ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА «РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ»

МУ «Комитет по образованию г. Улан-Удэ»

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 42 г. Улан-Удэ»

ГОРОДСКАЯ НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

УЧАЩИХСЯ 5 – 7 КЛАССОВ

«ОБЫКНОВЕННОЕ ЧУДО»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ»

Котлыкова Анастасия

ученица 6 «В» класса

Научный руководитель

Белоусова Анна Николаевна

 учитель математики

МАОУ «СОШ № 42»

Улан-Удэ

2017 год

Оглавление:

Введение…………………………………………………………………….…………………………..3

Глава 1. История математического образования в России………………………………………….4

Глава 2. Традиционные и нетрадиционные способы решения текстовых задач с примерами…..6

Глава 3. Решение текстовых задач арифметическим способом……………….................................7

Глава 4.Решение текстовых задач алгебраическим способом ……………………………………..9

Глава 5. Решение текстовых задач геометрическим способом………………................................11

Глава 6. Решение текстовых задач схематическим способом…………………..............................12

Глава 7. Решение текстовых задач графическим способом……………………..............................13

Заключение…………………………………………………………………………………………....14

Список использованной литературы………………………………………………………………..15

Введение

Задачи сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Уже в 5 - 6 классах мы решаем большинство текстовых задач с помощью уравнений. Этот способ так и называем «с помощью уравнений».

Мне стало интересно - есть ли ещё способы решения текстовых задач, а может одну и ту же задачу можно решать разными способами. Я люблю математику и мне хотелось бы развить своё логическое мышление, сообразительность.

Актуальность. Текстовые задачи, на мой взгляд, трудный материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи.

Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, я смогу применять их не только на уроках, но и олимпиадах.

Цель работы: исследование различных способов решения текстовых задач.

Объект исследования: текстовые задачи.

Предмет исследования: способы решения текстовых задач.

Гипотеза: с помощью различных способов можно упростить и ускорить процесс решения текстовых задач.

 В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

1. изучить научную литературу по данной проблеме;
2. рассмотреть способы решения текстовых задач;
3. описать методы и способы решения задач;
4. продемонстрировать различные способы  решения одних и тех же текстовых задач;
5. провести сравнительный анализ различных методов решения текстовых задач, выявить наиболее рациональный.
6. показать преимущество знаний различных  способов решения текстовых задач.

Глава 1. История математического образования в России

Приступив к грандиозным преобразованиям государства Российского, Петр I проводил реформы государственной, общественной и культурной жизни страны, а также и в образовании.  14 января 1701 года Петром I издан указ об учреждении первого светского учебного заведения – Московская математико - навигацкая школа».

Для вновь созданного учебного заведения нужны были учебники. Рукописи XVI – XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века.

Древнейшая русская математическая рукопись, автором которой был новгородский дьякон и «чистолюбец» Кирик, датируется 1136 годом. В ней содержатся задачи на суммирование, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня отворения мира, вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным.

Первый учебник математики был создан в 1703 году. Автором этого учебника стал Леонтий Филиппович Магницкий, а назывался учебник «Арифметика, сиречь наука числительная…».

Эта «Арифметика» прослужила в качестве школьного учебника почти до середины XVIII века. Она содержала задачи практического содержания вместе с их решениями. Обучение математике велось по образцам, т.е. по «правилам».  По-другому в те времена учить не умели. Обучение «по правилам» было обычным для России, учитель лишь формулировал основные определения и правила, и разбирал решение типовых задач. Ученик должен был знать на память ряд правил и решать задачи, попадающие в сферу его деятельности.

Вот как формулируется «тройное правило» в книге И. Бёшенштейна (1514 г.) и пример решения задачи.

«Тройным правилом или золотым называется правило, с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе detry или detree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить всё. ...Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящие сзади число помножить на среднее и разделить на переднее». Далее приведен пример на применение правила:

Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов.

Это правило в современной математике называется «основным свойством пропорции».

В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.)  При этом учителя мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать - то едва ли нужно было.

«Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца, и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу.

Так в 1923 г. В. Беллюстин в своей книге «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты или способы, с помощью которых выполняется эта работа.

Глава 2. Традиционные и нетрадиционные способы решения текстовых задач с примерами

На мой вопрос к учащимся 6 классов: «Какие способы решения текстовых задач вы знаете?»,  я получила следующие ответы, представленные в диаграмме:

В опросе принимало участие 89 учащихся 6 классов. Других способов решения текстовых задач, опрошенные учащиеся не назвали.

Существуют различные подходы к определению самой задачи.  Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче».

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти.

