5 способов отбора корней в тригонометрических уравнениях

Межрегиональная научно-практическая конференция

 «Шаги в науку»,

посвященная Году экологии в Российской Федерации.

Тема: «5 способов отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Физико-математический (физика, математика, информатика)

Кудряшова Светлана Олеговна,

ученица  10 класса МБОУ «Азбабинская СОШ»

Апастовского  муниципального   района   РТ

                                                                                      Научный руководитель:    

                                                                                          учитель математики

Курмашева А.А.

2017 год

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………2 стр

Основная часть…………………………………………………………………3 стр.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях………………..3 стр.

Арифметический способ……………………………………………………….4 стр

Алгебраический способ……………………………………………………… ..4 стр

Геометрический способ: изображение корней на тригонометрической

 окружности…………………………………………………………………….5 стр.

Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой……….5 стр.

Функционально-графический способ…………………………………………6 стр

Заключение………………………………………………………………………7стр.

Список  использованной литературы………………………………………….8 стр.

                                                              Введение

        Уравнения и системы уравнений занимают важное место  в математике. В 10 классе очень много внимания уделяется решению  тригонометрических уравнений. Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать не только формулы и методы решения этих уравнений, но и правильно отбирать корни на заданном промежутке или при других дополнительных условиях. Следует также отметить, что  в профильном варианте ЕГЭ по математике в 2017 году 13 задание это- «Решить тригонометрическое уравнение и выполнить отбор корней, удовлетворяющих условию или решить систему уравнений».  Поэтому в данной работе я решила исследовать различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях, что поможет в дальнейшем для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

        Объект исследования: тригонометрические уравнения.

        Предмет исследования: способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Цель работы: Изучить различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

        Задачи:

• определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;
• рассмотреть примеры решения уравнений, где необходимо выполнить отбор корней;

Методы исследования

    1) Изучение литературы

   2)Анализ и обобщение изученной информации

   3) Решение тригонометрических уравнений

      Теоретическая значимость исследования заключается в том, что  помимо распространённого способа отбора корней с помощью  тригонометрической окружности,  в меньшей мере используются арифметический и алгебраический подходы. Ученик, знающий несколько приёмов отбора корней, может при решении уравнения выбрать более рациональный.

       Прикладная значимость результатов исследования определяется  вкладом в развитие  логического математического мышления, развитие умения самостоятельного решать тригонометрические уравнения различными способами. Результаты исследования могут быть использованы на уроках математики, а также при подготовке к ЕГЭ по математике.

Основная часть

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

             При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

• Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
• Алгебраический способ:  решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
• Геометрический способ:

- изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

- изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом

имеющихся ограничений.

• Функционально-графический способ.

Каждый из этих способов по-своему хорош и удобен для применения в том или ином случае.

Сначала решим уравнение в общем виде :

Cos2x+ 3 x=1, 25

а)    1- 2x +3 x =1, 25

 x=1/4

Sinx=±1/2

x=±𝝅/6+𝝅k  

 б)А теперь надо найти решения данного уравнения на промежутке [𝝅; 5𝝅/2]  

I. Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

Придадим параметру  k последовательно  значения  0, 1.2, …, -1.-2, … и подставим эти значения в общую формулу.

Если k=0,  то х=± 𝝅/6 не входит в промежуток [𝝅; 5 𝝅/2]  

Если k=1,  то х= 𝝅/6 + 𝝅 =7 𝝅 /6  это число входит в данный промежуток

х=- 𝝅 /6 + 𝝅 =5 𝝅/6 это число не входит в данный промежуток

 Если  k=2,  то х= 𝝅/6 + 2𝝅 =13 𝝅 /6  это число входит в данный промежуток

 х= -𝝅/6 + 2𝝅 =11 𝝅 /6  это число входит в данный промежуток.

Итак, заданному отрезку принадлежат  те корни уравнения, которые  получаются из общей  формулы при следующих значениях параметра: k=1, 2. Эти корни таковы: 7 𝝅 /6  ; 11 𝝅/6  ;13 𝝅/6  .

