Фокус и директриса параболы

Опубликовано Найдёшкина Лидия Анатольевна вкл 05.01.2019 - 0:54

Автор:

Саркисян Алина

В первой главе исследовательского проекта рассматривается история возникновения и развития понятия «парабола». Во второй главе доказывается, что парабола может быть определена не только как график квадратичной функции, но и как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки. Актуальность работы в том, что, парабола рассматривается с точки зрения геометрии и физики расширяет и углубляет знания о параболе, полученные на уроках математики. Полученные результаты работы могут использоваться на уроках математики, на занятиях математического кружка. Кроме того, можно применять полученные знания при построении графика квадратичной функции.

Скачать:

Вложение	Размер
fokus_i_direktrisa_paraboly.rar	759.47 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Сапоговская общеобразовательная школа»

Математика

ФОКУС И ДИРЕКТРИСА ПАРАБОЛЫ

Автор: Саркисян Алина, ученица 9 класса

Руководитель: Найдешкина Л.А.,

учитель математики

а. Сапогов, 2018

Оглавление

Введение 4

1. Историческая справка 5

1.1 Парабола как коническое сечение в Древней Греции 5

1.2 Применение параболы при решении некоторых уравнений в 9-11 веках на Востоке 7

1.3. Парабола в эпоху Возрождения в Европе 7

Выводы 7

2. Вывод уравнения параболы как геометрического места точек 9

3 Способы построения параболы 10

3.1 Построение параболы с помощью натянутой нити 10

3.2 Построение параболы по заданному фокусу и директрисе. 10

Выводы 12

4. Нахождение фокуса и директрисы параболы 12

4.1 Применение свойства параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы 13

Заключение 15

Список литературы 16

Интернет сайты 16

Введение

С квадратичной функцией и ее графиком мы знакомимся в 8 и 9 классах. В первой главе исследовательского проекта рассматривается история возникновения и развития понятия «парабола». Во второй главе доказывается, что парабола может быть определена не только как график квадратичной функции, но и как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки. Рассмотрение параболы как геометрического места точек привело к нахождению авторского оригинального способа нахождения фокуса и директрисы параболы y = ax2 + bx + c. Этот способ нахождения фокуса и директрисы параболы описан в главе 3.

Актуальность работы в том, что, парабола рассматривается с точки зрения геометрии и физики расширяет и углубляет знания о параболе, полученные на уроках математики. Полученные результаты работы могут использоваться на уроках математики, на занятиях математического кружка. Кроме того, можно применять полученные знания при построении графика квадратичной функции.

Объектом исследования в представленной работе является геометрическое место точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки.

Предметом исследования является график геометрического места точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки – квадратная парабола.

Гипотеза:

геометрическим местом точек, равноудаленных от заданной прямой и заданной точки является квадратная парабола;
можно найти авторский способ нахождения фокуса и директрисы квадратичной функции y = ax2 + bx + c.

Для доказательства этой гипотезы была поставлена цель:

доказать, что графиком геометрического места точек равноудаленных от заданной прямой и заданной точки является парабола, найти собственные способы нахождения фокуса и директрисы квадратичной функции

y = ax2 + bx + c.

Для достижения этой цели были определены следующие задачи:

изучение истории возникновения и развития понятия «парабола»;
изучение в математической литературе способов построения параболы;
развитие математической интуиции, творческих способностей;
приобретение опыта научной работы;
приобретение опыта публичных выступлений.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы в проектной работе использовались следующие методы исследования:

теоретический анализ сведений о параболе в истории математики;
анализ известных определений параболы;
анализ известных способов доказательства;
синтез полученных знаний об уравнении параболы как геометрического места точек;
анализ применения свойства параболы фокусировать направленные на нее параллельные лучи;
метод проектов.

Продуктом проекта является оформленный исследовательский проект «Фокус и директриса параболы»

Историческая справка

Парабола как коническое сечение в Древней Греции

Коническими сечениями много занимались математики Древней Греции. Именно древние греки установили, что при сечении конуса плоскостью могут получаться кривые второго порядка. Если рассечь круговой конус плоскостью, перпендикулярной оси конуса, в сечении получится окружность. Если секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса, то в сечении получается эллипс. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то в сечении получается неограниченная (в одну сторону) линия, называемая параболой. Если секущая плоскость пересекает обе полости поверхности кругового конуса, то в сечении получается линия, состоящая из двух неограниченно удаляющихся ветвей, называемая гиперболой. В частности гипербола получается в том случае, когда секущая плоскость параллельна оси конуса.

Философ Прокл, живший в 5 веке нашей эры, которому доступны были древние источники, считал, что Мэнаихм, ученик Платона, живший около 350 года до нашей эры, открыл все конические сечения.

В книге «Квадратура параболы» великий Архимед (287-212 годы до нашей эры) привел выражение для площади параболического сегмента (4/3 площади вписанного треугольника с основанием таким же, как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). Полное изложение конических сечений дал ученик Евклида Аполлоний из Перги (260-170 годы до нашей эры) в замечательном трактате из восьми книг «О кониках». Семь из этих книг сохранились, причём три из них - только в арабском переводе. Это трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, которые определяются как сечения кругового конуса.^[1]

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола (рис. 3).

В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Парабола образуется, когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса. Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой (рис.3). Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.).

Описывая эллипс, параболу и гиперболу языком алгебры. Математик выберет в плоскости сечения такую прямоугольную систему координат, в которой уравнения кривых имеют наиболее простой вид. Если направить ось симметрии конического сечения и поместить начало координат на саму кривую (рис. 3), то её уравнение примет вид , где р и λ – некоторые постоянные, причём р≠0. Если λ=0,уравнение описывает параболу, а если λ<0 – эллипс, если λ>0 – гиперболу.

Происхождение названия кривых объясняет рис.4. нннн

Построим в вершине каждой из трёх кривых любой прямоугольник высотой 2р (на рисунке он коричневого цвета). К нему «приставим» зелёный квадрат, касающийся вершиной кривой, а стороной – оси симметрии. Тогда в параболе площади квадрата и прямоугольника равны, в эллипсе площадь квадрата меньше, а в гиперболе больше, чем прямоугольника. В переводе с греческого «параболе» - «сопоставление», «сравнение», «прикладывание»; «эллипсис» - «выпадение», «опущение»; «хиперболе» - «преувеличение».^[2]

1.2 Применение параболы при решении некоторых уравнений в 9-11 веках на Востоке

С середины 9 века до середины 11 века восточно-арабская математика пережила время особенно яркого и быстрого развития. В это время ал-Хайтам из Барсы (в Ираке) (965-1039г.г.), используя понятия гиперболы и параболы, смог решить некоторые кубические уравнения. Его современник ал-Кухи сформулировал задачу построения сферического сегмента, по объёму равного данному сегменту, и по поверхности - другому сегменту. Эту задачу ал-Кухи решил путём построения гиперболы и параболы. В это время арабские учёные сформулировали достаточно много задач, которые сводились к решению кубических уравнений, решение же уравнений искалось как абсцисса точки пересечения двух конических сечений, чаще всего параболы и гиперболы. Омар Хайям в своей знаменитой книге «Алгебра» приводит решения кубических уравнений и уравнений четвёртой степени с помощью параболы и полуокружности или параболы и гиперболы.

1.3. Парабола в эпоху Возрождения в Европе

Долгое время конические сечения, считавшиеся вершиной греческой геометрии – эллипсы, параболы, гиперболы – казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности. В 16 веке Никола Тарталья предположил, что траектория брошенного тела не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой. В 17 веке Иоганн Кеплер (1571-1630г.г.) обнаружил, что по эллипсам движутся планеты, а некоторые кометы имеют параболическую траекторию движения (рис. 5). Файл:Parabolic orbit.gif

В 17 веке Галилео Галилей рассматривал механику падающих тел. В своей книге «Беседы» (1638г.) Галилей пришёл к математическому изучению движения, к зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением. В этой книге так же доказывается, что выпущенный из пушки снаряд летит по параболической траектории. Галилей указывает, что цепная линия сходна с параболой, но не даёт точного описания этой кривой.

Выводы

Первое упоминание о параболе встречается в Древней Греции в трудах Мэнаихма (4 век до н.э.).

На Востоке в (9-11 веках).

В древней Греции парабола вводится как одно из возможных конических сечений, парабола используется для решения уравнений третьей и четвертой степени.

В эпоху Возрождения в Европе парабола описывается как траектория движения брошенного камня или запущенного из пушки снаряд.

2. Вывод уравнения параболы как геометрического места точек

Определение: параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от прямой и не лежащей на ней точки.^[3]

Рис. 6

Пусть на плоскости дана прямая ℓ и не лежащая на ней точка M. Пусть расстояние от точки M до прямой ℓ равно 2 m.

Расположим оси координат в соответствии с рисунком 1: ось абсцисс параллельна прямой ℓ на расстоянии от неё m (прямая ℓ проходит через точку (0; -m) ), ось ординат проходит через точку M.

Пусть точка A (x; y) равноудалена от прямой ℓ и точки M, т.е. AM = AB (AB перпендикулярно оси абсцисс). Проведем MD перпендикулярно AB. Тогда в прямоугольном треугольнике AMD:

MD = x,

AD = y – m.

По теореме Пифагора получим:

AM2= MD2 + AD2 = x2 + (y – m)2 .

По рисунку 1 AB = y + m.

