных работ, вычислять периоды наступления дождей и засухи, предсказывать дату, когда подуют южные ветра. Ошибка в определении времени может привести к катастрофическим последствиям.

Что лежало в основе календаря древних майя? Прежде всего, тринадцатидневная неделя. Дни недели записывались цифровыми знаками от (1) до       (13).  Вторым и третьим  слагаемым календарной даты были

названы дни двадцатидневного месяца – виналя.

К1 день

Виналь -20 К20 дней

Тун= 18 виналь=360 дней= около 1 года

Катун= 20 тун= 7200 дней = около 20 лет

Бак тун= 20 катун=144000 дней= около 400 лет

Пиктун = 20 бак тун= 2880000 дней= около 8000 лет

Камабтун= 20 пиктун= 5760000 дней=около 16000 лет

Кинчильтун= 20 камабтун= 1152000000 дней=около 3200000 лет

Алавтун =20 кинчильтун= 23040000000дней=около 64000000 лет

Оказывается, календарь майя состоит из циклов различной продолжительности. По мнению специалистов. У них существовало две системы измерения года. В одной из них год состоял из 260 дней. Он назывался «священным» или «религиозным» и включал в себя недельные циклы продолжительностью по 13 дней и месячные – по 20 дней. Другой – «гражданский» или «солнечный» 365 дневной год, состоял из 18 месяцев, к которым прибавлялось пять «несчастливых» дней. Комбинация из «священных» и «гражданских» годов образовывала повторяющийся цикл продолжительностью в 52 года.

Календарь и летосчисление были заимствованы ацтеками и другими народами, населявшими Мексику.

Календарный цикл в 52 года не пользовался большой популярностью у майя, но был широко распространен у населения Центральной Мексики – теотихуаканцев, тольтеков и т. д. У майя же всегда был в ходу двадцатилетний цикл – «катун».

Цифры и цифровые знаки, так же как и счет, лежали в основе календаря древних майя. Однако сам календарь являл собою исключительно сложную систему, состоящую из математических знаков и смысловых понятий. При этом цифры и слова – иероглифы играли  в календаре и смысловые и летосчислении майя одинаково важную роль.

Итак, что же такое календарь Майя?

Единицами измерения времени служили: 

День; 
Период из 20 дней; 
1 годТцолкин = 260 дней; 
1 год года Хааб = 365 дней; 
1 календарный круг = 18980 дней = 52 года; 
1 Великий цикл = 360 дней умножить на 20 по 260 раз = 5125 лет; 
1 тун = “расчетный год ” = 360 дней; 
1 катун = 20 тун = 7200 дней ; 
1 бактун = 20 катун =144000 дней; 
1 пиктун = 20 бактунов = 2880000 дней = приблизительно 7885 лет; 
1 калабтун = 20 пиктунов = 57600000 дней = приблизительно 158000 лет; 
1 кинчилтун = 20 калабтунов = 1152000000 дней = приблизительно 3 миллиона лет; 
1 алаутун = 20 кинчилтунов = 23040000000 дней = приблизительно 63 миллиона лет. 

Названия дней Тцолькина:

Рис.9

 Для своих календарных вычислений майя использовали особый метод, вернее таблицу, которую они называли Тцолькин - "Священный Счет Кинов". 

рис.10

При помощи  этой таблицы они определяли каждый день, каждый год, каждое двадцатилетие и т.д.

Здесь 260 элементов = 13х20. В двадцати строчках указаны двадцать тотемов - специальных знаков, каждый из которых имеет свое имя и изображение. Счет же ведется по столбцу, затем переход на следующий столбец справа.

Как только номер дня достиг 13-и, счёт номеров дней начинается заново, но продолжается 20-дневный цикл дней.

По окончании 20-дневного цикла, продолжается счёт номеров дней (пока не достигнет 13-и), а 20-дневный цикл начинается заново.

Комбинации номеров дней и названий дней повторяются с периодом 260 дней. Цолькин считается завершённым, когда последнему дню 20-и дневного цикла (Ахау), будет соответствовать номер 13.

Древнейший календарь имел значительные недостатки. Во – первых, счет дней велся только в земледельческом сезоне. Во – вторых, 360 - дневный год, хотя и близкий к лунному и солнечному, не соответствовал ни тому, ни другому, и нуждался в постоянной корректировке.

Древнейший календарь имел значительные недостатки. Во – первых, счет дней велся только в земледельческом сезоне. Во – вторых, 360 - дневный год, хотя и близкий к лунному и солнечному, не соответствовал ни тому, ни другому, и нуждается в постоянной корректировке. Все эти обстоятельства, новые наблюдения и новые запросы привели к реформам.

Первая реформа календаря имела место между 384г. и  38г. до нашей эры. Сущность ее сводилась к следующему: превращение старинного 260-дневного земледельческого периода (посев - сбор) в повторяющийся 260 – дневный цикл. Этим была достигнута возможность вести непрерывный счет дней и точно датировать любой день, что требовалось для нужд хозяйственных и государственных. При таком способе датировки получалась одна неувязка. Некоторые даты повторялись дважды в год, хотя и через большой промежуток в 260 дней. Чтобы уточнить, какая дата имелась в виду. Нужно было указать так же сезон.

