Научись строить графики дробно- линейной функции

Слайд 1

Научись строить графики дробно- линейной функции Работа Аристеева Олега, ученика 8 класса МКОУ “ Камышовская ООШ ” Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна , учитель математики МКОУ “ Камышовская ООШ” с. Камышово , 2018г .

Слайд 2

Цель проекта: Ответить на вопрос как строить графики дробно- линейных функций. Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Изучить преобразования рациональных выражений Рассмотреть деление «уголком» многочлена на многочлен. Научиться строить графики дробно- линейных функций тремя способами.

Слайд 3

Содержание 1. Определение дробно- линейной функции. 2. Пошаговый алгоритм построения графика дробно- линейной функции первым способом. 3. Примеры построения графиков дробно- линейной функции первым способом. 4. Деление «уголком» многочлена на многочлен. 5. Пошаговый алгоритм построения графика дробно- линейной функции вторым способом. 6. Примеры построения графиков дробно- линейной функции вторым способом. 7 . Пошаговый алгоритм построения графика дробно- линейной функции третьим способом . 8. Примеры построения графиков дробно- линейной функции третьим способом .

Слайд 4

Определение дробно- линейной функции. Дробно - линейной функцией называется функция вида у = , Область определения функции (ООФ): x - . Должны выполняться условия: 1) с В противном случае функция будет просто линейной. 2)Если ad – bc = 0 , то выражения в числителе и знаменателе будут пропорциональны и функция будет просто константой при x - 3) Графиком дробно - линейной функции является гипербола.

Слайд 5

Алгоритм построения графика дробно- линейной функции(первый способ). Шаг 1. Выполним преобразование: = = = . Шаг 2. Проводим вертикальную прямую ( вертикальная асимптота графика): Шаг 3. Проводим горизонтальную прямую ( горизонтальная асимптота графика): Шаг 4. На оси Ох отмечается точка х= - , если а . Искомый график пересекает ось Ох как раз в этой точке. Шаг 5. На оси Оу отмечается точка у= , если . Искомый график пересекает ось Оу в этой точке. Шаг 6. В зависимости от знака выражения рисуется график функции, проходящий через отмеченные точки и имеющий заданные асимптоты в I и III четвертях или во II и IV четвертях.

Слайд 6

Пример № 1 Построить график функции у = Область определения функции( ООФ): х a =1, b =2, c =1, d = - 6, = = 1, = = 8 Шаг 1. = = + = 1+ Шаг 2. Проводим вертикальную асимптоту графика, = +6 Шаг 3. Проводим горизонтальную асимптоту графика, = 1 Шаг 4. На оси Ох отмечается точка х= - =- 2. Искомый график пересекает ось Ох как раз в этой точке. Шаг 5. На оси Оу отмечается точка у= = - . Искомый график пересекает ось Оу в этой точке Шаг 6. Знак выражения рисуется график функции в I и III четвертях, проходящий через отмеченные точки и имеющий заданные асимптоты

Слайд 7

График функции у =

Слайд 8

Пример № 2 Построить график функции у = Область определения функции( ООФ): х Шаг 1. Выполним преобразование: = = = 2,5 – Шаг 2. Проводим вертикальную асимптоту графика) = Шаг 3. Пунктиром проводим горизонтальную асимптота графика = 2,5 Шаг 4. На оси Ох отмечается точка х= - = . Искомый график пересекает ось Ох как раз в этой точке. Шаг 5. На оси Оу отмечается точка у= = 3. Искомый график пересекает ось Оу в этой точке. Шаг 6. Выражение =-1- отрицательно, рисуется график функции во II и IV четвертях , проходящий через отмеченные точки и имеющий заданные асимптоты.

Слайд 9

График функции у =

Слайд 10

Деление «уголком» многочлена на многочлен Многочлены можно делить друг на друга « уголком», как целые числа. При этом если натуральное число а делим на натуральное число b , то результат деления- нахождения чисел q( частного ) и r( остатка ) таких, что a=bq+r , причём 0≤ r ≤ b . Точно такой же результат получается и при делении многочлена a(x) на многочлен b(x) : получается многочлен q(x ) (частное) и многочлен r(x ) (остаток) таким образом, что a(x ) = b(x)q(x)+r(x) и степень многочлена r(x ) строго меньше степени b(x ) .

Слайд 11

+6 -3 х+1 ):( ) Алгоритм деления «уголком » многочлена на многочлен 1) Делим старший член делимого на старший член делителя. У нас это на . Полученное частное нужно поставить в строку для результата, умножить это частное на делитель и записать результат (в нашем случае -2 +3 )по степеням под делимым. 2) Теперь точно так же, как всегда делятся натуральные числа, надо поставить знак минус, провести горизонтальную черту и произвести вычитание. Если делали всё правильно, то первое слагаемое должно исчезнуть. Мы получили разность 3) Далее, приписываем к разности следующий член делимого. У нас это –х и получаем многочлен -х. и повторяем действия. Его старший член старший член делителя и получается 8х. Это значение приписывается со знаком плюс в строку для частного и умножается на делитель. И всё повторяется. 4) Получили +6 -3 х+1 ):( ) =( )( ) -5х-29

Слайд 12

Общий вид деления «уголком» многочлена на многочлен + - 3 - х + 1 - 2х + 3 - - + 3 +8х + 10 8 - 6 - х - - 16 + 24х 10 - 25х + 1 - 10 - 20х + 30 - 5х - 29 + - - х + 1 - 2х + 3 - - + +8х + 10 - - х - - + 24х - 25х + 1 - - 20х + 30 - 5х - 29

Слайд 13

Алгоритм построения графика дробно- линейной функции(второй способ) у = . 1) Делим «уголком» двучлен на двучлен, при этом выделяется целая часть и остаток 2) = -целая часть – это горизонтальная асимптота 3) Знак остатка указывает в каких четвертях строится гипербола 4) Находим область определения функции. ООФ: x - .это будет вертикальная асимптота. 5) Если представить эти асимптоты как новые оси координат с началом отсчёта в точке ( - ), то график получается как у функции у = ,либо как у функции у = -

Слайд 14

Пример № 3 Построить график функции у = ООФ: х 1)Делим 4х+3 на 2х-1 «уголком» и получаем = 2+ = 2 + 2) = 2 - горизонтальная асимптота 3) остаток +5, значит график расположен в I и III четвертях. 4) = вертикальная асимптота 5) Эти асимптоты пересекаются в точке ( ; 2)- это начало отсчёта новой системы координат. 6) В новой системе отсчёта строим график функции у=

Слайд 15

График функции у =

Слайд 16

Построение графика функции y=f(x + )+ 1) Сначала строим график функции y=f(x) . 2) C помощью параллельного переноса передвигаем график на единиц влево, если и на - вправо, если < 0. 3) C помощью параллельного переноса передвигаем график на единиц вверх, если и на вниз, если < 0.

Слайд 17

Алгоритм построения графика дробно- линейной функции(третий способ) у = . 1) Делим «уголком» двучлен на двучлен, при этом выделяется целая часть и остаток у = . 2 ) Выделяем = . Мы будем передвигать график на единиц вверх или вниз по оси Оу 3) Находим область определения функции ООФ : x - . Это = - . Мы будем передвигать график на единиц вправо или влево по оси Ох 4) Строим график функции у = и передвигаем его на единиц вверх, если и на вниз, если < 0 по оси Оу и на единиц влево, если и на - вправо, если < 0 по оси Ох.

Слайд 18

Пример № 4 Построить график функции у = ООФ: х 1) Делим «уголком» двучлен на двучлен, при этом выделяется целая часть и остаток. у = = 2) Строим график функции у = 3) Выделяем = . Мы будем передвигать график на единиц вверх по оси Оу 3) Находим область определения функции ООФ: x . Это = . Мы будем передвигать график на единиц вправо по оси Ох

Слайд 19

График функции у =

Слайд 20

Заключение Мы показали способы построения дробно- линейной функции. Умение строить графики различных функций помогут в подготовке к экзаменам ОГЭ и ЕГЭ. Математика – это единственный предмет в школе, представляющий собой мышление в чистом виде. Математика позволяет понять, насколько человек способен логически мыслить. Умение строить графики различными способами помогут повысить мыслительные способности и, следовательно, преуспеть в дальнейшем.

Слайд 21

Литература 1.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., М.С.Якир . Алгебра, 9 класс. Москва. Издательство « Вентана –Граф», 2017г. 2.Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., М.С.Якир . Алгебра, 8 класс. Москва. Издательство « Вентана –Граф», 2016г. 3. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Москва. Издательство МЦНМО, 2017г. 4.Сикорский К. П. Дополнительные главы к курсу математики. - М.: просвещение, 1974. 5.Дворянинов С. Дробно – линейная функция в школьном курсе математики // Математика. – 2000г. - № 5 .