Проект «Стереометрия вокруг нас»

          Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Домодедовская средняя общеобразовательная школа №7 с углубленным изучением отдельных предметов

142003, Московская область, г. Домодедово, ул. Талалихина, д.6; тел/факс 8 (49679) 74788

Учебно-исследовательская работа «Стереометрия вокруг нас» на научно-практическую

конференцию «Будущее науки»

                                                                                    Выполнил ученик 9 класса В

                                                                        Крючков Георгий Алексеевич

                                                                        Руководитель: Зиновьева Л.А.

Городской округ Домодедово 2015

Цель исследования: «Рассмотреть раздел геометрии (стереометрия) как науки, которая развивается и имеет применение в повседневной жизни.

Задачи, которые я перед собой ставил, это по возможности полно раскрыть применение стереометрии в нашей жизни, науке и творчестве.

Стереометрия как наука.

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.

Стереометрия вокруг нас.

Нашу жизнь очень трудно представить без стереометрии. Все предметы, которые нас окружают, изготовлены в виде геометрических фигур. В архитектуре применяются знания о стереометрии для строительства зданий. Дизайнеры применяют правильные многогранники  для изготовления декоративных вещей и предметов роскоши.

История стереометрии.

Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н.э. древнегреческий ученый Геродот (V век до н.э.) писал, что египетский фараон разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и в соответствии с этим уменьшал налог. Так возникла геометрия в Египте, а откуда перешла в Грецию.
Геометрия как теоретическая наука возникла в Древней Греции, многие современные геометрические термины имеют древние происхождения. Труды древнегреческих математиков сыграли исключительно важную роль в развитие науки вообще и геометрии в частности. Они стали достоянием общей культуры человечества.

Древние греки считаются основателями стереометрии. В Древней Греции не только применяли законы и свойства стереометрии в строительстве, но и создавали труды по этому разделу геометрии. Основоположником стереометрии считается Евклид (3 век до н.э.).

Евклидова геометрия.

Евклидова геометрия, система геометрии, основанная на аксиомах, сформулированных в книге Евклида «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета — ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии».

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Правильные многогранники.

Вокруг нас в основном встречаются тела, напоминающие по форме правильные многогранники.

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;
2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

Многогранники в химии и геологии.

Иногда в природе можно встретить кристаллы, очень похожие на правильные многогранники. В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии – у одних мало, у других много. По симметрии кристаллы делятся на три категории. К высшей категории относятся самые симметричные кристаллы. К таким формам относятся куб, октаэдр, тетраэдр и др. Из кристаллов к высшей категории относятся: алмаз, квасцы, гранаты, германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово вольфрам. Кристаллы средней категории: призмы, пирамиды и другие. К ним относятся графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл, поваренная соль.

Кристаллами обычно называют твердые тела, образующиеся в природных или лабораторных условиях и имеющие вид многогранников, которые напоминают строгие геометрические построения. Поверхность таких фигур ограничена более или менее совершенными плоскостями- гранями, пересекающимися по прямым линиям- ребрам. Точки пересечения ребер образуют вершины. Кристаллы обычно твердые тела.

Кристаллов в природе существует великое множество и так же много существует различных форм кристаллов. Было установлено, что все кристаллы построены из элементарных частиц, расположенных в строгом порядке внутри кристаллического тела. Рассматривая различные кристаллы, мы видим, что все они разные по форме, но любой из них представляет симметричное тело. Симметричность - одно из основных свойств кристаллов.

В химии каждый элемент периодической системы таблицы Менделеева имеет свое строение кристаллической решетки.

Если узлы кристаллической решетки расположены только в вершинах параллелепипеда элементарной сетки, то решетка называется примитивной (простой); если, кроме того, есть узлы в центре оснований параллелепипеда – базоцентрированной ; если есть узлы в месте пересечения пространственных диагоналей – объемно-центрированной ; если есть узлы в центре граней – гранецентрированной.

 По форме ячейки в зависимости от углов между гранями a,b,и величины ребер a,b,c различают 7 кристаллических схем :

а) правильная или кубическая;

б) гексогональная (прямая призма, в основании ромб с углами 600 и 1200, высота призмы не равна стороне ромба);

в) тетрагональная (прямоугольный параллелепипед, в основании – квадрат); г) тригональная (ромбоэдрическая) – ромбоэдр, a=b=;

д) ромбическая (прямоугольный параллелепипед с разной длиной ребер);

е) моноклинная (наклонный параллелепипед, две пары граней – прямоугольники);

ж) триклинная (параллелепипед).

