Аликвотные дроби

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение, Средняя общеобразовательная школа п.Солидарность

Аликвотные дроби

Исследовательский проект

Выполнила

Скрипкина Елизавета

ученица 7А класса

Руководитель:

Красникова Галина Дмитриевна

2017-2018 учебный год

                                              Оглавление.

1. Введение.

  1. Актуальность работы.

  2. Цели и задачи работы.

  3. Методическая база.

  4. Практическая значимость.

  5. Гипотеза.

2. Основное содержание.

1. Определение

2. История возникновения.

3. Аликвотные дроби в других странах.

4. Старинные задачи на аликвотные дроби.

5. Аликвотные дроби сейчас.

3. Заключение.
4. Выводы.
5. Источники информации.

I. Введение.

1. Актуальность работы.

При изучении обыкновенных и десятичных дробей по математике в 5 классе, меня заинтересовало , а есть ли еще какие дроби. и как возникли обыкновенные дроби. Тогда от учителя я слышала л таких дробях, как аликвотные дроби и меня заинтересовало это понятие. Я решила исследовать что это за дроби и изучить их хоть немного на данном уровне изучения математики.

2. Цели и задачи работы.

Цель:

• Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи:

• Узнать происхождение аликвотных дробей.
• Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.
• Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

3. Методическая база.

• справочная литература
• ресурсы Интернет

4. Практическая значимость.

• самостоятельно расширить свой математический кругозор;
• пополнить свои математические знания;
• научиться работать с дополнительной литературой;
• приобрести навык публичного выступления с высказыванием собственной точки зрения; использование работы в просветительской деятельности.

5. Гипотеза.

"Что я знаю об аликвотных дробях?"

II. Основное содержание.

1. Определение

 Аликвотная дробь - дробь вида 1/n, где n - натуральное число.

2. История возникновения.

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности.   Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –  – так называемые единичные дроби или аликвотные.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби,не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать такжедругие дроби (большие чем 1/2).

Египетская дробь — в математике сумма нескольких  аликвотных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются 

египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху  Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и

 ответы, записанные в виде египетских дробей.

 Единичные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  (где n - натуральные число), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными (от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

=,

=+,

=+.

Так, глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,

представляла собой дробь  , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на  . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была

представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:  +  +  +  + +  = .

3. Аликвотные дроби в других странах.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

4. Старинные задачи на аликвотные дроби.

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми»   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:  =  + + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

5. Аликвотные дроби сейчас.

Сейчас аликвотные дроби можно встретить лишь в олимпиадных заданиях. Например:

Задачи из журнала «Квант». Решение задач.

1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трёх слагаемых:

1 = .

Б) четырёх слагаемых:

1 =  = 

.

В) пяти слагаемых:

1 =  = +  + .

Г) шести слагаемых:

1 =  = +  +  = + 

2. Представьте дробь  в виде аликвотных дробей.

Существует 2 способа представления дроби  в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.

3. Верно ли равенство?

Равенство верно.

III. Заключение.

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решали олимпиадные задачи по математике разных лет. Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как - то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

IV. Выводы.

Изучив аликвотные дроби, я узнала, что они являются началом обыкновенных дробей.

Научилась складывать и вычитать эти дроби, решать задачи на аликвотные дроби.

V. Источники информации:

- https://ru.wikipedia.org/wiki/Египетские_дроби.

- https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/165/АЛИКВОТНАЯ

- https://intolimp.org/publication/alikvotnyie-drobi.html