II. Алгебраический способ:  решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.

Так как  должно выполняться условие  𝝅≤х≤5 𝝅/2, то для первой серии имеем

𝝅≤ 𝝅/6+𝝅k  ≤5 𝝅/2    ⇔   1 ≤ 1/6+k  ≤5/2   ⇔    1-1/6 ≤  k  ≤5/2- 1/6    ⇔ 5/6 ≤  k  ≤ 7/3, то   k=  1; 2.

Тогда х=7 𝝅 /6  ;  х=13 𝝅 /6   

Для второй серии  имеем 𝝅≤ -𝝅/6+𝝅k  ≤5 𝝅/2    ⇔   1 ≤ -1/6+k  ≤5/2   ⇔  

 1+ 1/6 ≤  k  ≤5/2+ 1/6    ⇔ 7/6 ≤  k  ≤1 7/6, то   k=   2.

Тогда   х=11 𝝅 /6  .

Итак, 7 𝝅/6  ; 11 𝝅/6  ;13 𝝅/6 

III. Геометрический способ:

Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

Все числа вида α+2𝝅k, где k𝟄Z,  соответствуют единственной точке  числовой окружности, так как при   обходе окружности   в положительном  или отрицательном направлении на целое число  оборотов из данной точки  мы приходим  в эту же точку.

         Проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Во-первых , на  тригонометрической окружности  отметим промежуток [𝝅; 5𝝅/2]    , длина которого 3π /2.  Для этого полученные значения в серии решений изобразим на тригонометрической окружности . Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только три значения из этих серий:   

7𝝅/6  ;    11𝝅/6  ;   13𝝅/6 

IV. Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом   имеющихся ограничений.

 Тригонометрическую окружность  удобно использовать для изображения  точек вида α+βn,   n𝟄Z, где отношение  2π:β- натуральное число. Ещё одна причина выбора числовой  прямой связана с периодами функций, превосходящих 2π.

Итак,  на числовой  прямой рассмотрим  промежуток  [𝝅; 5𝝅/2]   . У нас 2 серии ответов:  x=  - 𝝅/6+𝝅k   и x=  𝝅/6+𝝅k  

Отметим точками   числа:- - 𝝅/6;  𝝅/6; 𝝅 ;   5𝝅/2;   7𝝅/6,   11𝝅/6;  13𝝅/6.

На рисунке видно, что  числа  7𝝅/6,   11𝝅/6;  13𝝅/6   входят в промежуток [𝝅; 5𝝅/2] .

Ответ: 7𝝅/6,   11𝝅/6;  13𝝅/6  

V. Функционально-графический способ

При решении тригонометрических уравнений иногда  используются  графики тригонометрических функций. При этом подходе требуется умение схематичного построения графика тригонометрической функции  и применение формул корней соответствующих  уравнений. Схематично изобразим графики функций  y=sinх и y=0,5 ,  y=  -0,5. Найдем три корня  уравнения на промежутке [𝝅; 5𝝅/2] . Это  7𝝅/6,   11𝝅/6;  13𝝅/6  

Заключение

             В своей работе  я рассмотрела 5 способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений с выбором ответа.

        Проведя анализ всех решений, я пришла к выводу, что иногда уместно  отобрать корни разными способами, чтобы твёрдо знать, что отбор выполнен верно.

Таким образом, арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в следующих случаях:

-заданные ограничения охватывают большой промежуток, и последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям;

-серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций;

-требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям.

Во всех случаях, перечисленных выше, удобен алгебраический способ отбора корней. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2π, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

         Работа нашла своё применение и на уроках математики,  а так же при подготовке к ЕГЭ по математике.

Используемая литература

1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. – Математика ЕГЭ 2012.
2.  Кочагин В.В.  Математика :сборник заданий. –М: Эксмо-2016.
3. Мордкович А.Г. , П.В. Семенов. Математика: алгебра  и начала математического  анализа, геометрия. 10-11 классы. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций(базовый  уровень). –М.: Мнемозина, 2015.
4. Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/
5.   Семёнов А. Л., Ященко И. В. – Математика. Типовые задания. Москва: «Экзамен», 2017.

.