Способы решения прикладных задач в различных областях математики
Прикладная направленность математики предполагает тесную связь с жизнью, основами других наук, использование математических знаний в профессиональной деятельности, широкое применение в процессе обучения компьютерных программ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 hasanova.ppt | 1.4 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели и задачи проекта: Цель моего проекта: найти разные способы решения прикладных задач, изучить их требования. Для достижения данной цели, я поставила следующие задачи: Изучить литературу по теме Решить задачи несколькими способами Найти более удобный вариант для решения прикладных задач в математике Проверить решение с помощью компьютерной программы Сделать выводы
«Математика есть познание всего сущего» Платон.
Прикладная направленность математики предполагает тесную связь с жизнью, основами других наук, использование математических знаний в профессиональной деятельности, широкое применение в процессе обучения компьютерных программ.
Большинство людей еще со школьной скамьи считают, что математика – это абстрактные объекты, уравнения, теоремы и т.д., которым никогда не находят применения в жизни. На самом же деле, они просто не поняли, что математика является тесным сплетением чистой математики и прикладной математики.
Обратимся к книге “Начала финансовой математики” Г.П. Башарина: «…на первый взгляд финансовая математика сводится к арифметике. Однако ситуация резко усложняется, если речь идет даже о небольших коммерческих операциях, не говоря уже о банковской деятельности.» Без финансовой математики сложно представить современный мир, тем не менее, она демонстрирует лишь некоторую часть прикладной математики.
Математика и информатика неразрывно связаны между собой. Изучение информатики дало возможность показать решения новыми нестандартными методами: алгоритмизацией решения сложных задач на компьютере, возможностью смоделировать и увидеть наглядно ситуацию. С помощью программ в информатике можно проверить свое решение или же решить саму задачу.
Задача №1 В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м 3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 3 V м 3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10 V м 3 больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
Решение Пусть объем бассейна равен A м 3 . Первая и вторая трубы, работая вместе t 1 ч, налили м 3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t 2 ч, налили м 3 бассейна. В результате бассейн был налит полностью.
Известно, что для любых двух положительных чисел t 1 и t 2 верно неравенство (среднее арифметическое неравенство). Рассмотрим произведение Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке .
А это значит: имеет наименьшее значение в точке (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение также будет иметь аналогичное значение в той же точке При этом:
Итак, при получим . А это значит, что в точке выражение t 1 + t 2 также примет наименьшее значение . Ответ:
Решение с производной Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t 1 ч, налили бассейна, далее все три трубы, работая вместе t 2 ч, налили бассейна. Тогда время наполнения бассейна Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:
Решим уравнение используя равносильность или Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке. Ответ:
Решение с помощью программы
Задача №2 На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В . На втором заводе для изготовления t деталей (и А , и В ) требуется t 2 человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В . При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
Решение Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А , и В ) требуется t 2 человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей. Пусть на первом комбинате х рабочих заняты на производстве детали А , а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В , и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В . Внесем данные из условия в таблицу.
Деталь A Деталь B Количество человек Количество деталей Количество человек Количество деталей Первый комбинат Второй комбинат Всего
Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A : Пусть s шт. — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А : Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*): Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y , не больших 10.
Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке [0; 10] она принимает при y=0 , при этом x=11 , а Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В ), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А , а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В . Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В , на производстве которых были заняты все 200 человек. Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия. Ответ: 33 изделия.
Замечание. Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А , и В независимо друг от друга) требуется t 2 человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А . Внесем данные из условия в таблицу .
Деталь A Деталь B Количество человек Количество деталей Количество человек Количество деталей Первый комбинат Второй комбинат Всего
Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A : Пусть s шт — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А : Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):
Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y не больших 100. Имеем: Найдем нули производной:
В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом . Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А . Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочих первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А , за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В , за сутки они произведут их 99 шт. Ответ: 33 изделия.
Решение с помощью программы:
Задача №3 Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4 t 3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение Пусть рабочие первого завода за неделю производят x приборов, второго завода — y приборов. И при этом будет выполнено условие. x + y = 20. Тогда доля человеко-часов, затраченных на первом заводе составит 4 x 3 , а на втором — y 3 . Таким образом, Леониду придется запланировать на оплату труда рабочих обоих заводов тысяч рублей за неделю. Так как y = 20 − x , то Найдем наименьшее значение функции S ( x ) = 4 x 3 + (20- x ) 3 на [0;20]
Положительное значение искомого корня Заметим, что на [0; 20] это единственная точка экстремума. Если она окажется точкой минимума функции, то функция именно в этой точке и достигает наименьшего значения.
Итак, критическая точка функции точка является точкой минимума функции S ( x ). Поскольку количество изготовленных приборов будет выражаться числом натуральным, то наименьшая сумма, необходимая для выплаты рабочим, будет достигнута либо при x = 6, либо при x = 7. (тысяч руб.); (тысяч руб.) Итак, искомая сумма 3 569 000 рублей. Ответ: 3 569 000 рублей.
Решение с помощью программы:
Заключение Использование прикладных задач формирует умения решать прикладные задачи в различных жизненных ситуациях. Решение прикладных задач позволяет лучше понять теоретический материал, приучает пользоваться дополнительным справочным материалом, превращает знания в необходимый элемент практической деятельности. Анализ учебников, тестирование показали актуальность исследования, необходимость систематического включения прикладных задач в процесс обучения математике. Решая прикладные задачи, я оказалась в одной из жизненных ситуаций и научилась отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.
Список использованной литературы Мышкис А.Д. Что такое прикладная математика? Вестник высшей школы, 1967, №2 Башарин, Г.П. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 160 с. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учащихся / Н.А. Терешин. – М: Просвещение, 1990. – 96 с. образовательный портал для подготовки к экзаменам Д.Гущина решу ЕГЭ https :// ege.sdamgia.ru /
Заповеди детства и юности
Ломтик арбуза. Рисуем акварелью
Фильм "Золушка"
Интересные факты о мультфильме "Холодное сердце"
"Морская болезнь" у космонавтов