Исследовательская работа на тему: "В мире процентов"

Пятая районная научно-практическая конференция обучающихся общеобразовательных школ  «Шаги в науку-2013»

Секция №16

Математика

Вид работы: исследовательская

Тема:

«В мире процентов»

Автор работы: Иванов Александр,  учащаяся 9 класса

Образовательное учреждение: муниципальное  казенное общеобразовательное учреждение «Липковская основная общеобразовательная школа № 3» администрации муниципального образования Киреевский район

Адрес ОУ: 301264, РФ Тульская область, город Липки, улица Лермонтова, 23

Контактные телефон: 8(48754)45402

Руководители работы: Васильева Светлана Григорьевна, учитель математики МКОУ «Липковская основная общеобразовательная школа № 3»

Контактный телефон: (8) 950-919-88-58

2012 – 2013 учебный год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………………………………………………………….3

Глава I. Понятие процента. Из истории развития процента……………………………...5

Глава II . Основные типы задач на проценты.  Роль процентов в школьных предметах.

……………………………………………………………………………………………….6

Глава III. Применение процентных расчетов в семейном бюджете

3.1. Задача на расчет потребительского кредита………………………………………… 8

3.2. Задача на выбор фирмы для покупки…………………………………………………7

3.3. Вклад Ренессанс Доходный……………………………………………………………7

Глава IV.Задачи на проценты в задания на ГИА

4.1. Задачи о госбюджете и акциях………………………………………………………...11

4.2. Задачи о банковских вкладах и покупках……………………………………………..12

4.3. Задача под рубрикой «сад, огород»……………………………………………………14

Глава V Задачи на проценты в задания на ЕГЭ – 2013

5.1.  Задачи на проценты из В1…………………………………………………………….15

5.2. Задачи на проценты из В13

5.2.1 Прирост населения……………………………………………………………19

5.2.2 Задачи об акциях компании…………………………………………………..19

5.2.3 Задачи на «сложные проценты» и не только……………………………….20

5.2.4 Процентное содержание, процентный раствор, концентрация, смеси и сплавы………………………………………………………………………………….........22

         5.2.5 Проценты в задачах на «продукты»………………………………………….24

Заключения…………………………………………………………………………………..25

Список используемой литературы……………………………………………...………….26

Приложение ………………………………………………………………………................27

Введение.

С того момента, как в школе мы начали подробнее знакомиться с процентами, я задался вопросом: «Так ли Велик и Удивителен мир процентов как об этом говорят?»

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как  сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Люди берут банковские кредиты и должны правильно, рассчитать процентные выплаты. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. Планирование семейного бюджета, выгодное вложение денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

     Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает формировать практические способности и решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как  экономичность, расчётливость.

Гипотеза

 Я считаю что проценты – это одно из величайших открытий в математике. Знание их и умение находить их необходимы каждому современному человеку.

Цель работы: показать широту применения процентных вычислений.

Задачи:

1. Изучить литературу по теме исследования.
2. Рассмотреть основные классы задач на проценты.
3. Показать применение понятия процента при решении реальных задач из разных сфер жизнедеятельности человека.
4. Провести исследование заданий ГИА и ЕГЭ на наличие в них задач на проценты.
5. Обобщить результаты работы.

 Предметом  исследования являются проценты, история развития процентов,  задачи на проценты.

Методы работы:

• поисковый метод с использованием энциклопедической,  научно-популярной и учебной литературы по математике, а при необходимости и по истории, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод выполнения вычислений при решении различных задач на проценты;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

Глава I. Понятие процента.  Из истории развития процента

 Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто», «на сотню», «со ста» или «за сотню».. Часто вместо слова «процент» использовали  эти словосочетания. То есть процентом называется сотая часть числа.

Проценты были известны индийцам ещё в V в. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

«Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».  От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В популярной литературе возникновение термина процент связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.  

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента

Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685г. была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.

Глава II . Основные типы задач на проценты.  Роль процентов в школьных предметах

Существует три основных типа задач на проценты:

Процент - это одна сотая часть числа. Поскольку проценты являются разновидностью дробей, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на дроби.

В простейших задачах на проценты некоторая величина "а" принимается за 100% (целое), а ее часть "b" выражается числом "р%".

Задача № 1. Как найти несколько процентов от числа "а"?

Чтобы найти несколько процентов от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь

Задача № 2. Как найти число по его проценту?

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую тому проценту, разделить на соответствующую дробь

Задача № 3. Как найти процентное соотношение двух чисел, или узнать, сколько процентов число составляет от целого числа "а"?

Чтобы узнать, сколько процентов число "b" составляет от числа "а" надо "b" разделить на "а" и результат умножить на 100%

Все типы задач мы изучили ещё в 6 классе на уроках математики. На примере решенных задач на уроках мы увидели практическое применение "Процентов" в различных сферах деятельности человека. И убедились в главном назначении процентов как универсальном способе сравнения однородных количеств. Тогда Светлана Григорьевна нам сказала: "Изучение процентов на этом не заканчивается. Со временем вы научитесь  решать задачи более сложные задачи на проценты, а ваши знания по теме будут востребованы на уроках химии, биологии и физики».

Поэтому свое исследование я решил начать с опроса некоторых учителей нашей школы. Я обратился с одним и тем же вопросом к ним:  «Можно ли при изучении предмета  обойтись без знания процентов? И так ли важны знания этой темы на уроках в школе». На что Светлана Григорьевна ответила, что требование вузов к математической подготовке с каждым годом возрастают. Экзамен по математике в любой вуз всегда содержит задачи на проценты. Уровень требований, предъявляемый к абитуриентам по данной теме, высок. На вступительных экзаменах по математике предлагаются задачи на «сплавы», «смеси», «концентрации», задачи экономического содержания, которые решаются с помощью сложных процентов.

Доценко Е. В. напомнила, что на уроках  географии с процентами мы встречались ещё в 5 классе. Нам приходилось находить зависимость части суши от воды. Теперь в 9 классе проценты используются намного обширнее: определяем численность населения, хозяйственную деятельность и многое другое.   Но на этом использование процентов в географии не ограничивается.

 Я даже не предполагал, что проценты могут быть так важны в истории. От Павла Викторовича я узнал, что  проценты в истории связаны с изучением экономического роста,  с ростом населения, социальным составом населения и с подсчётом военных потерь.

В физике знания процентов нужны, что бы рассчитать коэффициент полезного действия механизма, определить влажность воздуха, да и многое другое. В заданиях ЕГЭ по физике есть много задач, в которых нужно уметь считать проценты.

Работай по исследованию процентов я начал заниматься с прошлого года, а химию мы только начали изучать, и на тот момент  еще не столкнулся ни с одной задачей, в которой нужно было бы находить проценты. Вот Наталья Ивановна мне сказала, что еще все впереди и уметь находить проценты просто необходимо. Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, а иногда даже газообразные или твёрдые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды, т.е. усыхание. Одной из наиболее распространенных характеристик смеси является концентрация, и для её расчета нужно знать проценты.

Глава III. Применение процентных расчетов в семейном бюджете

Столкнувшись с процентами в первый раз, я вдруг понял, что они сопровождают нас повсюду – не только в школе (на уроках математики, физики, химии, биологии, географии и т.д.), но и в повседневной жизни: в магазине (особенно во время предпраздничных скидок), на работе (повышение и понижение зарплаты), в банке, в СМИ, Интернете и многом другом. Ориентироваться в мире процентов на хорошем уровне не так уж и просто

Поговорив с сестрами и мамой об использовании  ими процентов, оказалось, что они как раз и решают жизненные задачи  с использованием процентов. Мама сказала, что ей очень часто приходится иметь дело с процентными расчетами, например, когда повышается оплата коммунальных услуг, при подсчете подоходного налога на зарплату или при повышении зарплаты на несколько процентов, следит по газетам и рекламам, когда проходят сезонные распродажи, да и многое другое. Предложила мне поучаствовать с сестрами при выборе кредита на приобретение квартиры и открытия счета в банке.

Мы пересмотрели много предложений и самым выгодным, оказалось: нужно брать кредит в сбербанке и более приемлемый потребительский кредит. И еще я понял – чем на меньший срок берешь кредит, тем меньше процентов тебе придется выплачивать.  Вкладывать деньги сестра решила тоже в сбербанк. Здесь я для себя уяснил, что выгоднее вкладывать деньги на более длительный срок, так как более высокие проценты, но если деньги будет нужно взять досрочно, то процентов не получишь никаких. Кроме того, мама сказала не класть деньги в банк, который предлагает большие проценты, так как такой банк может «лопнуть» в любой момент. Я подумал и согласился с ней, так как часто можно было услышать по телевизору про обманутых вкладчиков.

