Проценты вокруг нас

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение                      «ГБОУ Школа №2100» г. Москвы

Научно- практическая конференция

«Открытие»

Секция научно- технологическая

Проект по математике по теме:

Проценты вокруг нас

Выполнила: ученица  6 класса К

 Кабанова Вероника  

Руководитель:

Кобзева Лариса Васильевна

учитель математики

2018

Содержание

 Введение……………………………………………………………………….3

Глава I  Основные сведения о процентах

           1.1 История возникновения процентов ……………………………….4

           1.2 Формулы нахождения процентов………………………………….6

           1.3 Основные задачи на нахождение процентов ……………………..8

   Глава II  Проценты вокруг нас

           2.1 Опрос населения по кредитам ……………………………………..10

           2.2 Качество знаний учащихся 6 К класса по математике……………11

           2.3 Популярность женских и мужских имен в  5-8 классах школы

                 №2100………………………………………………………..……….11

           2.4 Практическая задача………………………………………………...11

Заключение ……………………………………………………………………..13

Источники……………………………………………………………………….14

Приложение …………………………………………………………………….15

Введение

Человеку приходится иметь в жизни дело с процентами. В нашей школе проводилась олимпиада по математике. Я заметила, что в работе много задач на проценты. От учителей я слышу часто о качестве знаний по предмету в процентах. По телевизору и радио постоянно слышу информацию в процентах: выборы в Государственную думу, рост числа рождаемости и т. д. А еще мои родители пользуются услугами банков для взятия кредитов, и им приходится рассчитывать проценты по кредитам. И я задумалась, а можно ли современному человеку прожить без знаний процентов?

Области применения процентов:

1. Кредитование населения
2. Изучение процентов в школе
3. Скидки на распродажах
4. Процент рождаемости детей
5. Оплата коммунальных услуг

Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть, выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи? Чтобы ответить на эти вопросы, требуется умение решать задачи по теме «Проценты».  

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению»  в современную информационно-экономическую среду и,  в конечном счете,  облегчает социализацию.

Актуальность: чтобы правильно оформить кредит, рассчитать скидки на товары и услуги, нужно иметь знания о процентах.

Гипотеза: без знания процентов современному человеку обойтись нельзя.

Тип проекта: исследовательский

Проблема: выяснить, нужно ли современному человеку знать сведения о процентах, уметь вычислять проценты.

Цель: при помощи опроса населения, анализа данных показать, как знание процентов помогает мне сделать правильные расчеты, сделать вывод о том, что современному человеку без процентов обойтись нельзя.

Задачи:

• При помощи специальной литературы изучить историю процентов.
• Рассмотреть основные задачи на нахождение процентов.
• Провести опрос населения по использованию кредитов.
• Рассмотреть различные жизненные ситуации с практическим содержанием с использованием процентов.
• Проанализировать полученные данные и сделать выводы.

Глава I  Основные сведения о процентах

4. История возникновения процентов

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли  коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Если речь   идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты, т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2 жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30%,  то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия соответствующих мер.

1.2 Формулы нахождения процентов

Процент – это одна сотая часть от числа.

 Процент записывается с помощью знака %.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств.

2. Формула расчета доли в процентном отношении.

Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2.

P = A1 / A2 * 100.

2. Формула расчета процента от числа.

Пусть задано число A2. Надо вычислить число A1, составляющее заданный процент P от A2.

A1= A2 * P / 100.

3.Формула расчёта числа в процентах.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A1 в процентах.

A1 * 100.

4. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое больше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A2= A1 + A1 * P / 100.

Или

A2= A1 * (1 + P / 100).

2. Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

A2= A1 – A1 * P / 100.

Или A2= A1 * (1 – P / 100).

2. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.

Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС. Обозначим p = P / 100, тогда:

A1= A2 + p * A2.

Или

A1= A2 * (1 + p),

тогда

A2= A1 / (1 + p).

2. Формула расчета простых процентов.

Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.

S = K +

Где:
S — сумма банковского депозита с процентами
Sp — сумма процентов (доход)
K — первоначальная сумма (капитал)
P — годовая процентная ставка
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
D — количество дней в календарном году (365 или 366).

