Решай, но проверяй!

Российская научно-социальная программа

для молодёжи и школьников «Шаг в будущее»

Решай, но проверяй.

Исследовательская работа

на научно-практическую конференцию

«Шаг в будущее»

Автор:

Пермикина Виктория Николаевна

6а класс

Россия, Тюменская область

Нефтеюганский район

с.п. Салым

НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Руководитель:

Крендясова Лариса Анатольевна

учитель математики

 НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

2014

Решай, но проверяй. Методы проверки результата вычислений.

Пермикина Виктория Николаевна Тюменская область, Нефтеюганский район, с.п. Салым, НРМОБУ «Салымская СОШ №1», 6а класс, 2014 г.

Руководитель: Крендясова Л. А., учитель математики НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Аннотация

Проблема. Наличие очень большого числа вычислительных ошибок в контрольных и самостоятельных работах по математике.

Гипотеза: проверить являются ли данные методы необходимыми и достаточными для проверки результата вычислений. Можно ли проверять все результаты вычислений с помощью данных методов. Можно ли их использовать для проверки суммы, разности, произведения, частного. Можно ли использовать для проверки, если в вычислениях натуральные числа, целые, десятичные дроби.

Объект: арифметические выражения.

Предмет: результат этих вычислений.

Цель: найти такие методы или метод проверки результата вычислений, которые бы помогли за короткое время проверить результат вычислений и при этом не решать пример или задачу второй раз.

Задачи: изучить литературу по данной теме; проверить методы на конкретных примерах; сделать выводы о необходимости и достаточности этих методов.

Вывод: применяемые методы выбрасывания девяток и выбрасывания одиннадцати позволяют проверять результаты достаточно быстро, не решая пример второй раз. Можно использовать их для проверки, как сложения, так и вычитания, как умножения, так и деления. Метод выбрасывания девяти является необходимым, но не достаточным, но при этом является довольно простым и быстрым. Метод выбрасывания одиннадцати является достаточным, но он сложнее в использовании.

Содержание

План исследования……………………………………………………………4

Научная статья…………………………….………..……………………..…..6

Проверка умножения …………………………………………………………7

Выбрасывание девяток……………………………………………….……….7

Проверка сложения…………………………………………….....…..……….9

Проверка вычитания…………………………………………....…..…………9

Проверка деления…………………………………….……….….…...……….9

Выбрасывание одиннадцати………………………….…………....………..10

Литература……………………………………………………………………12

Решай, но проверяй. Методы проверки результата вычислений.

Пермикина Виктория Николаевна Тюменская область, Нефтеюганский район, с.п. Салым, НРМОБУ «Салымская СОШ №1», 6а класс, 2014 г.

План исследования

1. Определение темы, проблемы, выдвижение гипотезы.

Очень обидно, когда на контрольной или самостоятельной работе допускаются досадные ошибки в вычислениях. Как сократить время на проверку результата? Есть ли методы для проверки результата вычислений, которые позволяют проверять результат, не решая заново пример? Была выдвинута гипотеза, что такие методы в математике есть, но широкому кругу они мало известны.

2. Обоснование актуальности и практической значимости проблемы.

При использовании этих методов в практике сократится, а со временем и вообще исчезнут ошибки в вычислениях, с психологической точки зрения повысится самооценка. Повысится репутация среди одноклассников.

3. Работа над исследованием: изучение источников информации; работа в библиотеке.

Существует много литературы по данной теме. Мы использовали самую доступную информацию для понимания сути методов.

4. Определение содержания исследования.

Были изучены методы выбрасывания девяти и метод выбрасывания одиннадцати. Затем подбирались примеры для каждого случая.

5. Анализ полученных результатов.

Совместно с учителем проанализировали результаты проверки данными методами. Подобрали примеры, когда и как можно использовать данные методы. Случаи, когда проверка не будет давать корректного результата.

6. Выработка суждений, формулировка умозаключений, выводов.

В конце исследования были сделаны умозаключения, сформулированы выводы, которые отражены в научной статье.

7. Оформление научной статьи.
8. Подготовка тезисов и аннотаций на школьную конференцию.
9. Подготовка защитной речи и компьютерной презентации работы.
10. Представление выполненной работы на школьной конференции. Защита работы.
11. Литература, используемая в работе над данной темой:

1. Билл Хендли. Считайте в уме как компьютер. Издательство «Попурри», Минск,2009.
2. Э. Катлер и Р. Мак-Шейн. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. Сокращённый перевод с английского П. Г. Каминского и Я. О. Хаскина. Издательство «Просвещение». М.: 1967.
3. Г.И. Просветов. Учимся считать быстро, Задачи и решения. Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008.

Решай, но проверяй. Методы проверки результата вычислений.

Пермикина Виктория Николаевна Тюменская область, Нефтеюганский район, с.п. Салым, НРМОБУ «Салымская СОШ №1», 6а класс, 2014 г.

Научная статья

 «Задача не является решённой,

до тех пор, пока вы не сделали

проверку полученного ответа»

Ваш любимый учитель математики.

Вы хотели бы решать правильно все задачи любой школьной контрольной? Думаю, ваш ответ - да. Хотелось бы вам приобрести репутацию человека, который не ошибается? Ответ опять да!

Наверняка вам было обидно, когда вам снижали оценку за вычислительную ошибку, а ход решения задачи был верным. Вы то забудете перенести разряд, то по невнимательности записывали не те числа и ещё мало ли по какой причине допускали досадные ошибки. Учителя постоянно напоминают вам о том, что нужно проверять. Но единственный способ, который вы знаете - заново решить задачу. И вот получился другой результат, и какой из них верный? Ну, тогда  решаем задачу третий раз. И если два ответа сходятся, наверняка он и будет правильным. А что если вы просто дважды допустили одну и ту же ошибку. Ну, здесь можно посоветовать ещё один способ решить задачу другим методом. Но не забывайте мы на контрольной, здесь не дают времени решить одну задачу три раза.

Метод, о котором я хочу вам рассказать не новшество, математики знают о нём уже тысячу лет. Но по какой-то причине, он не включен в школьную программу. И если вы о нём узнаете и будете применять, то наверняка приобретёте репутацию, никогда не ошибающегося человека или просто математического гения! Он называется суммированием цифр числа или выбрасыванием девяток. Вот как он работает.

Цель: найти такие методы или метод проверки результата вычислений, которые бы помогли за короткое время проверить результат вычислений и при этом не решать пример или задачу второй раз.

Задачи: изучить литературу по данной теме; проверить методы на конкретных примерах; сделать выводы о необходимости и достаточности этих методов.

Гипотеза: проверить являются ли данные методы необходимыми и достаточными для проверки результата вычислений. Можно ли проверять все результаты вычислений с помощью данных методов. Можно ли их использовать для проверки суммы, разности, произведения, частного. Можно ли использовать для проверки, если в вычислениях натуральные числа, целые, десятичные дроби.

Объект: арифметические выражения.

Предмет: результат этих вычислений.

Проверка умножения

Числа-подстановки

Чтобы проверить верный ли ответ, мы используем числа подстановки вместо тех, которые задействованы в примере. Последние помогут нам поверить, к правильному ответу ли мы пришли с основными числами в задаче.

Приведём пример, допустим, вы перемножили 13 и 14 и получили в ответе 182. Надо проверить правильный ли это ответ.

13×14=182

Сначала найдём сумму цифр числа 13. 1+3=4 это будет подстановка для числа 13. Для следующего числа подстановка 1+4=5. Теперь выполним умножение 4×5=20 это тоже двузначное  число 2+0=2. 2-это контрольное число для проверки результата. Если мы верно решили исходный пример, тогда сумма цифр ответа должна совпадать с контрольным числом. Складываем цифры исходного полученного ответа:

1+8+2=11

11- это двузначное число, а нам нужно однозначное, поэтому сложим и его цифры:

1+1=2

Это тоже число подстановка, но уже для проверяемого ответа. Поскольку оно совпало с контрольным числом, пример решён правильно.

Попробуем ещё раз, взяв произведение 12×14=168

1+2=3 – подстановка для 12

1+4=5 – подстановка для 14

3×5=15 двузначное число 1+5=6 – контрольное число

Теперь находим число подстановку для проверяемого ответа

1+6+8=15 двузначное число 1+5=6

Контрольное число и данный ответ совпали, значит, пример решён правильно.

Выбрасывание девяток

Есть способ, который позволяет ещё сократить время на проверку результата. Когда бы нам ни встречалось число 9 в наших вычислениях можно смело его выбрасывать.  Например, в случае 13×15=195 вместо того что бы считать сумму 1+9+5=15 (получили двузначное число, значит 1+5=6). Мы можем вычеркнуть 9 и считать уже сумму лишь 1+5=6, что на результате не отразится, а лишь сократит время вычислений. А как по поводу ответа на первый пример 13×14=182. Мы складывали 1+8+2=11, а затем сложили 1+1 и получили контрольное число 2. В числе 182 две цифры дают в сумме 9 (это 1+8) просто вычёркиваем их (182)и получим сразу требуемое число 2. И даже не пришлось считать.

Приведём ещё один пример:

156×643=100308

Подстановка для первого числа 1+5+6=12; 1+2=3

Подстановка для второго числа 6+4+3 сразу замечаем, что 6+3=9 поэтому вычёркиваем их 643, остаётся 4 это подстановка для числа 643.

Имеются ли 9 или числа, дающие в сумме 9, в ответе примера. Да. 100308 остальные складываем 0+0+3+0=3 подстановка для ответа.

В тетради или черновике это может выглядеть следующим образом:

156×643=100308

  3  ×  4          3

     3   =    3

Перемножаем числа подстановки 3×4=12 (число двузначное, находим подстановку и для него 1+2=3 – контрольное число). Контрольное число получилось равно числу подстановке ответа (3=3), соответственно и ответ верный.

Ещё пример:

135×83615=11288025

Сложим цифры первого множителя 1+3+5=9 или можем заменить 9 нулём. Вспоминаем свойство нуля при умножении, и понимаем, что нам не надо считать число подстановку для второго числа. А достаточно лишь найти подстановку для ответа 11288025 это нуль. Пример решён правильно!

Можно ли данный метод использовать для проверки результата сложения, вычитания и деления.

Проверка сложения

Точно так же мы можем использовать метод выбрасывания девятки для проверки результата сложения. Пример:

+12345                →                +6

+67890                →                +3

+42735                →                +3

21865                →                4

144835 Верный ли это ответ?  7

7=7 ответ верный.

Проверка вычитания

Для действия вычитания метод тоже работает, но есть небольшое отличие.

Пример: 8465-2897=5568 давайте выбросим девятки и посмотрим, что получится.

8465-2897=5568

  5  -   8   ≠  6  и здесь уместно будет вспомнить, что вычитание проверяется сложением. И тогда с учётом этого немного преобразуем нашу проверку.

 5      8  +  6

   5  =  5

Проверка деления

Проверим способом выбрасывания девятки следующий пример:

42 : 2 = 21

6  :  2  =  3

Делим 6:2=3 – контрольное число, оно равно числу подстановке для ответа, значит, пример решён правильно.

Следующий пример:

175 : 7 = 25

 4   :  7 ≠   7

Здесь нужен другой подход, деление проверяем умножением, т.е. умножаем частное на делитель и в результате должны получить делимое.

175 : 7 = 25

 4      7 × 7

         (7×7=49; 4+9=13; 1+3=4)

    4 = 4                        можно сказать, что наш пример решён правильно.

А как бы мы проверяли пример в ответе, которого получается остаток?

Следующий пример:

165:7=23 (ост 4) Проверку деления мы сводим к умножению, а  остаток мы учитываем следующим образом: 23×7=165-4

                        23×7=161

                          5×7    8

         (5×7=35; 3+5=8)                

                           8   =   8

Важное замечание.

Нельзя использовать способ выбрасывания девяток в отношении ответов, где число является округлённым до некоторого количества знаков после запятой. Выбрасывание девяток работает только для точных ответов.

Проверка с помощью девятки является необходимым, но недостаточным условием для оценки правильности результата вычислений.

Выбрасывание одиннадцати

Выбрасывание одиннадцати – это ещё один простой способ проверки ответа. Его преимущество перед выбрасыванием девяток в том, что он позволяет определить, не была ли десятичная запятая поставлена не в том месте и нет ли лишнего или, наоборот, недостающего нуля. Особую пользу он приносит в качестве дополнительной проверки к выбрасыванию девяток.

Два простых способа для нахождения остатка от деления на 11.

В случае двузначных чисел: просто вычтите цифру десятков из цифры единиц. Если цифра единиц меньше цифры десятков, тогда прибавьте к ней сначала 11.

Для чисел с большим количеством знаков: отметьте цифры расположенные на чётных местах, с первой цифры до десятичной запятой (в случае целых чисел – начиная с первого числа справа). Отнимите цифры на четных местах от цифр стоящих на нечётных местах.

Например:

                                         .

13         ×         14     =    182

3-1=2         4-1=3    6 (складываем цифры на нечётных местах 1+2=3, нельзя   вычесть 8 из 3, поэтому

2      ×       3      =     6                        прибавим 11 к 3. 11+3=14,   14-8=6 – контрольное число)

Результат совпадает с контрольным числом, поэтому ответ верный.

Для чего вообще нам нужен метод выбрасывания 11? Ведь мы могли получить тот же результат с помощью метода выбрасывания 9, затратив при этом меньше усилий. А предположим в результате вычислений мы бы получили не 182, а 18,2. Метод выбрасывания девяти нам бы дал верный результат, или в результате вычисления этого примера мы бы получили 1712. Опять мы бы ошибки не заметили. А выбрасывание одиннадцати на этот раз нам бы показало наличие ошибки.

Давайте проверим оба ответа методом выбрасывания одиннадцати:

∙       ∙

18,2

Цифры на чётных местах дают в сумме 3 (1+2=3). Цифра на чётном месте  - 8. