«Леонард Эйлер – ученый, математик, мой современник»

Государственное  бюджетное  общеобразовательное  учреждение

лицей №395  Красносельского  района  Санкт-Петербурга

(ГБОУ лицей № 395 Санкт- Петербурга)

пр. Ветеранов, д. 135, литер А, Санкт-Петербург, 198264

тел.-факс: (812) 744-00-47; (812) 744-01-75, licei395spb@mail.ru

Городской конкурс исследовательских работ

«Мир в зеркале культуры»

Номинация: «Исследование по учебному предмету – математика»

Исследовательская проблемно-реферативная работа

«Леонард Эйлер – ученый, математик, мой современник»

Автор:

Вялов Константин, 9в класс, 2002 г. р.

Руководитель:

Первушкина Ирина Михайловна,

учитель математики  ГБОУ лицея № 395

конт. телефон: +7(911)145-40-28,

 ira287@mail.ru

2017 – 2018 учебный год

Оглавление

                                                                                                              стр.

1. Введение  ………………………………………………………………… 3                                                                                                                                            

2. Основная часть…………………………………………………………… 5

     2.1. Биография…………………………………………………………….5

     2.2. Анализ трудов Эйлера……………………………………………… 13

3. Заключение   …………………………………………………………….. .18                                                                                  

4. Список литературы ……………………………………………………….20

5. Приложения……………………………………………………………... ..21                                                                      

Введение

“Миллионы людей видели, как падают яблоки, но только Ньютон спросил почему”
Бернард Барух

Земля. Каждый новый день в течение уже многих тысячелетий любой человек, живущий, живший ранее или даже будущий житель этой планеты, в любые времена существует наравне с другими семью миллиардами себе подобных. И имена многих людей прошлых веков и даже тысячелетий до сих пор остаются у нас на устах. Таких людей не так уж и много, если сравнивать их число с численностью всего человечества за прожитые года, но, тем не менее, они все же есть, и мы все о них помним. Чем же они заслужили такую честь? Ответ прост: некоторые из них были выдающимися деятелями истории, направлявшими ее путь вплоть до наших с Вами времен, а другие были «двигающей силой» развития всевозможных наук. Согласно мнению масс, а также многих аналитиков, достижения таких людей считаются достижениями их Отчизны, ведь именно она окружала и дарила им творческие силы на пути к новым открытиям.

Ныне идет 2018 год – год 315-летия Санкт-Петербурга – места, где я родился, где я по сей день живу и развиваюсь. Санкт-Петербург подарил миру множество талантливых выдающихся личностей. Это великие ученые, музыканты, поэты, писатели, медики, инженеры, артисты. Это люди, которые внесли огромный вклад в развитие города, науки и культуры. Их достижения имеют огромное значение для нашей страны и известны всему миру. На протяжении более трехсот лет Санкт-Петербург являлся столицей российского государства. Возможно именно невские берега, невский воздух дарят творческие силы и вдохновение, благодаря уникальной атмосфере, царящей в Петербурге и живописным панорамам. Для многих Северная столица стала второй родиной, вторым домом. Санкт-Петербург – поистине город гениев. Выдающиеся личности Петербурга – это, прежде всего люди, ставшие для нас примером, как нужно жить, работать, относиться к своему труду и к труду других людей. Их имена навсегда вписаны и в историю города, и в историю всего мира. И ведь действительно, кто не знает всемирно известных  ученых М. В. Ломоносова, Д. И. Менделеева, И. П. Павлова,  И.И. Мечникова и музыканта П. И. Чайковского?  А ведь это лишь малая доля тех выдающихся людей, которых “взрастил” Петербург.

Моя работа посвящена одному из “двигателей” математики, физики, механики, астрономии и многих прикладных наук, человеку, за достижения которого «борются» три государства. И в ней я задаюсь вопросом: «Можно ли поставить Леонардо Эйлера, швейцарца по происхождению, рожденного в Швейцарском городке, расположенном на границе с Германией, прожившего в России более 30 лет, крупнейшего учёного XVIII, который в области математики справедливо может быть назван «веком Эйлера», в ряд великих русский ученых?» 

