Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 "Гимназия №7" г. Торжка

Тема проекта:

Программирование решения уравнений

Работа ученика 9Б класса

Ф.И.О. обучающегося:

Смольков Андрей Владимирович

Руководитель проекта

Ф.И.О. Борисова Ольга Александровна                                 

Работа допущена к защите «_____» _______________ 2018г.

Подпись руководителя проекта _________________(__________________)

Торжок

2018

Оглавление

Паспорт проекта        3

Индивидуальный план работы над  проектом        4

Отзыв        5

Общие сведения о языке программирования Паскаль        6

Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса        8

Решение нелинейных уравнений        10

Заключение        11

Список литературы        12

Текст публичного выступления        13

Паспорт проекта

Название проекта
Программирование решения уравнений

Руководитель проекта
Борисова Ольга Александровна

Автор проекта
Смольков Андрей Владимирович

Учебная дисциплина
Информатика

Тип проекта
Исследовательский

Цель работы
Изучить программную среду PascalABC для решения уравнений

Задачи работы

1.  Написать программу решения:

1. Системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
2. Нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

Результат проекта (продукт)
Программа в среде программирования PascalABC

Индивидуальный план работы над  проектом

Отзыв

на исследовательскую работу  

учащегося 9 б класса МБОУ «Гимназия №7» г. Торжка

Смольков Андрей Владимирович

по теме: «Программирование решения уравнений»

Работа Смолькова Андрея представляет собой исследование программирование решения уравнений. Актуальность работы заключается в том, что на данный  момент учащиеся 9-х классов изучают язык программирования Паскаль, и возникла необходимость объединить математику и информатику в единый программный продукт. В работе важно разобраться с различными методами решения уравнений и написать программу. Содержание работы соответствует заявленной теме. Работа включает в себя основную часть, заключение, список литературы. Работу Андрей выполнял самостоятельно, используя материалы Интернета и литературы. При выполнения работы Андрей проявил: самостоятельность, способность решать соответствующие проблемы. Не выполнял все рекомендации научного руководителя и не вовремя устранял замечания. Замечания по данной работе значительные, необходимо продумать и доработать заключение по данной теме. Не достаточно теоретического материала по языку программирования и их разновидности.

Вывод: проектная работа Смолькова А.В. по теме:  «Программирование решения уравнений» достигла  поставленных целей,  отвечает требованиям, предъявляемым к индивидуальному итоговому проекту и рекомендуется к защите.

Учитель информатики                     .......................................             Борисова О.А.              

                   (предмет)                                     (подпись)                     (расшифровка подписи)

«__»_____________ 2018 г.

Общие сведения о языке программирования Паскаль

Языки программирования - это формальные языки, предназначенные для записи алгоритмов, исполнителем которых будет компьютер. Записи алгоритмов на языках программирования называются программами. Существует несколько тысяч языков программирования. Для данного проекта выбран язык программирования Паскаль, который был разработан в 70-х годах прошлого века Никлаусом Виртом (Швейцария). свое название этот язык получил в честь французского ученого Блеза Паскаля, известного не только своими достижениями в математике, физике и философии, но и созданием первой в мире механической машины, выполнявшей сложение двух чисел.

Язык Паскаль считается универсальным языком программирования, так как он может применяться для записи алгоритмов решения самых разных задач ( вычислительных, обработки текстов, построения графических изображений, поиска информации и т.д.). Он поддерживает процедурный стиль программирования, в соответствии с которым программа представляет собой последовательность операторов, задающих те или иные действия.  

Основой языка программирования Паскаль, как и любого другого языка, является алфавит - набор допустимых символов, которые можно использовать для записи программы. Это:

• латинские прописные буквы;
• латинские строчные буквы;
• арабские цифры;
• специальные символы (знак подчеркивания, знаки препинания, круглые, квадратные и фигурные скобки, знаки арифметических операций и д.р.)

В языке существует также некоторое количество различных цепочек символов, рассматриваемых как единые смысловые элементы с фиксированным значением. Такие цепочки символов называются служебными словами.

В программе, записанной на языке Паскаль, можно выделить:

1. заголовок программы;
2. блок описания используемых данных;
3. блок описания действий по преобразованию данных (программный блок).

Заголовок программы состоит из служебного слова program и имени программы. После имени программы ставятся точка с запятой. Блок описания данных состоит из раздела описания констант (const), раздела описания переменных (var) и некоторых других разделов. В разделе описания переменных указываются имена используемых в программе переменных и их типы. Имена переменных одного типа перечисляются через запятую, затем после двоеточия указывается их тип; описание каждого типа заканчивается точкой с запятой.

Общий вид программы:

program <имя программы>;

  const <список постоянных значений>;

  var <описание используемых переменных>;

begin <начало программного блока>

   <оператор 1>;

   <оператор 2>;

          . . .

  <оператор n>

end.

Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

В переменную n вводится порядок матрицы системы. С помощью вспомогательной процедуры Input вводятся двумерный массив A и одномерный массив b, после чего оба массива и переменная n передаются функции Gauss. В функции Gauss для каждого k-го шага вычислений выполняется поиск максимального элемента в k-м столбце матрицы начиная с k-й строки. Номер строки, содержащей максимальный элемент сохраняется в переменной l. В том случае если максимальный элемент находится не в k-й строке, строки с номерами k и l меняются местами. Если же все эти элементы равны нулю, то происходит прекращение выполнения функции Gauss c результатом false. После выбора строки выполняется преобразование матрицы по методу Гаусса.