1.3 Основные задачи на нахождение процентов

Задача1. Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На сколько процентов своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?

Решение.

Если V – объем воды, то (1 + 1/9) х V = 10/9 х V – объём льда.                                                          

                                       Объём льда – объём воды

Искомое решение =  ________________________  х 100 %;

                                                    объём льда

подставив необходимые величины, получим, что объём льда уменьшится на 10%.

Ответ: на 10 %.

 Задача2. Если первую цифру двузначного числа увеличить на 25 %, то получим его вторую цифру, а если вторую цифру этого двузначного числа уменьшить на 20 %, то получим первую цифру. Найдите это двузначное число.

Решение.

Пусть а – первая цифра двузначного числа;

            b – вторая цифра двузначного числа.

Имеем систему уравнений:

1,25a = b;

0,8b = a,

учитывая, что а, b – цифры, получим, что а = 4 и b = 5.

Ответ: Искомое двузначное число – 45.

Задача 3. Банк обещал своим клиентам годовой рост  вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 4500 рублей?

Решение.

1) 4500 * 0,3 = 1350(руб.) – «прирост» за год.

2) 4500 + 1350 = 5850(руб.)

 Ответ: в конце года на счете будет находиться 5850 руб.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала  найти, сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной: 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 1500 руб.

Задача 4. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

Решение.

100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

125% = 1,25; 1000:1,25 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 руб.

Задача 5. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение.

Обозначим для удобства первоначальную цену S. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

Решение:

Пусть S – первоначальная цена.

1)1,3S – цена в конце января (130% от S).

2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).

3)1,56S составляет 156% от S.

    156% - 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

Глава II . Проценты вокруг нас

2.1 Опрос населения по кредитам

Я  решила выяснить, насколько популярны кредиты среди населения в нашем городе. В опросе участвовало 74 человека.

На что вы берёте кредиты?

Я выяснила, что кредиты пользуются большой популярностью среди населения. Причем берут кредит чаще всего на покупку мебели или бытовой техники, ремонт и покупку автомобиля. Было также установлено, что кредиты берут люди не в первый раз. Примерно третья часть опрошенных брали кредит два раза, были и такие, кто брал кредит 10 раз.

Вывод: Среди банков наибольшей популярностью пользуются Сбербанк, банк Москвы и Росбанк.

2.2 Качество знаний учащихся  6 К класса по математике

Я рассчитала качество знаний в нашем классе по математике за первый триместр. В нашем классе 22 учащихся. По математике  за I четверть имеют оценку «5» -2  учащихся, «4» - 9 учащихся, «3» - 11 учащихся. Подсчитаем, сколько процентов составляют учащиеся, имеющие оценку «5»- 8%, «4»-36%, «3»-44% и «2» -0%.

Таким образом, качество знаний учащихся нашего класса по математике за первую четверть составляет 44%

2.3 Популярность женских и мужских имен в 5-8 классах школы №2100.

Пользуясь данными учительницы, я выяснила популярность женских и мужских имен в нашей школе.[Приложение]

Таким образом, в ходе анализа данных мы выяснили, что в нашей школе самое распространенное имя девочки –Елена, а имя мальчика –Алексей.

2.4 Практическая задача

Домашний хлеб. Математика и жизнь: пекарский процент

   Понятием "пекарский процент" оперируют все пекари мира. Это очень просто, достаточно вспомнить математику за 5-й класс средней школы, и станет значительно проще понимать даже самые лаконичные рецепты:

Мука 583 г – 100%

Вода х г – 70%

Х = 408 г

Хлебопечение – наука точная. Можно, конечно, и «на глазок», только результат будет непредсказуемым. Допустим, испекли вы хлеб, который вам очень понравился. Как в следующий раз испечь такой же? Или, наоборот, опыт оказался неудачным. Что нужно изменить, чтобы его исправить? Для этого и существуют рецепты. Но можно ли представить, каким будет хлеб, только прочитав рецепт, без выпечки? Или, например, в рецепте указаны какие-то непонятные 738 г муки, а вы хотите испечь хлеб из килограмма муки. Как быть?