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

1. арифметический - значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.
2. алгебраический - значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение.
3. геометрический - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.
4. схематический - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.
5. графический - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

 Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.

Глава 3.  Решение текстовых задач арифметическим способом

В арифметическом способе решить задачу - это значит выполнить арифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 3 раза меньше, чем Саша, а Витя на 5 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 27 грибов?

Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:

С. – 26 г.

К. - ? г, в 3 раза <, чем                                                                   ?

В. - ? г. , на 6 грибов >, чем  

В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.

1. Сколько грибов нашел Коля?

26 : 2 = 13 (г.) - нашел Коля

2. Сколько грибов нашел Витя?

13 + 6=19 (г.) – нашел Витя

3. Сколько всего грибов собрали три друга вместе?

26 + 13 + 19 = 58 (гр.) - вместе.

Эту же задачу можно решить,  записав числовое выражение:

26 + 26 : 3 + (26 : 3 + 6) = 58

Ответ: 58 грибов собрали три друга вместе.

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Х. - ?                                                                      82 - Х

Т. -  ?                                                                      Х                               (82 - х) + (32 - х) = 78

Х.Г. - ?                                                                   32 – Х

1-й способ.

1)        82  32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2)        192:2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3)        96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4)        96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5)        96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1)        82 – 32 = 50 (чел.) - настолько больше учеников поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2)        50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число учеников, поющих в хоре;

3)        128 :  2 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4)        78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5)        82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, 14 учеников занимаются художественной гимнастикой, 18 учеников занимаются танцами.

Глава 4.  Решение текстовых задач алгебраическим способом

Известный американский педагог и математик Д.Пойа пишет, что «Составить уравнение – значит выразить символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода»  

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:

1.Арифметическую краткую запись условия задачи (цель этого этапа - осмысление задачи и выяснение связей между величинами).

Форма записи может быть различной – схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи. Неизвестные величины на чертеже или в таблице удобно обозначать знаком «?», а главный вопрос задачи, например, выделить в «кружок». Нужно помнить, что единицы измерения всех величин должны быть единые.

2. Алгебраическую краткую запись условий задачи (цель этого этапа – удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё.)

Форма записи такая, как и на 1 этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной. Важно помнить, обычно этот этап начинается с фразы: «Пусть x единиц -…, тогда…».

3.    Составление и решение уравнения (цель этого этапа – составить уравнение, опираясь на условие задачи, и найти его решение).

Чтобы составить уравнение нужно увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы. Например, s = vt.

4.    Анализ решения уравнения. (полезно провести проверку)

5.     Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.

Задача 2. Поют в хоре и занимаются танцами 82 ученика, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 ученика, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников. Сколько учеников поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый ученик занимается только чем-то одним?

Х. - ?                                                                      82 - Х

Т. -  ?                                                                      Х                               (82 - х) + (32 - х) = 78

Х.Г. - ?                                                                   32 – Х

1) Пусть х учеников  занимались танцами, тогда 82 - х учеников пели в хоре и 32 - х учеников занимались художественной гимнастикой. Составим уравнение по последнему предложение нашей задачи - поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 учеников, значит

(82-х)+(32-х)=78

82 – х + 32 – х = 78

114 – 2х = 78

2х = 114- 78

2х = 36

х = 36:2

х=18 (у) -  занимались танцами,

2) 82 – 18 = 64 (у) - пели в хоре

3) 32 – 18 =14( у) - занимались художественной гимнастикой.

Ответ: 64 ученика поют в хоре, занимаются танцами 18 учеников  и художественной гимнастикой занимаются 14 учеников.

Глава 5. Решение текстовых задач геометрическим способом

Геометрический способ заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Данный метод делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений.

Для составления математической модели текстовой задачи чаще всего применяются отрезки и их длины, а также  прямоугольники и их площади.  

Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Французский математик София Жермен писала: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах»

Задача 3. (№ 258 учебника Математика-6, авт. Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов.)

В бригаде 5 рабочих. Зарплата первого рабочего увеличилась на 10%, второго на 20%, третьего на – 30%, а у четвертого и пятого осталась прежней. На сколько процентов в среднем выросла зарплата рабочего этой бригады, если раньше все они имели одинаковую зарплату?

Глава 6.  Решение текстовых задач схематическим способом

Схематический способ решения задач - это старинный способ, его знали ещё до н.э. в Древней Греции во времена Пифагора, а в 18 - 19 веках успешно использовали купцы при торговле смешанным товаром.