Так как AM= AB, то AM2 = AB2,

тогда x2 + (y– m)2 = (y + m)2,

x2+y2 – 2my + m2 = y2 + 2my + m2,

x2 + y2 – 2my + m2 – y2 – 2my – m2 = 0,

x2 – 4my = 0,

4my = x2,

y = x2/(4m) (1)

Так как точка A взята произвольно, то координаты любой точки, равноудаленной от заданной точки (M) и заданной прямой (ℓ ), связаны между собой полученным выражением (1). Это уравнение называется уравнением параболы (с вершиной в начале координат).

При m = 1/4 получим y = x2, при m = 1 получим y = x2/4.

Точка M называет фокусом параболы, а прямая ℓ – директрисой.

Покажем, как в уравнении параболы (1) связан коэффициент, при

x2 = (1/4m) с расстоянием фокуса параболы (точки M) от оси x(m).

Пусть1/(4m) = k, k>0. Тогда уравнение (1) примет вид y = kx2 (2).

Так как k =1/(4m), то km = 1/4, m= 1/(4k). То есть связь между m и k – обратная пропорциональность. Графиком, отображающим связь между m и k, является гипербола (рис.7).

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .

Чем меньше k, тем выше фокус параболы: при k=4 m= 1/16, при k= 1/10 m=2,5.

Способы построения параболы

3.1 Построение параболы с помощью натянутой нити

Используя геометрическое определение параболы, нетрудно смастерить устройство, с помощью которого можно чертить параболу. Для этого к вершине острого угла чертёжного треугольника нужно укрепить нить длиной, равной катету. Второй конец нити с помощью кнопки укрепить на бумаге. Ещё понадобиться линейка и карандаш.^[4] Инструмент 2

Зафиксировав положение линейки, заставим другой катет скользить по линейке. Карандаш, прижатый к первому катету так, чтобы нить оставалась в натяжении, будет рисовать параболу. Это отражено на фотографии (рис.8).

Построение параболы по заданному фокусу и директрисе.

Квадратичную параболу можно рассматривать не только как график функции, но и как геометрическое место точек равноудаленных от заданной прямой (она называется директрисой) и заданной точки (фокуса).

Пусть задана директриса АВ и фокус точка F (рис.9).

Через фокус F проведем ось параболы перпендикулярно директрисе АВ. Получим точку С. Отрезок СF делим пополам, получим точку D – вершину параболы. От точки D на оси по направлению к фокусу (т.е. вниз) откладываем несколько произвольных отрезков 1-2, 2-3, 3-4 и т.д. Через точки 1, 2, 3, 4 ... проводим прямые, параллельные директрисе АВ. Приняв за центр точку F радиусом R1 = 1C делаем засечки 11 и 12 на параллельной прямой, проведенной через точку 1.

Радиусом R2 = 2C из точки F делаем засечки 21 и 22 на прямой, проведенной через точку 2 и так далее. Через полученные точки проводим плавную кривую – это и будет искомая парабола.

(если уравнение не приведенное его легко привести, разделив обе части на а ):

Таким образом, найдены две симметричные относительно оси параболы точки параболы. Найдя абсциссу середины отрезка АВ, мы тем самым найдем абсциссу вершины параболы хВЕРШИНЫ и уравнение оси симметрии х = хВЕРШИНЫ. Зададим абсциссы нескольких точек, например, правее вершины параболы, найдем соответствующие им ординаты, отметим точки в системе координат и начертим симметричные им. Соединим отмеченные точки плавной линией. График построен.^[5]

Если же при вычислении абсциссы точки В она совпала с абсциссой точки А, значит это абсцисса вершины параболы.

Пример. Построить график функции y=2x2–4x + 1.Выберем точку параболы А с абсциссой 3, т.е. хА = 3, тогда yA = 2 2–4 3 + 1 = 18 – 12 + 1 = 7.

Пусть точка В, принадлежащая параболе и симметричная точке А, имеет абсциссу хВ = …, а yB = 7.

Найдем хВ из уравнения:

7 = 2х2 – 4хВ + 1

2хВ2 – 2хВ – 6 = : 2

ХВ2 – 2хВ – 3 = 0

Т.к. один корень этого уравнения равен хА = 3, то по теореме
Виета имеем хА хВ = 3, т.е. 3хВ = 3, хВ = 1.

Абсцисса середины отрезка АВ равна = 1.

Значит, абсцисса вершины параболы равна 1.

Найдем координаты нескольких точек:

x	1	2	3
y	-1	1	7

Отметим эти точки и симметричные им точки относительно прямой

х = 1.

Соединим точки плавной линией (рис. 10).

Рис.10

Этим способом удобно пользоваться для построения графика параболы. Но если ученик забыл формулу для вычисления абсциссы вершины параболы, этот способ становится просто незаменимым!