Цель работы: познакомиться с творческой биографией Леонарда Эйлера и, сделав анализ его трудов, оценить внесенный им вклад в науку. На основе субъективной оценки его творческой деятельности приблизиться к ответу на вопрос, послуживший началом и основой данной работы: “Возможно ли в наше время обойтись без трудов Эйлера?”

Задачи: изучить научно-популярную и специальную литературу по теме исследования; проанализировать  вклад ученого в различные отрасли науки; выявить значимость основных задач, решенных Леонардом Эйлером; проследить наследие трудов Эйлера в школьном курсе математики.

Методы исследования: анализ математической литературы и ресурсов Интернета по данной теме; репродуктивное воспроизведение изученного материала; познавательно - поисковая деятельность; анализ и сравнение данных в поиске материала; сравнение и обобщение математических фактов;

- анализ полученных результатов.

Краткий обзор использованной литературы. Прочитав книгу “Леонард Эйлер” А. Я. Яковлева, я  узнал много интересных фактов о жизни и научной деятельности Леонарда Эйлера, изложенных и систематизированных в понятной и доступной форме. Информацию о работе с простыми числами я узнал, прочитав книгу «За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия» авторов  Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. На страницах Википедии «Эйлер, Леонард» я узнал  биографию ученого и некоторые задачи, решенные им. Информацию о геометрических задачах Эйлера я нашел в книге Левитина К. «Геометрическая рапсодия», где очень красиво описывается знаменитая формула Эйлера для  многогранников. Некоторые задачи, формулы Эйлера, теоретические факты я рассмотрел из учебников  «Алгебра и  начала математического анализа. 10 класс», «Геометрия 7 – 9». В книге Кордемского Б.А. «Великие жизни в математике» содержатся обоснования идей Эйлера. Используя источники интернет (указанные в списке литературы) я узнал о времени, в котором жил ученый и о тех людях, которые его окружали на протяжении его жизни.

Основная часть

Биография

Читая научно-популярную  литературу при изучении данной личности, я столкнулся с делением его биографии на четыре условных периода, которое сохранил в своей работе.

Швейцария (1707—1727)

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье пастора Пауля Эйлера и Маргариты Эйлер. Начальное обучение будущий ученый получил дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Мальчик увлекся математикой, стал задавать отцу вопросы один сложнее другого. К 1720 году 13-летний Леонард стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонарда по иному пути. В этом же университете его заприметил Иоганн Бернулли, считавшийся на то время первым математиком мира. Ученый понял, что нелепо готовить Леонарда в пасторы и предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное.

         В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли - Николаем и Даниилом, также увлеченно занимавшимися математикой. В те годы во всей Западной Европе спрос на ученых был невелик, так что ни Эйлер, ни его друзья братья Бернулли не могли найти приложения своим силам. Однако у братьев было достаточно известное ученым Европы имя, служившее им лучшей рекомендацией,- и вскоре обоих пригласили во вновь создаваемую в Петербурге Академию наук. «Я возымел неописуемое желание,- пишет Эйлер в автобиографии,- отправиться вместе с ними в 1725 г. в Петербург. Однако дело не могло быть тогда осуществлено. Младшие Бернулли дали мне твердое заверение, что после их приезда в Петербург выхлопочут мне там подходящее место; это и в действительности затем последовало». [4]

Первой серьезной работой Эйлера было сочинение для конкурса на оптимальное решение задачи о количестве, высоте и расположении мачт на корабле морского флота. Французские академики тщательно проверили сочинение юноши и дали на него почетный отзыв, которого удостаивались немногие. "Я не видел необходимости проверять разработанную мной теорию экспериментом,- писал впоследствии автор, который до того действительно никогда не видел моря. - Эта теория полностью выведена из неоспоримых принципов механики. Не может возникнуть и тени сомнения в справедливости теории и применимости ее к практике". [8]

В начале зимы 1726 г. Эйлеру сообщили из Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашен на должность адъюнкта по физиологии. Путь в далекий Петербург представлялся Эйлеру чуть ли не путешествием на край света. Когда уезжали в Петербург братья Бернулли, их предостерегали: там холодно, там "живут дикари". Но Иоганн Бернулли рассеял все сомнения: "Лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз, - заметил он, - чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз презирают и обижают". 5 апреля 1727 г. он навсегда покидает Швейцарию.