Многогранники в биологии.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать толщи давления воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Стереометрия в жизни.

Вокруг нас большинство вещей и предметов представляют правильные многогранники. Мебель в комнате имеет форму параллелепипеда и куба. Посуда, вазы, цветочные горшки напоминают по форме цилиндр. Дизайнерские вещи и предметы роскоши изготовлены в форме разнообразных правильных многогранников.

Стереометрия в искусстве.

В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам, которые рассматривал еще Евклид в «Началах» с математической точки зрения, а Платон в своих диалогах — с космологической точки зрения. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.

В эту эпоху в работах художников помимо правильных и полуправильных, или архимедовых, многогранников начинают появляться другие геометрические фигуры — конусы, призмы и ограненные сферы. Ограненные сферы, которые встречаются в книге «О божественной пропорции» и в инкрустациях Фра Джованни да Верона, можно вписать в идеальную сферу, которая, в свою очередь, будет описывать все ограненные сферы одного радиуса.

Стереометрия и памятники архитектуры.

В архитектуре Древнего мира применялись свойства фигур стереометрии. В Египте строились пирамиды. В Риме были построен Колизей в форме цилиндра. Цилиндр и пирамида считаются очень прочными конструкциями, поэтому памятники мировой архитектуры сохранились и сегодня.

Стереометрия в мире моды

Геометрические узоры были частью национальных костюмов уже давно, и не удивительно, что они плавно перешли и в мир современной моды. Вот уже много лет одежда с геометрическими фигурами и просто линиями не выходит из моды.

Дизайнеры и модельеры вносят в свои коллекции многогранники и другие геометрические фигуры.  

Показано, что геометрия – наука, без которой невозможно представить нашу жизнь.

Стереометрия в дизайнерском исполнении.

Дизайнеры применяют правильные многогранники  для изготовления декора-тивных вещей и предметов роскоши. Но встречаются произведения дизайнерского творчества и в архитектуре.

Главная библиотека страны была основана в 1922 году при Белорусском государ-ственном университете и получила название Белорусской государственной и университет-ской библиотеки. С течением времени фонды значительно увеличились, поэтому возникла необходимость строительства нового, более масштабного и современного здания.
Еще в 1989 году был проведен всесоюзный конкурс на лучший проект будущего сооружения. Его победители – архитекторы Виктор Крамаренко и Михаил Виноградов – предложили модель "белорусского алмаза".
          Идея предполагала возведение оригинального здания в виде ромбокубооктаэдра – сложного многогранника из 18 квадратов и 8 треугольников. По задумке авторов, форма ограненного алмаза символизирует ценность знаний и бесконечность познаваемого мира. Открытие состоялось в 2006 году.
В вечернее время фасад здания превращается в многоцветный светодиодный экран из более 4500 источников. Всего доступны более 20 вариантов цветовых эффектов, которые образуются с помощью свыше 65 тысяч оттенков.

Также одними из наиболее известных дизайнерских построек являются: «Дом желтых кубиков»  Роттердам, Нидерланды. Построен архитектором Пиет Бломом в 1984 году и Гиперболоидная сетчатая башня в порту Кобе, Япония. Построена в 1963 году.  Высота 108 метров.

Стереометрия в архитектуре.

Зарождение архитектуры относится ко времени первобытнообщинного строя, когда возникли первые искусственно сооружаемые жилища и поселения. С возникновением государств сложилась и новая форма поселения - город как центр управления, ремесленного производства и торговли. В древние века возникают большие государства Египет, Греция, Япония, Римская империя, Китай где создается своеобразная архитектура. Уже в то время возникло абстрактное понятие геометрического тела (фигуры) и отмечается связь геометрии и реального мира.  Геометрия, как практическая наука, использовалась египтянами для восстановления земельных участков после каждого разлива Нила, при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов. Широта градостроительства , отличает Римскую архитектуру. Организованную строгую планировку, римляне усовершенствовали и воплотили в городах большого масштаба. Переход от простейших построек к сложным архитектурным сооружениям осуществлялся медленно, по мере развития измерительных приборов, материалов, механизмов, необходимых для строительства. Одна из самых «прочных», «устойчивых» и «уверенных» геометрических фигур - это хорошо известный квадрат, иными словами, абсолютно правильный прямоугольник. Форму прямоугольника имеет кирпич, доска, плита, стекло - то есть все, что нам нужно для постройки здания имеет прямоугольную форму. Прямой угол - величайший организатор пространства, особенно рукотворного. Архитектурные сооружения состоят из отдельных деталей, каждая из которых строится на базе определенных геометрических фигур либо на их комбинации. Кроме того, форма любого архитектурного сооружения имеет своей моделью определенную геометрическую фигуру. 

