Исследовательская работа по теме «Бином Ньютона. Треугольник Паскаля».

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Параньгинская средняя общеобразовательная школа» Республика Марий Эл

Исследовательская работа

по теме «Бином Ньютона. Треугольник Паскаля».

Работа выполнена учащимися 10 «Б» класса:

Афандиевой Сирин и Габдрахмановой Айгуль.

Цель исследовательской работы: изучить формулы для возведения двучлена в степень выше трех.

План исследовательской работы:

1) Познакомиться с биографией английского физика и математика Исаака Ньютона, его работами в области математики;

2) Провести практическую работу по возведению двучлена в четвертую, пятую, шестую, седьмую степени, увидеть особенности, сделать выводы;

3) Изучить работы Исаака Ньютона в этой области, научиться применять его формулу для возведения двучлена в любую натуральную степень, с использованием « Треугольника Паскаля».

Ожидаемые результаты работы:

1) В ходе исследовательской работы мы больше будем знать о жизни и деятельности ученых математиков Исаака Ньютона и Блеза Паскаля.

2) Научимся возводить двучлен в натуральную степень, применяя формулу  Ньютона с использованием «Треугольника Паскаля».

Ньютон Исаак (1643-1727 гг.)

Английский математик, физик, алхимик и историк. Родился в семье фермера.

В12 лет поступил в Грантемскую школу, в 1661 г — в колледж Св. Троицы (Тринити-колледж) Кембриджского университета в качестве субсайзера (так назывались бедные студенты, выполнявшие для заработка обязанности слуг в колледже).

Окончив университет, Ньютон в 1665 г получил ученую степень бакалавра. В 1665-1667 гг. у него сложились в основном те идеи, которые привели его к созданию дифференциального и интегрального исчислений, изобретению зеркального телескопа, открытию закона всемирного тяготения.

В Кембридже он провел и опыты над разложением света. В 1668 г. Ньютону была присвоена степень магистра. В 1671 г. Ньютон построил второй зеркальный телескоп — больших размеров и лучшего качества. Ньютону принадлежат обоснованные тончайшими экспериментами представления о монохроматических световых лучах и периодичности их свойств, лежащие в основе физической оптики.

В 1687 г. Ньютон опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала натуральной философии» (кратко — «Начала»), заложивший основы не только рациональной механики, но и всего математического естествознания. «Начала» содержали законы динамики, закон всемирного тяготения с эффективными приложениями к движению небесных тел, истоки учения о движении и сопротивлении жидкостей и газов, включая акустику.

В 1705 г. за научные труды королева Анна возвела его в рыцарское звание. В последние годы жизни Ньютон много времени посвящал теологии и античной и библейской истории. Похоронен Ньютон в английском национальном пантеоне —Вестминстерском аббатстве.

Паскаль Блез (1623-1662 гг.)

Французский математик, физик, философ, писатель.

Родился в семье одного из лучших юристов города Клермон-Ферран. Отец, глубоко интересуясь математикой, привил любовь к этой науке своему сыну, который впоследствии стал одним из крупнейших математиков и физиков Франции.

Невероятные успехи Блеза до сих пор считают ярким проявлением таланта, граничащего с гениальностью.

Первый свой трактат по математике он написал в возрасте 17 лет. Далее его открытия последовали одно за другим. Однако успех не вскружил ему голову и к 30-летнему возрасту он глубоко погрузился в религию и философию.

Блез стал последователем янсенизма — учения, противоречащего ортодоксальному католицизму и отрицавшего свободу воли, признававшего предопределение и требовавшего от своих адептов аскетизма и бескомпромиссного этического самосовершенствования.

Иезуиты были врагами янсенистов, и в связи с этим ученый написал книгу «Письма к провинциалу» — шедевр сатирической прозы, который доказывает полную несостоятельность иезуитских доктрин.

Последние годы жизни Паскаль провел в монастыре Пор-Руаяль-д-Шан — интеллектуальном сердце столицы Франции.

После смерти вышел в свет его труд «Мысли», который был издан близкими друзьями и почитателями. В «Мыслях» Паскаль развивает представление о трагичности и хрупкости человека, находящегося между двумя безднами — бесконечностью и ничтожеством (человек — «мыслящий тростник»).

Все, о чем писал Паскаль, было им глубоко пережито и выстрадано. О себе самом он говорил: «Я только с теми, кто стеная, ищет истину».