Россия (1727—1741)

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург 24 мая 1727 года. Ему помогли освоиться на новом месте земляки-базельцы: академики Даниил Бернулли и Якоб Герман; последний, являвшийся профессором по кафедре высшей математики. Эйлера сделали адъюнктом высшей математики (а не физиологии, как первоначально планировалось), хотя он в Петербурге проводил исследования в области гидродинамики биологических жидкостей.  Ко всеобщему удивлению, он уже в следующем по приезде году стал бегло говорить по-русски. В 1728 году началась публикация первого русского научного журнала «Комментарии Петербургской Академии наук». Уже второй том содержал три статьи Эйлера, и в последующие годы практически каждый выпуск академического ежегодника включал несколько новых его работ. Всего в этом издании было опубликовано более 400 статей Эйлера. 22 января 1731 Эйлер получил официальную должность профессора.

  Работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ.

Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически», изданное в 1736 году, принесло Эйлеру общеевропейскую известность. В этой монографии Эйлер с успехом применил методы математического анализа к общему решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. [4]

В 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и императором был объявлен малолетний Иоанн VI. «Предвиделось нечто опасное, — писал позднее Эйлер в автобиографии. — После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве… положение начало представляться неуверенным». Эйлер подал руководству Петербургской академии прошение об отставке. 29 мая 1741 года разрешение Академии было получено. Эйлер был «отпущен» и утверждён почётным членом Академии. [8]

Пруссия (1741-1766)

В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почетным членом Петербургской Академии. Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов; приобретал для Петербурга книги и инструменты. Эйлеру посылались на отзыв письменные работы, так как с его отъездом в Петербурге не осталось крупных специалистов по математике.

Однако - бывают же на свете чудеса!- тщеславный и завистливый Иоганн Бернулли, который не терпел превосходства более талантливого, но рано умершего брата Якоба и который боялся соперничества собственного сына,- великий Иоганн Бернулли преклоняется перед своим учеником Леонардом Эйлером! Свидетельство тому - двадцатилетняя переписка Бернулли с Эйлером. Проследим, хотя бы, как менялся стиль первых строк посланий Бернулли.

Сначала (1728 г.) - отечески благожелательно: "Высокоученому и изобретательному юному мужу..."  Через год - "Широко известному ученому..."  Еще через несколько лет, когда Эйлер легко, как бы играючи, получил некоторые результаты, над которыми Тщетно бился Бернулли (например, нашел сумму ряда), в письмах появляется превосходная степень.

1737 год: "Широко известному и весьма проницательному математику..."

Наконец в последних письмах, относящихся к 1745 г.: "Несравненному Л. Эйлеру, главе математиков..." В 1742 г. вышло четырехтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый ученый писал своему ученику: "Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь ее становление в зрелости".

Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходят его научные работы колоссальной важности: "Введение в анализ бесконечных" (1748), "Морская наука" (1749), "Теория движения Луны" (1753), "Наставление по дифференциальному исчислению" (1755) - не  говоря  уже  о десятках статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий.

А теперь вернусь вновь к происходящему в Берлине.

В 1756 г. здоровье Мопертюи резко ухудшилось и он опять отправился в отпуск на родину - чтобы больше не вернуться. Эйлер вновь фактически возглавил Академию, но президентом так и не был утвержден. После смерти Мопертюи  Эйлер продолжал руководить Берлинской Академией. Однако шел четвертый год войны. Новых членов в Академию не принимали, старые постепенно выбывали. Несмотря на увеличение объема организационной работы, Эйлер не снижает научной продуктивности. В 1760-1761 гг. он пишет упомянутые выше "Письма к немецкой принцессе" - свыше 200 "Писем", содержавших всю известную тогда физику в популярном изложении, а также критику лейбницевского "учения о монадах". В это же время Эйлер создает свою "Динамику твердого тела" (1760, издана в 1765 г. в Росток) и готовит к печати трехтомное "Интегральное исчисление", которое было опубликовано уже после возвращения его в Россию.