Выводы

В этой главе рассмотрены некоторые способы построения квадратичной параболы и описаны из известных способов следующие:

построение параболы с помощью натянутой нити
построение параболы как геометрического места точек равноудаленных от заданной прямой и заданной точки

4. Нахождение фокуса и директрисы параболы

Зафиксируем на плоскости точку F и прямую L, которая не проходит через F. Множество точек плоскости, которые расположены на равном расстоянии от точки F и от прямой L, есть парабола, точка F- её фокус, а прямая L- директриса.

Если в фокус «зеркальной» параболы поместить источник света, то все исходящие из него световые лучи после отражения от неё пойдут по прямым, которые параллельны её оси симметрии. И наоборот, все световые лучи. Идущие параллельно оси параболы, после отражения от «стенок» кривой соберутся в одной точке – её фокусе (рис. 12). Это замечательное оптическое свойство параболы широко применяется в технике, например в устройстве фар, рефлекторов, антенн радиотелескопов.

Уравнение параболы, вершина которой располагается в начале координат: =2рх

Коническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

$~\textstyle y^2=2px, p>0$ (или $~\textstyle x^2=2py$ , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии $\frac{p}{2}$ от обоих.

Квадратное уравнение ~y=ax^2+bx+c при $~a\neq 0$ также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и ~y=ax^2 , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке , координаты которой вычисляются по формулам:

$~x_A=-\frac{b}{2a},\;y_A=-\frac{D}{4a},$ где D=b^2-4ac — дискриминант

Ось её симметрии проходит через вершину параллельно оси ординат, при a>0 (a<0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии a/4, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ~y=ax^2+bx+c может быть представлено в виде ~y=a(x-x_A)^2+y_A , а в случае переноса начала координат в точку каноническим уравнением. Таким образом, для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим. При этом $p=\frac{|a|}{2}$ .

Парабола, её фокус и директриса.

Рис.11 Парабола, её фокус и директриса

Луч света, выпущенный из фокуса параболического зеркала, после отражения пойдёт параллельно оси (рис. 12).

4.1 Применение свойства параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы

При вращении параболы вокруг своей оси образуется параболоид. Любая прямая, параллельная оси симметрии параболоида, после отражения от его поверхности, проходит через фокус параболоида. Это свойство параболоида фокусировать лучи, параллельные его оси. Поэтому, чтобы изготовить зеркало, собирающие солнечные лучи в одной точке, надо отшлифовать его по параболоиду вращения. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные от поверхности параболоида лучи пройдут через его фокус. Температура в фокусе окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет не только вскипятить воду, но даже расплавить свинец и т.д.. Отсюда происходит и само название «фокус», что в переводе с латинского означает «очаг». По дошедшей до нашего времени легенде, с помощью таких вогнутых параболических зеркал Архимед сжег вражеские римские корабли. Это же свойство фокусировать пучок параллельных оси параболоида лучей или радиоволн используется в конструкциях приемных антенн космической связи, в зеркалах телескопов. В прожекторах, автомобильных фарах, фонариках обычно применяют зеркало параболической формы, в фокусе которого помещают источник света. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Аналогично устроен направленный микрофон. Если стенам помещения придать форму параболоида, то они будут способны усиливать звуки, источник которых находится в его фокусе.

Но если прожекторы, телескопы, микроскопы, локаторы – творения рук человека, то глаз – это удивительное творение природы. Хрусталик глаза – самонастраивающийся прибор, он позволяет нам видеть близкие и далекие предметы. Хрусталик то сжимается в шарик, то растягивается в эллипсоид, тем самым меняя фокусное расстояние.

Заключение

Важный раздел алгебры, изучаемый в школе – это функции и их графики, в частности, квадратичная функция и ее график квадратная парабола. В работе рассмотрена история развития понятия параболы, оригинальные способы задания и построения параболы. Центральным вопросом работы является доказательство того, что геометрическим местом точек равноудаленных от данной точки и данной прямой является парабола, Мне удалось найти интересное решение нахождения фокуса и директрисы параболы ~y=ax^2+bx+c . Материал, изложенный в проектной работе, расширяет и углубляет знания о параболе, полученные в школе.

Гипотеза, выдвинутая перед началом работы, подтверждена. Поставленная цель достигнута, задачи выполнены.

Практическая значимость работы состоит:

в расширении знаний о квадратной параболе
в возможности применения полученных результатов на уроках математики и на занятиях математического кружка.

Мною рассмотрены интересные вопросы о параболе. В дальнейшем планирую провести доказательство подобия парабол.

Список литературы

Акопян А. А., Заславский А. В.. Геометрические свойства кривых второго порядка. М., Издательство МЦНМО, 2007.
Журнал «Квант», №2, 1971 г.;
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика-Пресс, 1999.
Кольман Э.. История математики в древности. М., Издательство физико-математической литературы, 1987.
Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Потрфолио», сборник описаний работ// М., «Первое сентября», «Чистые пруды», 2011.