Решение нелинейных уравнений

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня заданной функции.

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Точность е. Выбираем грубое приближение корня х0. Найдем значение функции точке х0 и проведем касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х1. Определим значение функции в точке х1, через эту точку проводим касательную и получаем точку х2. Повторим этот процесс n раз.

К сожалению, при всех своих достоинствах метод Ньютона не гарантирует сходимости. Отсутствия решения может возникнуть по нескольким причинам. Например, это может произойти из-за того, что касательная будет параллельна оси абсцисс. В этом случаи необходимо предусмотреть выход из цикла при достижении большого количества итераций.

Существуют также и другие методы, например, золотого сечения. Какой из них использовать решать вам, однако следует отметить, что наиболее быстродейственным считается метод Ньютона, затем метод хорд и последним по быстродействию является метод половинного деления. Хотя количество итераций напрямую зависит от введенных начальных данных. При удачном стечении обстоятельств решение каждым из методов может быть найдено даже при единственной итерации.

Заключение

Практически перед каждым программистом рано или поздно встает задача определения корней уравнения. На сегодняшний день существует достаточно много алгоритмов решения данной задачи. Все они могут быть разделены на два этапа: отделения и уточнения корней. Первую часть легко выполнить графическим методом. Для выполнения второго этапа решения уравнения можно воспользоваться одним из многих методов уточнения корней уравнения.

Язык программирования Паскаль является универсальным языком программирования. В нем можно выполнить самые различные решения уравнений. Язык достаточно прост и понятен для начинающих программистов.

Список литературы

1. Босова Л.Л. Информатика: учебник для 8 класса/ Л.Л. босова, А.Ю. Босова.-3-е изд.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. - 160с.:ил.
2. http://www.cyberforum.ru
3. http://tpdn.ru/library/articles/52/13520
4. http://pcfu.ru/metod-gaussa-dlya-resheniya-slau

Текст публичного выступления

Здравствуйте уважаемые члены комиссии. Я Смольков Андрей, ученик 9Б класса МБОУ "Гимназии №7" города Торжка. Разрешите представить свой исследовательский проект по теме "Программирование решения уравнений". Языки программирования - это формальные языки, предназначенные для записи алгоритмов, исполнителем которых будет компьютер. Записи алгоритмов на языках программирования называются программами. Существует несколько тысяч языков программирования. Для данного проекта выбран язык программирования Паскаль, который был разработан в 70-х годах прошлого века Никлаусом Виртом (Швейцария). Свое название этот язык получил в честь французского ученого Блеза Паскаля, известного не только своими достижениями в математике, физике и философии, но и созданием первой в мире механической машины, выполнявшей сложение двух чисел. Язык Паскаль считается универсальным языком программирования, так как он может применяться для записи алгоритмов решения самых разных задач ( вычислительных, обработки текстов, построения графических изображений, поиска информации и т.д.). Он поддерживает процедурный стиль программирования, в соответствии с которым программа представляет собой последовательность операторов, задающих те или иные действия.  Основой языка программирования Паскаль, как и любого другого языка, является алфавит - набор допустимых символов, которые можно использовать для записи программы. Это: латинские прописные буквы; латинские строчные буквы; арабские цифры; специальные символы (знак подчеркивания, знаки препинания, круглые, квадратные и фигурные скобки, знаки арифметических операций и д.р.). В языке существует также некоторое количество различных цепочек символов, рассматриваемых как единые смысловые элементы с фиксированным значением. Такие цепочки символов называются служебными словами. В программе, записанной на языке Паскаль, можно выделить: заголовок программы; блок описания используемых данных; блок описания действий по преобразованию данных (программный блок). Заголовок программы состоит из служебного слова program и имени программы. После имени программы ставятся точка с запятой. Блок описания данных состоит из раздела описания констант (const), раздела описания переменных (var) и некоторых других разделов. В разделе описания переменных указываются имена используемых в программе переменных и их типы. Имена переменных одного типа перечисляются через запятую, затем после двоеточия указывается их тип; описание каждого типа заканчивается точкой с запятой. Общий вид программы:

program <имя программы>;

  const <список постоянных значений>;

  var <описание используемых переменных>;

begin <начало программного блока>

   <оператор 1>;

   <оператор 2>;

          . . .

  <оператор n>

end.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. На данных слайдах представлен программный продукт реализации решения уравнения методом Гаусса в Паскале. Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня заданной функции. Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Точность е. Выбираем грубое приближение корня х0. Найдем значение функции точке х0 и проведем касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х1. Определим значение функции в точке х1, через эту точку проводим касательную и получаем точку х2. Повторим этот процесс n раз. Программа на слайде. К сожалению, при всех своих достоинствах метод Ньютона не гарантирует сходимости. Отсутствия решения может возникнуть по нескольким причинам. Например, это может произойти из-за того, что касательная будет параллельна оси абсцисс. В этом случаи необходимо предусмотреть выход из цикла при достижении большого количества итераций. Практически перед каждым программистом рано или поздно встает задача определения корней уравнения. На сегодняшний день существует достаточно много алгоритмов решения данной задачи. Все они могут быть разделены на два этапа: отделения и уточнения корней. Первую часть легко выполнить графическим методом. Для выполнения второго этапа решения уравнения можно воспользоваться одним из многих методов уточнения корней уравнения.