Различные способы решения квадратных уравнения
В данной работе рассмотрены различные способы решения квадратных уравнения
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 kv.ur2_.ppt | 532.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Исторические сведения о квадратных уравнениях Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения Квадратные уравнения в Индии Квадратные уравнения у аль- Хорезми Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв О теореме Виета Способы решения квадратных уравнений Общая формула для вычисления корней Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b Решение неполных квадратных уравнений Использование частных соотношений коэффициентов Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители Использование прямой и обратной теоремы Виета Метод "переброски" Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Практика Заключение Список литературы и Интернет-ресурсы
Цель. Пополнить, систематизировать, углубить свои знания по решению квадратных уравнений. Задачи. 1.Изучить литературу по выбранной теме; 2.Изучить историю возникновения и решения квадратных уравнений; 3.Изучить способы решения квадратных уравнений разного вида; 4.Научиться применять полученные знания на практике.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам»(499 г.) составленный индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1)
Решение Бхаскары квадратного уравнения
Квадратные уравнения у Аль-Хорезми В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. «Квадраты равны корням». «Квадраты равны числу». «Корни равны числу». «Квадраты и числа равны корням». «Квадраты и корни равны числу». «Корни и числа равны квадратам».
Квадратные уравнения в Европе XII I -XVII в. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета , однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Общий вид квадратного уравнения Полные Неполные
Общая формула для вычисления корней
Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b
Неполные квадратные уравнения
Использование частных соотношений коэффициентов
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: то его корнями являются -1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту .
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( ), то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту
Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения - ими будут и , действительно, ведь а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное.
Использование прямой и обратной теоремы Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения х2+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = - р, х1 · х2 = q . Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q , x 1, x 2 таковы, что х1 + х2 = - р, х1 · х2 = q , то х1 и х2 – корни уравнения х2+ рх + q = 0
Метод "переброски" Так называемый метод "переброски" позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем: 1)умножаем обе части на выражение: 2)вводим новую переменную y=ax: Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и
Геометрический смысл Графиком квадратичной функции является парабола . Решениями квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если пересекается в одной точке- уравнение имеет один вещественный корень. Если в двух точках - уравнение имеет два вещественных корня
Графический способ решения квадратных уравнений Помимо универсального способа, существует графический способ . В общем виде этот способ решения уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения. Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке пересекающую ось y в точке C(0;1).
Далее возможны три случая: длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S радиус равен перпендикуляру радиус меньше перпендикуляра
Решение с помощью номограммы Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Список литературы и Интернет-ресурсы 1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2003. 2) Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. 3) Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы. – М., 1982. 4) Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. – 1994. 5) Плужников И., Десять способов решения квадратных уравнений//Математика (Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»).- 2000. №40 6) Пичурин Л.Ф.За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1990. 7) Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – М., Просвещение, 1990 8) www.textreferat.com 9) www . portfolio . ru 10) http :// ru.wikipedia.org
Рисуют дети водопад
Кактусы из сада камней
Камилл Фламмарион: "Астрономия - наука о живой Вселенной"
Две лягушки
Серебряное копытце