Воспользовавшись информацией о расчете потребительского кредита и таблицей Excel, я произвел расчет погашения кредита на сумму 300 тысяч рублей под 15 % годовых.

Из таблицы видно, что при погашении кредита за три года переплата составит 90000 рублей, а на пять лет 135 000 рублей, т.е. на 45 000 рублей больше. Поэтому если доходы позволяют, то выгоднее брать кредит на более короткий срок.

Под новый год наша семья собралась купить через Интернет стиральную машину, пароварку и пылесос.

Мы изучили  цены  и сравнили стоимость доставки и дополнительные условия в трех фирмах и я  произвел расчеты с помощью таблицы Excel. (Программа Excel – мощный аппарат для решения многих задач в том числе и экономических. У неё огромные возможности.)

Из полученной таблицы видно, наиболее выгодные предложения у III фирмы. И к новому году мы приобрели эти товары у них.

 Вложить деньги мы посоветовали сестре на "Вклад Ренессанс Доходный", т.к.

• Выплата процентов в конце срока
• Льготные условия досрочного расторжения вкладов
• Высокие процентные ставки по вкладу
• Страховка вклада (Условия вклада представлены в приложении 1)

Глава IV.Задачи на проценты в задания на ГИА

В этом году мне предстоит сдавать экзамены за курс основной школы, поэтому я решил исследовать задания ГИА по математики о наличии заданий на проценты. Для этого я изучил имеющуюся у меня литературу для подготовки к ГИА по математике. И вот что я выяснил, оказываются, все контрольно измерительные материалы содержат задания на проценты среди текстовых задач или среди заданий  с выбором ответа. В книге «3000 заданий ГИА - 2013» их 55. Эти задачи условно можно разделить на группы:   «Делаем покупки», «Банковский вклад»,  «Кредит»,  «Оформление квитанций», семейный бюджет и др.

Я выбрал все задания на  проценты,  представленные в данной книге и создал брошюру (Приложение 2), в которую включил эти задания и решение  некоторых задач разного типа. Вот некоторые из них:

Задача № 1. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Вова, равен 54 кг. Вес Вовы составляет 135% среднего веса. Сколько килограммов весит Вова?

Решение:

I способ.

Пусть Вова весит Х кг, тогда

54 кг – 100%

Х кг – 135 %. Откуда получаем

II способ.

135% это 1,35. Задача сводится к нахождению части от числа.  

Чтобы найти часть от числа нужно число умножить на эту часть.

И так 54 · 1,35 = 72.9 (кг)

Ответ: 72,9

Задача № 4. Городской бюджет составляет 47 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 32,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Решение:

Задача на нахождение части от числа.  32,5% это 0,325. 47 млн. р = 47 000 000р. Значит

47 000 000р · 0,325 = 15 275 000р.

 Ответ: 15 275 000

Задача № 9. Государству принадлежит 80% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 70 млн. р. Какая сумма (в рублях) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Решение:

1) 100% - 80% = 20%   акций принадлежат частным лицам.

2) 70 000 000 · 0,2 = 14 000 000 рублей прибыли должна пойти на выплату частным акционерам.

Ответ: 14 000 000

«Банк»

Задача № 14. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 11% годовых. Вкладчик положил на счет 500 р. Сколько рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Решение:

1) 100% + 11% = 111%   составит вклад через год.

2) 500 · 1,11 = 555 (руб.) будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет

Ответ: 555

«Делаем покупки»

Задача № 19. Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить                      980 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Решение:

1) 100% -  20%  = 80%  или 0,8  стал стоить товар.

Нам известны часть и значение этой части. Нужно найти целое по части.

2) 980 : 0,8 = 1225 рублей стоил товар до распродажи.

Ответ: 1225

Задача № 24. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: стоимость участия в семинаре — 2000 р. с человека.  Группам от организаций предоставляются скидки: до 10 человек — 5%; более 10 человек — 8%.. Сколько рублей должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 8 человек?

Решение:

1. 2000 · 8  = 16000 рублей стоимость участия в семинаре без скидки.

Так – как в семинаре менее 10 человек то скидка составит 5% или 0,05

2. 16000 · 0,05  = 800 рублей составит скидка.
3. 16000 -  800  = 15200 рублей должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 8 человек

Ответ: 15200

Задача № 29. В начале года число абонентов телефонной компании Запад составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 230 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение:

1) 230 – 200 = 30

200 тыс. чел. – 100%

30 тыс. чел. – Х%

Значит Х =  на столько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании

Ответ: 15

Задача № 36. Клубника стоит 180 рублей за килограмм, а малина 162 рублей за килограмм. На сколько процентов малина  дешевле клубники?