Задача 4. Родительский комитет детского сада решили закупить конфеты для новогодних подарков для 100 детей. Было решено сделать подарки на сумму 150 рублей. На оптовой базе они выбрали конфеты по цене 225р., 135 р., 180 рублей за кг. Каждая конфета в среднем весит 10 граммов. Сколько конфет каждого вида необходимо купить родительскому комитету?

Решим задачу схематическим способом, этот способ разработал Л. Магницкий.

Запишем в столбик друг под другом цены двух сортов конфет в порядке возрастания 135 р. и 180 р., в центре второго столбика запишем цену смеси конфет 150 рублей. В третий столбик запишем модуль разности чисел 180 и 150, 150 и 135р. Получившиеся результаты разделим на НОД самих чисел 30 и 15, т.е. на 15, получим 2 части  и 1 часть, эти результаты запишем в 4 столбик. Аналогично поступим с конфетами по  225р.

135                                 180-150 = 30                                                30:15 =2 части

                  150                                         НОД(15;30) = 15

180                                 150-135 = 15                                                 15:15 =1 часть

135                            225-150 =75                                                       75:15=5 частей

                150                                            НОД(75;15)=15

225                           150-135=15                                                          15:15=1 часть

Мы получили две схемы, значит конфет по 135 р. необходимо 2 + 5 = 7 частей, по 180 р.  1 часть, по 225 р.  1 часть.

Этот способ у Л.Магницкого называется «правилом крестика».

Эти части означают, что если на 100 детей распределить по 1 конфете массой 10 граммов, то потребуется 1 кг по 180 р., 1 кг по 225 р., 7 кг по 135 р.

Схематический способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов.

Глава 7.  Решение текстовых задач графическим способом

     Графическое изображение, описывающее условие задачи позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим. Особенно успешно можно применять этот метод при решении математических текстовых задач на движение и работу.

Задача 5. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Данную задачу можно решить арифметическим способом.

       9 ч.                                                                       ?, в 2 р. <                                                                  

                                                  × ? ч.

                                            450 км

Вычислим скорости автомобилей

v1 = 450 : 9 = 50 км/ч,

v2 = 450 : 4,5 = 100км/ч,

vсближения = 50 + 100 = 150 км/ч,

t= S : v = 450 : 150 = 3 часа.

Ответ: через 3 часа они встретятся.

Решим её графически.

По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение автомобилей изобразим в виде двух прямых, выходящих навстречу друг другу. Читаем с чертежа ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

На мой взгляд, данная задача решалась несложно арифметическим способом, но решение геометрическим способом ещё и наглядное, что даёт ему преимущество перед другими способами.

Заключение

 Рассматривая различные источники и анализируя литературу, я пришла к выводу, что алгебраические задачи, можно решать геометрически, схематически, графически.

Конечно, алгебраический способ - универсальный, но знание различных способов часто упрощает решение задачи. В процессе исследования я рассмотрела различные текстовые задачи, подобрала для них различные способы решения, сравнила эти способы. Решения некоторых задач продемонстрированы в работе. Тем самым были описаны наиболее часто встречающиеся традиционные и редко встречающиеся нетрадиционные способы решения.

Вывод: Арифметическим способом можно решать простые задачи, но более универсальный метод – алгебраический. 

Геометрический способ  является неординарным и рациональным, отличается быстротой  и наглядностью.  

Схематический способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов.

Графический способ очень хорош при решении задач на прямолинейное движение.  

В результате выполнения исследовательской работы я расширила своё представление о способах решения текстовых задач, освоила и сравнила эти способы, показала их применение при решении задач. Владея несколькими способами, я научилась быстрее и рациональнее решать задачи и теперь буду увереннее себя чувствовать на уроках математики.

Надеюсь, моя работа будет полезна не только мне, но и принесёт пользу моим сверстникам.

Известный математик и педагог Алексей Иванович Маркушевич говорил: «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели».

Список используемой литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра:Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений//,Ш.А. Алимов,  Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2004-2011. – 255 с.
2. Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2004-2010. – 288 с.
3. Капкаева Л.С. Алгебраический и геометрический методы в обучении математике. Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал. №7 – М.: Издательство ООО «Школьная пресса» 2004. – 78 с.
4. Овчинникова М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы): Учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание» – К.: Пед.пресса, 2001
5. Полякова Т.С. История математического образования в России. Два века. – М.: Изд. Московского ун-та, 2002.
6. Полякова Т.С. Математическое образование в петровскую эпоху. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» – №11, 2001.
7. Шевкин А.В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики”: Лекци
8. http://stud24.ru/mathematic/tekstovaya-zadacha-i-process-ee/