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Их знали вавилоняне, греки и некоторые другие народы древности. В Древней Греции жили и работали замечательные ученые математики, философы, астрономы, физики, которые всю свою жизнь отдали служению науке. Начиная с VI века до н. э., у древнегреческих математиков встречаются общие утверждения о тождественном преобразовании многочленов, применении формул и правил, которые установил древнегреческий ученый Пифагор, живший в 6 в. до н.э.

Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался в 3 в до н.э. древнегреческий геометр Евклид. В своих «Началах», состоящих из 13 книг, вторую он посвятил алгебраическим тождествам (всего тождеств было 10). У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество ( а + в )=а + 2ав + в во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения.

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).

Также вопросами исследования многочленов занимался и иранский поэт, математик, астроном, философ живший в XI-XII вв. (по европейскому летоисчислению) в Персии Омар Хайям. Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Из других работ известно, что он содержит сведенья о разработанном Хайямом общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев», т.е. с помощью правил (а+b)2 и (a+b)3. Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n. (К сожалению, результаты работы математиков Востока были неизвестны в Европе до XVII в., поэтому их пришлось открывать заново.)

На современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы Исааком Ньютоном. Формула, которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 г. и получила название бинома Ньютона. Эта формула была известна задолго до Ньютона многим ученым разных времен и стран, в том числе ал-Караджи (5 в.), ат-Туси и ал-Каши, Тарталье, Ферма, Паскалю. Строгое доказательство формулы для натурального n было дано в 1713 г. опять-таки не Ньютоном, а Якобом Бернулли. В чем же заслуга Ньютона, имя которого носит эта формула? В том, что он распространил ее на любое действительное n, т. е. он показал, что формула верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом. В настоящее время употребление дробных, отрицательных и иррациональных показателей кажется каждому старшекласснику несложным делом, однако в 17 веке Ньютон был первым человеком в мире, начавшим систематически употреблять в алгебре показатели, отличные от целых положительных. Скромное на первый взгляд дело – распространение этой формулы на действительные показатели – имело огромное значение для развития математики

При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля. Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля».

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)n, где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)6. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов:

a6 + c1a5b + c2a4b2 + c3a3b3 + c4a2b4 + c5ab5 + b6.

Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, ci? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.

Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первое и последнее числа 1;

второе число равно 1 + 5, или 6;

третье число это 5 + 10, или 15;

четвертое число это 10 + 10, или 20;

пятое число это 10 + 5, или 15; и

шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b)6 будет равно

(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6.

Для того, чтобы возвести в степень (a + b)8, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда

(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,

(a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + .... + cn-1a1bn-1 + cna0bn,

где числа c0, c1, c2,...., cn-1, cn взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1. Возведите в степень: (u - v)5.

Решение. У нас есть (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:

1          5          10          10          5          1

Тогда у нас есть

(u - v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 - 5u4v + 10u3v2 - 10u2v3 + 5uv4 - v5.

Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2. Возведите в степень: (2t + 3/t)4.

Решение. У нас есть (a + b)n, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:

1          4          6          4          1

Тогда мы имеем 

Разложение бинома, используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)11. Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку - скажем, 8-ю строку - без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .

Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,

.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему  называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3. Возведите в степень: (x2 - 2y)5.

Решение. У нас есть (a + b)n, где a = x2, b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x2 - 2y)5 = x10 - 10x8y + 40x6y2 - 80x4y3 + 80x2y4 - 35y5.

Пример 4. Возведите в степень: (2/x + 3√x)4.

Решение. У нас есть (a + b)n, где a = 2/x, b = 3√x, и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Таким образом, (2/x + 3√x)4 = 16/x4 + 96/x5/2 + 216/x + 216x1/2 + 81x2.

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона  дает нам 1-й член,  дает нам 2-й член,  дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обобщено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b)n есть .

Пример 5. Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y)6.

Решение. Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6. Найдите 8-й член в выражении (3x - 2)10.

Решение. Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть

.

Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1)n:

Так. общее количество подмножеств (1 + 1)n, или 2n. Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2n.

Пример 7. Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение. Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 25, или 32.

Пример 8 .Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:

{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение. Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Источники:

1. Большая советская энциклопедия. В 30 тт.
2. Энциклопедический словарь. Брокгауз Ф.А., Ефрон И.А. В 86 тт.
3. Электронный ресурс. Режим доступа: https://public.wikireading.ru/121526