Пекари всего мира оперируют понятием «пекарский процент» или «пекарское процентное соотношение».

Основной ингредиент любого хлеба – мука. И ее вес, указанный в рецепте, принимается за 100%. Если в рецепте указано несколько видов муки, то за 100% принимается их суммарные вес . А все остальные ингредиенты (вода, дрожжи, соль, масло, сахар и т.д.) рассчитываются как процент от веса муки.

Вот, например, рецепт французского хлеба, записанный в единицах веса и в пекарском проценте (в скобках):

Мука:             583,0г (100%)                          
Вода:               408,1г (70%)                             
Дрожжи прессованные:  5,83 г (1%)
Соль        11,66 г (2%)           

Всего вес теста:  1000 г (173%)

Что мы можем узнать из такой записи?
Прежде всего, что тесто будет довольно влажным (70% воды) и соленым (содержание соли 2% - это на пике нормы). Дрожжей мало (всего 1%), а, значит, брожение будет долгим и небурным.

Чем нам удобна такая запись?

- во-первых, легко пересчитать рецепт. Например, у вас осталось только 3 грамма дрожжей. Как узнать, сколько муки, воды и соли нужно взять, чтобы испечь хлеб по этому рецепту?  Определяем вес муки (3 г х 100% : 1% = 300 г), а затем и всех остальных ингредиентов, приняв вес муки за 100 % (получится 210 г воды и 6 г соли). Или вы хотите замесить не 1000 г теста, а всего 750. Составляете пропорцию и высчитываете, сколько граммов каждого продукта вам нужно взять.
- во-вторых, пекарский процент помогает в считанные минуты сравнить несколько рецептов. Например, вы увидели новый рецепт багета из 560 г муки. У вас уже есть рецепт багета, но из 720 г муки. Если перевести оба рецепта в пекарский процент, вы увидите, что они ничем не отличаются, кроме веса ингредиентов. Или, наоборот, увидите, чем один отличается от другого (влажностью, степенью солености, количеством дрожжей).
- в-третьих, запись рецепта в пекарском проценте позволит легко исправить ошибку при замесе теста. Например, вы случайно налили больше воды, чем указано в рецепте. Но вам известно, что вода в этом хлебе составляет 70% от веса муки. Путем простых вычислений вы узнаете, сколько муки, соли и дрожжей нужно добавить в тесто, чтобы вернуться к исходному рецепту.
в-четвертых, знакомство с понятием «пекарский процент» позволяет пекарям всех стран говорить на одном языке. Скажите «тесто влажностью 75%» - и вас поймет любой пекарь.

 Достаточно один раз понять, что такое пекарский процент и научиться применять его на практике.

Заключение

    Работая над данным проектом, я расширила знания о процентах. Рассмотрела разнообразные задачи на проценты, примеры практического применения процентов во многих сферах деятельности человека. Узнала, как могут нам упростить жизнь проценты. Какой кредит взять, а от какого стоит отказаться. Подтвердила гипотезу, что без знаний процентов прожить современному человеку нельзя, и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку. Таким образом, проценты являются постоянным спутником в нашей жизни.

     Я надеюсь, что моя работа заинтересует школьников более ответственно подходить к изучению процентов в школе, чтобы потом не испытывать проблем в жизни.

Информационные источники

1. Волина В.В. Занимательная математика.- С.-Петербург, 1996.

2.Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.

3.Сборник развивающих задач с решениями для учащихся 5-6 классов. В.К. Совайленко, О.В. Лебедева 2005 год.

4. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа В.С. Крамор 1994 год.

Интернет- источники

http://lib.repetitors.eu/matematika

 http://www.clascalc.ru/finances/interest.htm

 http://www.demoscope.ru

 http://copy.yandex.net

http://math-prosto.ru/percent/percent3.html     

Приложение Таблицы распространённых женских и мужских имён в школе №2100  в СП №3   5К,6К,7К, 8К  классы.
Таблица №1

Вывод: самое распространённое женское имя –Елена.
Таблица №2

Вывод: Самое распространённое мужское имя Алексей.