В 1757 г. Эйлер впервые в истории нашел формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения. Почти сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитывать прочность железнодорожных мостов. Профессор Лондонского университета, известный английский инженер И. Ходжкинсон провел многочисленные эксперименты по определению возможной нагрузки стержней при сжатии - и критическая нагрузка оказалась раз в десять меньше, чем получалось по формулам Эйлера. "Значит, великий Эйлер ошибался?!"- все громче и громче восклицали скептики. Но еще полвека спустя выяснилось, что Ходжкинсон проводил эксперименты с очень короткими стержнями, в которых важную разрушающую роль играют пластические свойства (а не только упругие, которые, собственно, и рассматривал Эйлер).    После этого модель Эйлера была реабилитирована и принесла практическую пользу; одновременно были установлены и границы применения формул, выведенных Эйлером.

В 1762 г. на русский престол вступила Екатерина II, которая осуществляла политику "просвещенного абсолютизма". Императрица приказала предложить Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание конференц-секретаря Академии , его сыну Иоганну Альбрехту - звание академика. "А если не понравится,- говорилось в письме,- благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург".

Снова Россия (1766—1783)

Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей. Екатерина осыпала ученого милостями: пожаловала деньги на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

Еще в начале 1766 г. Екатерина приказала "уведомить г. Эйлера, что до его приезда я не предпринимаю никаких перемен в Академии... чтобы лучше уговориться с ним об улучшениях". В последующие месяцы состоялось несколько длительных бесед Эйлера с императрицей. Все условия, обещанные Эйлеру, были выполнены.

После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза - и он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Приехавший с ним из Берлина мальчик-портной, понятия не имевший о математике, писал под его диктовку по-немецки, и Эйлер очень быстро продиктовал ему свои "Элементы алгебры", которые были сразу же переведены П. Иноходцевым и И. Юдиным на русский и вышли в двух томах в 1768 и 1769 гг. под названием "Универсальная арифметика". В следующем году был напечатан немецкий оригинал ("Anleitung zur Algebra"). Это руководство выдержало три десятка изданий на 6 языках; "в этом совсем элементарном курсе царит дух открытий" (Н. Н. Лузин), а "отбор материала, его расположение и метод изложения оказали решающее влияние на преподавание алгебры в средних школах всего мира" (А. П. Юшкевич).  [10]

Эйлер в силу своего воспитания был верующим человеком. Однако свою веру он строго отделял от научной деятельности и в своей философии стоял на позициях вульгарного материализма, не пытаясь примирить эти противоположные точки зрения. "Чем меньше вмешивать бога и божественные силы в дела мирские, в том числе в науку, тем лучше и для науки, и для авторитета бога",- считал Эйлер. А в вопросах познаваемости мира и его закономерностей он явно придерживался материалистических взглядов.

С развитием торговли и мореплавания особенно актуальным стало решение важной практической задачи: определение местоположения корабля в открытом море. Географическую широту определить довольно легко: днем - по высоте Солнца, ночью - по высоте Полярной звезды над горизонтом. Нужны лишь хорошие угломерные инструменты, да умение выполнять несложные расчеты, облегчаемые наличием таблиц. Чтобы определить долготу, следовало сравнить местное время (определяемое по Солнцу или по звездам) с местным временем пункта, долгота которого известна, Но пока не было достаточно точных хронометров, чуть ли ни единственным способом определения времени в открытом море было наблюдение положения Луны. А для этого необходимо было хорошо знать закономерности сложного движения Луны среди звезд.

Еще в начале XVIII в. английский парламент по предложению Ньютона выделил огромную по тем временам сумму - 20 000 фунтов стерлингов в качестве премии за решение проблемы определения долготы,- ну, хотя бы, с точностью до полградуса, что соответствует определению положения в море с точностью до нескольких десятков километров.

Определение видимого положения Луны требовало знания законов ее движения под действием притяжения Земли и Солнца. Эту сложнейшую "задачу трех тел" решали в середине XVIII в. Эйлер, Д'Аламбер и Клеро - каждый на свой лад. Решение Эйлера - наиболее удобное для практического применения - было использовано геттингенским математиком Т. Майером, который и составил знаменитые лунные таблицы, пригодные для использования мореплавателями. Часть премии английского парламента была присуждена Т. Майеру. Эйлеру также была выделена часть премии за теоретическую часть работы. [7]

В 1771 г. в жизни Эйлера произошли два серьезных события.

В мае в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти все имущество Эйлера. Самого ученого с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Правда, почти все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть "Новой теории движения Луны", но Иоганн Альбрехт с помощью отца, сохранившего до глубокой старости феноменальную память, быстро написал ее заново. Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо. Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной.

В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Вентцель, который согласился сделать Эйлеру операцию - и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились было наблюдать 9 местных светил медицины. Но вся операция заняла 3 минуты - и Эйлер снова стал видеть! Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Но разве мог Эйлер "не вычислять"? Уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно. Однако, как ни странно, отнесся он к событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе, кстати сказать, вполне разборчиво, ибо кое-как мог отличать белый цвет от черного. Его сын Иоганн Альбрехт переносил записи в толстую книгу, сохранившуюся до наших дней.

В последние годы жизни ученый продолжал усердно работать, пользуясь для чтения "глазами старшего сына" и ряда своих учеников: Н. Фусса, М. Головина (племянника М. В. Ломоносова), Ф. Шуберта и других. Существенную помощь, особенно в области разработки физических и астрономических приложений математики, оказывали В. Крафт и А. Лексель.

По образному выражению французского ученого Кондорсе, "Эйлер перестал жить и вычислять". Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: "Леонарду Эйлеру - Петербургская Академия". В 1956 г. прах Эйлера перенесли в Ленинградский некрополь.

Анализ  актуальности его работ в современном мире

Так как Леонард был весьма разносторонним ученым, то перечислить все его труды из всех областей наук, которым он подарил свои работы, будет попросту невозможно, поэтому я акцентирую свое внимание именно на его математической деятельности. И затрону я, пожалуй, с тех областей, на которые обращают внимание и другие великие ученые.  «Нет учёного, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Достаточно открыть 48-й том второго издания БСЭ на страницах 338-340, чтобы найти сведения о двадцати формулах, уравнениях, интегралов и т. д., носящих имя Эйлера. В учебниках для высшей школы их ещё больше, а многие введённые им в обиход теоремы и методы давно перестали связывать с чьим-либо именем. Даже в средней школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру», - писал академик Б. Н. Делонэ.  [8]

Великий Гаусс указывал, что изучение трудов Эйлера всегда будет лучшим средством для познания математики. «Он общий учитель», - говорил о нем другой великий ученый Лаплас.  Именно эти высказывания и побудили меня рассмотреть “задачи”, решения которых принадлежат Эйлеру.

1. Параллелограмм и треугольник

Из школьного курса геометрии известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Эйлер доказал, что в четырехугольнике, не являющемся параллелограммом, вторая сумма всегда больше первой.

2.  Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке; эта точка Н называется ортоцентром треугольника. Назовем середины отрезков высот треугольника от ортоцентра до каждой из вершин (т.е. точки К, Q, Р) точками Эйлера. [1]. (Приложение 1)
3. В 1765 г, в "Трудах" Петербургской Академии была опубликована теорема Эйлера: Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот треугольника от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности. [3]
4. Эта окружность называется окружностью девяти точек или - окружностью Эйлера. Радиус ее равен половине радиуса окружности, описанной около этого треугольника.
5. В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. При этом центр девяти точек лежит посередине между центром пересечения высот и центром описанной окружности. Центр окружности Эйлера О лежит на этой прямой как раз посредине между ортоцентром и центром описанной окружности. Пусть дан треугольник АВС, где R – радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности. Тогда расстояние между центрами вписанной и описанной окружности равно d2 = R2 – 2Rr.  Эта формула называется формулой Эйлера.  [7]
6. Теорема Эйлера для многогранников впервые была опубликована в журнале Петербургской Академии наук в 1752 г. Эта теорема устанавливает связь между числом вершин, ребер и граней для выпуклого многогранника. Теорема имеет следующую формулировку: «Пусть В – число вершин выпуклого многогранника, Р – число его ребер и Г – число граней. Тогда верно равенство: В – Р + Г = Х». Число Х называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2.  [5]   Рис. 2 (Приложение 2)
7. Задачи по теории простых чисел. Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна – числа вида Мр=2р-1. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук. Так как М2=22-1=3 т.е. М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это – простые числа Мерсенна. До 1750 года было найдено всего 7 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19 . То что М31 = 231 – 1 = 2147 438 647 – простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. «До сих пор математики тщетно пытались обнаружить в последовательности простых чисел какой-либо порядок, и мы имеем все основания верить, что здесь существует какая-то тайна, в которую человеческий ум никогда не проникнет» - писал  Л.Эйлер.  [2]
8. Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Круги Эйлера часто используются в математике, логике, информатике и других науках. Впервые Леонард Эйлер использовал их в письмах к немецкой принцессе, он писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить размышления». При решении многих задач Леонард Эйлер использовал круги, которые в дальнейшем получили название «круги Эйлера». Позднее такой же прием использовал ученый Венн и такие круги стали называть кругами Эйлера-Венна.

Задача. В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; одним лишь хоккеем 17 - (4 + z + 5) = 8 - z; одним лишь футболом

18 - (3 + z + 5) = 10 - z. Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам: 3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,z = 2. Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта. Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Ответ: Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека. Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

9. Теория комплексных чисел. Числа - один из самых основных математических объектов. Нам знакомы натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа. Понятие числа развивалось и менялось на протяжении всей истории  человечества. Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа. Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = - 1. Именно это обозначение предложил в XVIII веке Леонард Эйлер.   Леонард Эйлер много работал над теорией комплексных чисел, которые мы можем использовать сейчас при изучении алгебры и начал анализа. Например, английский математик А. Муавр в 1707 г. доказал теорему и вывел формулу для записи комплексного числа в тригонометрической форме  (p(cos α + i sin α))n = pn(cos nα +i sin nα), nϵN, а Эйлер предложил формулу (cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα, nϵN. [6]
10. Мосты Эйлера. Теория Графов. Во время одного путешествия Эйлеру была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге (ныне город Калининград) и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Вот отрывок из письма Эйлера от 13 марта 1738 года: «Мне была предложена задача об острове в городе Кенигсберге (ныне город Калининград) и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, пройдя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос это, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном  доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может». Эйлер решил эту знаменитую сейчас задачу и вывел правило, с помощью которого можно решить все задачи такого рода.  [5]

Задача Эйлера. Река, огибающая остров делится на два рукава, через которые переброшено семь мостов. Можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу?            

Эйлер придумал геометрическую иллюстрацию к этой задаче и решил ее, создав целый раздел математики, называемый теорией графов. Рис 3. (Приложение 3).  На модели земельные участки, разъединенные рукавами на точки A, B, C, D – вершины (узлы), а мосты как бы вытянуты в линии a, b, c, d, e, f, g – ветви (или ребра), соединяющими два последовательных узла. Узел назовем четным, если в нем сходится четное число концов ветвей, и нечетным, если в нем сходится нечетное число концов ветвей. Образовавшаяся фигура называется сетью (или графом). ГРАФ – от греческого слова «графо» - пишу.

Это только малая часть его открытий и при этом наиболее простая и понятная ученикам старшей школы. Также его пиру принадлежат такие тематические работы как: непрерывные дроби, теория вероятностей, математический анализ и специальные функции,

дифференциальные уравнения, основы вариационного исчисления и многие др.

Помимо уже описанных выше результатов его математической деятельности необходимо упомянуть и о других его достижениях

1. Эйлеру принадлежит ряд важных работ по прикладным наукам. Среди них первое место занимает теория корабля. Вопросы плавучести, остойчивости корабля и других его мореходных качеств были разработаны Эйлером в его двухтомной Корабельной науке (1749), а некоторые вопросы строительной механики корабля – в последующих работах. Более доступное изложение теории корабля он дал в Полной теории строения и вождения кораблей (1773), которая использовалась в качестве практического руководства не только в России.
2. Замечательны многочисленные работы Эйлера по небесной механике, среди которых наиболее известна его Новая теория движения Луны (1772), существенно продвинувшая важнейший для мореходства того времени раздел небесной механики.
3. Много работ Эйлера посвящено различным вопросам физики, главным образом геометрической оптике. Особого упоминания заслуживают изданные Эйлером три тома Писем к немецкой принцессе о разных предметах физики и философии(1768–1772), выдержавшие впоследствии около 40 изданий на девяти европейских языках. Эти «Письма» были своего рода учебным руководством по основам науки того времени, хотя собственно философская сторона их и не соответствовала духу эпохи Просвещения.
4. Надо отметить особое значение Эйлера для Петербургской Академии наук, с которой он был тесно связан на протяжении свыше полувека. «Вместе с Петром I и Ломоносовым, – писал академик С.И.Вавилов, – Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктивность». Можно добавить еще, что дела Петербургской академии велись в течение почти целого века под руководством потомков и учеников Эйлера: непременными секретарями Академии с 1769 до 1855 были последовательно его сын, зять сына и правнук.

Заключение

Леонард Эйлер – гений, научная деятельность которого стала достоянием человечества. Он был, прежде всего, математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Леонард Эйлер – самый продуктивный математик в истории, автор более чем  800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки. Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. Леонард Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа. Имя Эйлера дорого всему прогрессивному человечеству, которое чтит в нём одного из величайших геометров мира. В качестве члена Петербургской и Берлинской Академий наук Эйлер содействовал развитию математических наук в обеих странах и распространению в них физико-математических знаний. Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.

С самого начала пребывания в Петербурге Эйлер сумел сочетать теоретические исследования с практической деятельностью, связанной с актуальными задачами, стоящими перед русской наукой. Никогда при этом он не смотрел на свой переезд в Россию как на временную гастроль. Он жил одной жизнью с академией, разделял её интересы, откликался на задачи, которые ставила перед ним страна, ставшая ему теперь второй родиной.

Эйлер отличался феноменальной трудоспособностью, это был человек, одержимый стремлением к труду, к творчеству. При этом надо учесть, что вторую половину жизни ученый работал, будучи слепым. Из-за потери зрения он не смог, подобно многим ученым, ставить наглядные опыты. Он ставил мысленные эксперименты, прокручивая их в своем мозгу и описывая результаты короткими, емкими строчками математических уравнений. Эйлеру принадлежит около девятисот работ. Главным его занятием была математика. В ней Эйлер добился наибольших успехов, поэтому математики, которые лучше других понимали значение его вклада в математическую науку, называли XVIII век «веком Эйлера».

Я считаю, что Леонард Эйлера можно поставить в один ряд с самыми великими русскими математиками и даже сейчас в век инноваций и новейших информационных технологий нельзя обойтись без открытий Леонарда Эйлера.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.  Геометрия, 7 – 9: Учеб.для общеобразоват. уч. – М.: Просвещение, 2013
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф.  За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. для учащихся 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение: АО «Учеб.лит.» 1996.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся сред.шк.- М.: Просвещение, 1989.
4. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Кн. Для учащихся 8-11 кл. – М.: Просвещение, 1995
5. Левитин К. Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984
6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014 г.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся сред. шк. – М.: Просвещение, 1990.
8. https://ru.wikipedia.org/wiki/Эйлер,_Леонард
9. http:| rusimper.narod.ru/sunse/kvant/info/r/kmsh/htm.
10. http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000010/index.shtml

Приложение 1.

Рис. 1

Приложение 2.

 Рис. 2

Приложение 3.

Рис. 3