Конечно, говорить о соответствии архитектурных форм геометрическим фигурам можно только приближенно, отвлекаясь от мелких деталей. В архитектуре используются почти все геометрические фигуры. Выбор использования той или иной фигуры в архитектурном сооружении зависит от множества факторов: эстетичного внешнего вида здания, его прочности, удобства в эксплуатации. Эстетические особенности архитектурных сооружений изменялись в ходе исторического процесса и воплощались в архитектурных стилях. Стилем принято называть совокупность основных черт и признаков архитектуры определенного времени и места. Геометрические формы, свойственные архитектурным сооружениям в целом и их отдельным элементам, также являются признаками архитектурных стилей. 

Архитектура в наши дни имеет все более необычный характер. Здания становятся самых разных форм . Многие здания украшаются колоннами и лепнинами. Геометрические фигуры различной формы можно увидеть в постройке конструкциях мостов. Самые «молодые» здания - это небоскребы , подземные сооружения с модернизированным дизайном. Такие здания проектируются с использованием архитектурных пропорций.

Цилиндрические конструкции.

Дом-мастерская архитектора К.С. Мельникова 1927—1929 гг.

Уникальным в доме Мельникова является уже то, что в конце 1920-х годов, когда в СССР шло сворачивание НЭПа, а по всей стране началось строительство домов-коммун, одному человеку разрешили построить частный дом в центре столицы. Конструкции стен и перекрытий дома-мастерской не только оригинальны, но и выполнены на уровне технических изобретений, несколько из которых были Мельниковым впоследствии запатентованы.

Объёмная композиция дома представляет собой два разновысоких вертикальных цилиндра одинакового диаметра, врезанных друг в друга на треть радиуса, образуя тем самым необычную форму плана в виде цифры «8», ориентированную по направлению «север — юг». Более низкий цилиндр со срезанной по вертикали южной частью завершён плоской крышей с открытой террасой. Возвышающийся над ним задний цилиндр имеет покатую кровлю, понижающуюся от центра здания к его северной части.

К. С. Мельников подробно обосновывает преимущества цилиндрической конструкции: «Экономия материалов: Прямая связь архитектурного изучения геометрии с экономическим эффектом. Задача состоит в том, чтобы… площадь пола была окружена минимальным периметром стен. Требуемая площадь, скажем, 1600 кв. м. Высота — величина постоянная… Возьмем параллелепипед, куб и цилиндр… Итак, по трем вариантам периметр составит соответственно 200, 160 и 140 м. Совершенно реальная экономия от формы объема».

Стереометрия в архитектуре нашего города.

Стереометрию можно найти и в архитектуре нашего города. Гениальные идеи Мельникова живы и сегодня. Они отобразились в архитектуре нашего города.  

 Таким образом, стереометрия окружает человека.  Мы можем найти стереометрию в искусстве, в науке, в технике. Мебель в комнате, окна, двери – все это содержит в себе основные свойства и форму фигур стереометрии.

Литература

Александр Исаакович Китайгородский «Кристаллы».

Журнал «Квант»  2012 год.

Учебник по химии 9 класс Н.Е. Кузнецова, И.М. Титова, Н.Н.Гара, А.Ю.Жегин;  издательский центр «Вентана-Граф».

Новейший полный справочник школьника; издательство «Эксмо».

Энциклопедия Археологических открытий; издательство «Махаон».

Энциклопедия Эрудита; издательство «Махаон».

Интернет-ресурсы

http://geometry-and-art.ru/stereo.html

https://ru.wikipedia.org