Решение:

180 рублей  – 100%

(180-162) рубля    – Х%

Х =             Ответ: 10

Задача № 39. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Пачка сока стоит в магазине 70 рублей, а пенсионер заплатил за сок 65 рублей 10 копеек. Сколько процентов составляет скидка для пенсионера?

Решение:

 пенсионер заплатил за сок, значит, скидка составила 7%

Ответ: 7

Задача № 44. В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1300 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на семнадцатый день после поступления в продажу?

Решение:

На семнадцатый день после поступления в продажу товара, его цена снизится дважды на 8 и 15 день.

При снижении цены на 20% его стоимость составляет 80% или 0,8. По правилу начисления сложных процентов получаем: 1300 · 0,82  = 1300 · 0,64  = 832 рубля будет стоить товар на 17 день.

Ответ: 832

«Сад, огород»

Задача № 47. Площадь, садов Фермерского хозяйства распределена следующим образом: яблонями занято 7 га, грушами 24 га.

Сколько, примерно процентов площади садов занимают груши?                                

     1) 3,4%; 2) 77%;  3) 130%; 4) 0,8%

Решение:

1. 7 + 24 = 31 га, площадь сада.
2. (24 : 31)· 100% ≈  77 %

Ответ: 2

Глава V.Задачи на проценты в заданиях ЕГЭ – 2013

Я рассмотрел большое количество задач на проценты из ЕГЭ представленных в банке заданий ФИПИ по математике на официальном сайте mathege.ru.

Проанализировав, я разделили их на группы.

1. Задачи про “цены”.
2. Задачи на процентный прирост.
3. Задачи на смеси и сплавы: 

а) задачи на нахождение массы вещества, меняющейся в результате изменения влажности;

b) задачи на нахождение концентрации раствора, процентного содержания вещества;

c) задачи, решаемые с помощью применения «закона сохранения массы и объёма».

ЕГЭ—2013

Во многих задачах В1 используется понятие — процент. На сайте mathege—2013 я выбрал по одной задаче каждого прототипа в заданиях В1 их всего 14, а в заданиях В13—всего 12. И я решил решить эти задания, во первых было интересно смогу ли я их решить, а во вторых захотелось создать свой маленький решебник. (Приложение 3)

Все эти задачи имеют разные способы решения. Я выбрал наиболее простой. Этот способ мы используем на уроках химии. Да и многим моим одноклассникам он наиболее понятен. Хотя я применяю и другие способы решения. Эти способы решения я показывал, когда решал задания из ГИА.

1. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?                                                                                                                                                                  Решение:  И так   120 рублей  —  это100%,                                                                                                     а розничная цена     x рублей составит 120%    

1)

 2) 1000 : 144 ≈ 6,9   Следовательно на 1000 рублей можно купить 6   горшков  

Ответ: 6

2. Футболка стоила 800 . После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?                                                                                                   Решение:  

На 800—680 = 120(рублей) была снижена цена.

Тогда 800 рублей—это 100%, а

               120рублей— x%. Из этого следует        

Ответ: 15

3. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

        Решение:  И так  новая цена стала составлять 116% и она равна 3480 рублей.

Для решения воспользуюсь способом нахождения целого по его части (дроби), 116% это 1,16. Поэтому прежняя цена будет равна  3480 рублей : 1,16 = 3000рублей

Ответ: 3000

4. В городе N живет 300000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?                      

Решение:  

«20 процентов» или «35 процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Главное нужно помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.

Итак, дети и подростки составляют 20% от 300000 жителей. Значит, их число — это 20% или 0,2 от 300000, то есть  0,2  надо умножить на 300000. Получим, что городе N 60000 детей и подростков. Следовательно, взрослых 240000.
Среди взрослых 35% не работает. Теперь за 100% мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 65% от 24 0000, то есть 240000· 0,65 = 156 000 взрослых жителей работает.

Ответ: 156 000

5. Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 18 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение:  18000 рублей  это 100%, тогда он в конце года выплатит x рублей.

                         x рублей составляют  118%  

                                                                                                                                  Ответ: 1770

6. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна  рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

Решение:  Итак, заработная плата  Ивана Кузьмича  12500 рублей . Следовательно, после удержания налога 13% ему выдали ей 87% его заработной платы. Или 0,87 части.

12500 · 0,87 =10875 рублей                              Ответ: 10875

7. Призерами городской олимпиады по математике стало 49 учеников, что составило 20% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение:  20% это 0,2. 49 учеников составили 0,2 Следовательно, решение задачи сводится к нахождению целого по его части  49 : 0,2 = 490 : 2 = 245 человек участвовало в олимпиаде

Ответ: 245

8. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

Решение:  94% это 0,94. Решение задачи сводится к нахождению части от числа

 27500 · 0,94 =  25850 выпускников правильно решили задачу B1.

Ответ: 25850

9.  В школе 800 учеников, из них 30%  — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение:  Если 30%  — ученики начальной школы, то в средней и старшей школе 70% учеников или 0,7. Значит 800 · 0,7 = 560учеников в средней и старшей школе.

Тогда из них 560  · 0,2 = 112 изучают немецкий язык.                  Ответ: 112

10. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Решение:  Итак, при учете 5% комиссии  Аня должна положить 105%, тогда 300рублей это 100%. Следовательно она должна положить в приемное устройство данного терминала

300: 100 · 105 = 315 рублей

Ответ: 315

11. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Решение:  Т.к.  при покупке держатель дисконтной карты книжного магазина получает  скидку 5%, то за книгу он заплатит 95%, или 0,95 её стоимости. Следовательно держатель дисконтной карты заплатит  за эту книгу

200 · 0,95 = 190 рублей                

 Ответ: 190

12. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку  в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

Решение:  

1,4 · 5 = 7мг активного вещества следует дать ребёнку  в возрасте четырёх месяцев  в течение суток.

20 · 0,05 = 1 мг активного вещества содержится в одной таблетке.

7 : 1 = 7  таблеток этого лекарства следует дать ребёнку  

Ответ: 7

13. Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

Решение:  Т.к.60%жителей города  не интересуется футболом, то интересуются 40% жителей, они и есть футбольные болельщики 40000· 0,4 =16000    

Среди них футбол смотрели 80% или 0,8. Следовательно, 16000· 0,8 = 12800жителей города смотрело этот матч по телевизору

Ответ: 12800

14. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Решение:  

60 · 1,25 = 75 (рублей)  стоил виноград в октябре.  

75 · 1,2 = 90  (рублей)  стоил виноград в ноябре

Ответ: 90

Задание В13  включает в себя практически все типы текстовых задач, среди которых задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси.  

1. В 2008 году в городском квартале проживало 20000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 10%, а в 2010 году  — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение:  

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 10%, то есть стало равно 

20000  1,1 = 22000 человек.

А в 2010 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать

22000  1,09 = 23980 жителей.

Ответ: 23980

2. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Решение:  

Пусть при открытии торгов в четверг акции стоили x рублей. К вечеру четверга они подорожали на p % и стали стоить.

Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру пятницу акции подешевели на     p % по сравнению этой величиной и стали стоить

По условию, акции в итоге подешевели на 36%. Значит

Поделим обе части уравнения на x  (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

(По смыслу задачи,  p > 0.)        Ответ: 60

3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей

Решение:  

Пусть цена холодильника уменьшилась на p % через год и стал стоить:

Теперь уже эта величина принимается за 100%, и через два года он снова подешевел на  p%   по сравнению этой величиной и стал стоить

По условию, его продали за 15842 рублей. Составим уравнение и решим его:

По смыслу задачи,  p > 0

Получаем,                                                                

Ответ: 11

4. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять таких же рубашек дороже куртки?

Решение:  

Пусть стоимость рубашки равна x, стоимость куртки y. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость шести  рубашек составляет 98% от цены куртки, то есть
6x = 0,98 y.

Стоимость одной рубашки — в 6 раз меньше:
а стоимость девяти  рубашек в 9 раз дороже:
т.е

Получили, что девять рубашек на 47% дороже куртки.

Ответ: 47.

5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 112%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 3%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Составим таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация А» и «ситуация В».

На основании данных таблицы составим систему уравнений.

из обеих его частей первого уравнения сумму вычтем X+ Y + Z   . Получим:

2X = 1,12 ( X+ Y + Z   ), откуда X = 0,56( X+ Y + Z   ),
Это значит, что зарплата мужа составляет 56 % от общего дохода семьи.

Во втором уравнении  тоже вычтем из обеих частей выражение    X+ Y + Z , упростим и получим, что   Z = 0,06(  X+ Y + Z  )
Значит, стипендия дочки составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 38% общего дохода.

Ответ: 38.

6. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение:

42000 : 200000 = 0,21 или 21% внес Антон

0,12—это 12%  внес  Гоша.

100% -(14%+12%+21%) = 53% или 0,53 внес  Борис

1 000 000 · 0,53 = 530 000 рублей прибыли причитается Борису

Ответ: 530 000

Задачи на растворы, смеси и сплавы.

7. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

4 · 0,15 = 0,6 литра вещества в первом растворе

6 · 0,25 = 1,5 литра вещества во втором  растворе

(0,6+ 1,5) : 10 = 0,21 или 21% концентрация получившегося раствора

Ответ: 21

8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Схематично изобразим сосуды с растворами  — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим X

Первый сосуд содержал 0,12  5 = 0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

.                

X= 5%

Ответ: 5

9. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть масса первого раствора равна X. Масса второго — тоже X. В результате получили раствор массой 2X. Составим таблицу.

Получаем: 0,15X + 0,19X= 0,17  2X;

0,34X = 0,17   2X (2X – масса, 0,17 от  2X, это 17% от 2X), значит концентрация, получившегося раствора равна 17%.

Ответ: 17.

10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть масса первого раствора X, масса второго равна Y. Масса получившегося раствора равна   X+ Y +  10. Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Умножим обе части уравнений на 100, поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

   X= 60; Y  = 30.          

Ответ: 60

Задача на сплавы

11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30 %никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Пусть масса первого сплава равна X, а масса второго равна Y. Составим таблицу:

На основании таблицы составим  систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что X = 50, Y = 150.

Ответ: 100.

Задача «о продуктах» 

Задачи «о продуктах» это  такие, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог —на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным.

12. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 36 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение:

В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». Пусть из X кг винограда получилось 36кг изюма. Тогда

10% от X = 95% от 36

Составим уравнение:
0,1· X =  0,95 · 36

Откуда X = 342                Ответ: 342.

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мир процентов, действительно, удивителен и многогранен. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Трудно назвать область, где бы ни применялись проценты. Как известно, выводы опираются на анализ. Люди не знают более удобного способа анализировать, чем процентный, который наиболее точен и прост в применении. Его суть понятна даже ребёнку. Я вместе со своими родными учился анализировать реальные банковские ситуации именно с помощью такого математического понятия как процент. Проанализировав большое количество задач на проценты из ГИА и ЕГЭ, я классифицировал их по группам и описал способы их решения и еще раз убеждался как много различных жизненных задач позволяют решать проценты.

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что проценты помогают нам:

1. Грамотно разбираться в большом потоке информации;
2. Правильно вкладывать деньги;
3. Грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант;
4. Совершать выгодные покупки, экономя на скидках;
5. Решать математические, физические и химические задачи.

А школьники, изучившие данный материал, смогут применить его при подготовке к экзаменам по математике и  на ГИА и на  ЕГЭ.

Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований. Практическая значимость знаний, связанных с процентами, очевидна, в особенности для современного российского общества.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРА

1. «Математика 5» (авторы: Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.) . – М.: Просвещение, 2010.
2. «Математика 6» (авторы: Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.) . – М.: Просвещение, 2010.
3. Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989. –73с.
4. ГИА: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 /   А.Л. Семенов, И.В. Ященко,– М.: Издательство «Экзамен», 2013. – 400с.
5. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5-8 классы/ авт.-сост. Ю.В. Щербакова, И.Ю. Гераськина. – 2-е изд., доп. – М.: Издательство «Глобус», 2010. – 240с.
6. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математике. М:   Наука, 1992

ИНТЕРНЕТ  РЕСУРСЫ

1. http//:Mathgia-2013
2. http//:Mathege-2013

Вклад Ренессанс Доходный          Приложение 1

Разгадайте зашифрованные слова и уберите лишнее слово, не подходящее по смыслу:

   1)  ТОП + ДИЕЗ;  

   2)  РЕ + ТИК + Д;  

   3)  Ц + ТОН + РЕ + П;  

   4)  ПО + ПИР + Я + ОР + Ц.

Ответ:  1) ДЕПОЗИТ;  2) КРЕДИТ;

              3) ПРОЦЕНТ; 4) ПРОПОРЦИЯ.