"Удивительный лист"

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

«Маршальская средняя общеобразовательная школа»

Муниципальная

проектно – исследовательская конференция школьников

«Одиссея разума»

Направление: физико-математическое.

Секция: математическая.

Исследовательская работа по теме:

«Удивительный лист»

                                                                                                                Выполнил Крюков Владимир

                                                                                     ученик 8 класса.                                                                   

                                                                                       Руководитель

                                                                                                          Шилова  Любовь Юрьевна,

                                                                                                                учитель математики.

2018 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………….…3

1. Мёбиус Август Фердинанд………………………………………………..3

2. Открытие Мебиуса…………………………………………………………4

3. Свойства листа Мебиуса…………………………………………………..5

4. Подобные объекты………………………………………………………....6

5. Применение листа Мебиуса……………………………………………….8

6. «Сюрпризы листа Мёбиуса»….…………………………………………. 11

7. Фокусы …………………………………………………………………….13

Заключение………………………………………………................................14

Список использованной литературы……………………………………….. 15              

Введение

«Мышление начинается с удивления»

 Аристотель.  

Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Одним из таких предметов является лента Мебиуса.

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две.

Загадки продолжаются, и когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

 Меня так заинтересовал этот лист, что я стал искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых я  расскажу в своей работе.

Цель работы: определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства  ленты Мёбиуса.

  В соответствии с поставленной целью определились следующие задачи:

• познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;
• научиться и научить других, изготавливать лист Мёбиуса;
• изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;
• проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.
• выяснить,  где применяется лист и его свойства.

Исходя из выше сказанного, я определил: объект моего исследования – лист Мёбиуса.

Метод исследования: - анализ математической литературы,

                          - изучение, исследование  и сбор информации,

                           -практический эксперимент.

Гипотеза: лист (лента) Мёбиуса таит в себе много загадок.

1. Мёбиус Август Фердинанд

Одним из великих геометров XIX столетия был Август Фердинанд Мёбиус(1790-1868) - немецкий математик и астроном - теоретик. Родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по астрономии и математике. Когда Мёбиус работал над докторской (1815 год), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом, избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. Математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире. В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории.

2.Открытие Мебиуса.

Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.  Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же  время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности  этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса.

Что же подтолкнуло Мебиуса к этому открытию? Есть три версии:

1. Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

2. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180°), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно.

3. Свойства листа Мебиуса

Что же это за поверхность – лента Мебиуса? Самое  удивительное то, что сделать её своими руками совсем просто.

Что же поразило немецкого профессора? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  (лист бумаги), – две стороны.

В ходе исследования мы узнали, что Мёбиуса считают основателем топологии. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология".

Тополо́гия* (по-другому - "геометрия положения") — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер.  Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности».  Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части — ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.  Чем могла заинтересовать эта бумажная ленточка профессора математики. А тем, что у нее много необычных свойств. Изучение этой ленты очень занимательно и интересно. Самое же  удивительное, пожалуй, то, что мы  сможем её  сделать  своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о.  И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение 1)

Из статьи «Элементы топологии на примере листа Мёбиуса»  мы узнали о свойствах этого топологического объекта.

Односторонность 

 В своей работе «Об объёме многогранников» Август Мёбиус описал геометрическую поверхность – лист Мёбиуса, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И мы наглядно можем  убедиться, что у этой  ленты Мёбиуса действительно всего одна сторона.  Попробуем закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы мы не придумывали, нам  это не удастся. (Приложение 1)

Непрерывность

 Это ещё одно топологическое свойство. Если  сравнить схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

Связность.

Если квадрат разрезать  от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому можно сказать, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны.

А лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

 4. Подобные объекты

Возникает логичный вопрос: «Существуют ли ещё подобные объекты?»

Да,  существуют,  и в научной литературе описаны ещё более замысловатые, о них очень интересно узнавать.  Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка - Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. (Приложение 1)

Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.

На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, казалось бы,   это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться, после того как он куда-то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!

А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Что же будет, если разрезать Бутылку Клейна?  Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной. Чудеса! Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора.

5. Применение листа Мебиуса

Занимаясь этой работой, мы пришли к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ.

Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы. (Приложение 2)

Лист Мёбиуса в  в науке и технике

Для начала надо вспомнить, что на магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается  в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с “двух сторон” не меняя  местами.

В технике, например, при шлифовании, широко используются мебиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, те же граниты и базальты.

Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается значит, и служить она будет дольше. Это даёт ощутимую экономию.

Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца.

А лет восемнадцать назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель.  Полоса ленточного конвейера выполнялись в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Скольких людей приводили в восторг аттракционы "Американские горки”. 

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Силовая конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких круглых).

 В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку с изображением ленты

Мёбиуса достоинством в пять сентаво. (Приложение 2)

Лист Мёбиуса в природе и в жизни.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. (Приложение 2)

Лист Мёбиуса в искусстве.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных  показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее,  это полоса с односторонней поверхностью.

Лист  Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда, появляясь снова только через несколько месяцев. А поэты посвящают ей стихи.

А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?" (Приложение 2)

Очень интересны  памятники, посвящённые ленте Мёбиуса. (Приложение 2)

Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса. Даже мастерицы – рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту.

 (Приложение 2)

Конечно же,  главная ценность листа Мёбиуса, представленного в нашей работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Математические исследования продолжаются и в наши дни. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и  изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического  факультета Московского университета. (Приложение 2)

Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса. Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны. 

6. «Сюрпризы листа Мёбиуса».

Нами проведено несколько экспериментов с листом Мёбиуса, в которых мы постарались ответить на интересующие нас  вопросы, и сделали определённые  выводы.

Для работы нужно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты.

Итак, нам для работы понадобится набор лент, клей и ножницы.

Эксперимент № 1

Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?

Постепенно окрашиваем лист Мёбиуса. в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. Результат окрашивания: – весь лист полностью окрашен.(Приложение 3)

Вывод:  лист Мёбиуса односторонняя поверхность.

Эксперимент № 2.

А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?

Исходный материал – лист Мёбиуса.Результат разрезания кольца посередине – одно кольцо. (Приложение 3). Вывод: свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза уже.

Эксперимент № 3.

Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?

Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии. Склеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски). (Приложение 3).

Вывод: Результат разрезания – получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. 

Эксперимент № 4.

Исходный материал - лента шириной 4 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см . Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 4 полосок). (Приложение 3).

Вывод: Результат разрезания – получим 2 больших кольца.

Эксперимент № 5.

Исходный материал - лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 5 полосок). (Приложение 3)

Вывод: Результат разрезания– получим 3 кольца: I - лист Мёбиуса -1 перекрут, ширина 1 см,  длина равна длине исходного кольца. II, III - кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой. 

Эксперимент № 6.

Исходный материал - лента шириной 6 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса. Разрезаем его по пунктиру (на 6 полосок). (Приложение 3)

Вывод: Результат разрезания- получим 3 больших  кольца.

Результаты экспериментов я занёс в таблицу.

Вывод:  проведя эксперименты  мы заметили, что разрезая лист Мебиуса на четное число полос получаем только большие кольца, а если на нечетное – большие и маленькие. (Приложение 3.)

7. Фокусы

 Для выполнения фокусов необходимы шарф, жилет,  бумажные полоски, клей и ножницы. Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью фокуса-эксперимента ищем выход из сложившейся ситуации.

Фокус 1. Рамка для фото. Как сделать рамку для фотографии?

Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. В результате разрезания мы получим прямоугольник, который можно применить как фоторамку. Если проявить фантазию, и заменить ровный разрез бумаги на фигурный, то можно получить оригинальную рамку. (Приложение 4.)

Фокус 2. Завязывание узлов  

 Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. (Приложение 4.)

Фокус 3. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. (Приложение 4)

Заключение

 Математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования  я узнал много нового и интересного, необычного. Чтобы проверить свою гипотезу, я читал книги, работал с различными источниками информации в сети Интернет, проводил эксперименты, демонстрировал своим одноклассникам и родным фокусы. Изучение математики за страницами учебника расширило мои знания в области экспериментальной математики. Это исследование  помогло мне  приобрести навык самостоятельной работы  и сформировало компетентность в данном разделе математики.

      Поставленной цели я достиг, так как  теперь знаю, что Мёбиус – это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки.  По ходу исследования я узнал, что наука топология – это раздел математики, изучающий явление непрерывности и познакомился со свойствами листа Мёбиуса, узнал о применении его в технике, искусстве, литературе.  Разрезая лист на части  можно проводить различные увлекательные эксперименты.

Список литературы

1. Август Мёбиус  http://www.calend.ru/person/2637/|
2. Статья:  Что такое лист Мёбиуса?  http://www.genon.ru
3. Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса».

          Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие топологические    парадоксы        http://www.log-in.ru/articles/1360/

4. Видеоролик «Разрезание бутылки Клейна» (The Klein Bottle), http://video.yandex.ru/seapch.xml? Text
5. Статья: Элементы топологии на примере листа Мёбиуса        http://sola.narod.ru/top.htm
6. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974

    Статья: Преобразования Мебиуса http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor

7.  Искусство и технология     http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/

8.Лист Мёбиуса:      http://www.vevivi.ru/best/List-Mebiusa-ref172005.html

    9. Искусство и технология     http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/37.129#.