Мудрецы I реформы приняли продолжительность солнечного года в 364 дня. В связи с тем. Что солнце проходит в течении года 13 зодиакальных созвездий, они решили округлить сроки и разделить год на тринадцать 28 – дневных месяцев.

Это деление было очень удачным. Все месяцы имели равную продолжительность, были связаны и с небольшими явлениями (восхождение различных созвездий), и с хозяйственными зонами. Поэтому 364 – дневный год прочно вошел в обиход.

Нуль,  во всяком случае, в области счета времени, мудрецы  I реформы понимали не как отсутствие количества, а наоборот, как полноту завершенности. Такое понимание нуля при счете времени связано с принципрм считать только истекшее время.

Вторая  реформа календаря относится ко времени 179 г нашей эры. Ее сущность:

1. сохранение ставшего традиционным 260 – дневного цикла для непрерывного счета и датировки дней.
2. Введение  девятидневки. Старинная тринадцатидневка была связана с представлением о 13 сферах, каждой из которой правит определенный бог.
3. Введение 368 дней нового года.

Третья   реформа календаря (337г. н. э.).  – связана с борьбой за власть, отражает ее заключительный этап.

Четвертая  реформа календаря (687г. н. э.). – вводился единый лунный календарь.

Но календарь древних майя имеет и секрет. Секрет календаря спрятан в очертаниях пирамиды Кукулькана. Маленьких лестниц по середины стены 91. Всего, считать по каждой стене, - 364. Плюс верхняя площадка – получается 365 дней. Т.е. количество дней в солнечном календаре майя. Небольших выступов по девять с каждой стороны лестницы. Всего восемнадцать, что соответствует количеству месяцев в солнечном календаре. На каждом большом уступе есть квадратные выступы и впадины. Если их сосчитать. То получим цифру 52. Количество лет в веке майя.

 У майя был еще и религиозный календарь, рассчитанный по Венере. В нем 260 дней. Когда первые дни солнечного и религиозного календарей совпадали (это происходило один раз в 52 года), майя устраивали большой праздник и начинали отсчет нового века.

Но календарь древних майя имеет и секрет. Секрет календаря спрятан в очертаниях пирамиды Кукулькана. Маленьких лестниц по середины стены 91. Всего, считать по каждой стене, - 364. Плюс верхняя площадка – получается 365 дней. Т.е. количество дней в солнечном календаре майя. Небольших выступов по девять с каждой стороны лестницы. Всего восемнадцать, что соответствует количеству месяцев в солнечном календаре. На каждом большом уступе есть квадратные выступы и впадины. Если их сосчитать. То получим цифру 52. Количество лет в веке майя.

рис.11

 У майя был еще и религиозный календарь, рассчитанный по Венере. В нем 260 дней. Когда первые дни солнечного и религиозного календарей совпадали (это происходило один раз в 52 года), майя устраивали большой праздник и начинали отсчет нового века.

Календарь древних майя изучается уже более столетия. Календарные надписи, сделанные майя на стелах, колоннах и стенах зданий обычно начинаются датой, относящиеся к IV-IX вв. н.э.

3.  Результаты анкетирования.

В ходе написания работы, мы провели опрос учащихся 5-10 классов. В опросе приняли участие 38 ребят. Им было предложено ответить на следующие

вопросы:

1. Как вы думаете, существуют ли другие цифровые знаки, отличные от тех, которыми мы пользуемся?
2. Есть ли другие позиционные системы счисления кроме десятичной системы счисления?
3. Знаете ли вы, кто такие древние майя?
4. Хотели бы вы узнать цифровые знаки, которыми пользовались древние майя?

рис.12

Этот опрос показал, что большинство   ребят не слышали о древних майя, а вот познакомиться  с математикой древних майя желают все.

Заключение.

Математика древних майя привлекает к себе большее внимание. Рассматривая систему счисления  древних майя, можно сделать вывод, что они имели глубокие познания в области математик и астрономии. При написании работы я много узнала о системе счета древних майя. О записи однозначных, двузначных и многозначных чисел. Интересно то, что числа майя записывались в виде «этажерки», причем уже в древности люди создали и использовали позиционный принцип счисления. Что относительно календаря, то продолжительность календарного года у майя отличается от продолжительности астрономического года всего на … одну секунду!

На внеурочном занятии по математике я познакомила своих одноклассников с математикой древних майя. Всем было очень интересно, даже никто не мог представить, что существует такая система записи чисел.

Литература.

1. Володарский А.И. «Очерки истории средневековой индейской математики» – М.: Наука», 1977год.
2. Кнорозов Ю.В. «Заметки о календаре майя» общий обзор. Советская Этнография. 1971г.
3. Кольман Э. «История математики в древности»  – М.: Физматгиз, 1961г.
4. Галенкамп Ч. «Майя, загадка исчезнувшей цивилизации» – М.: Наука», 1963г.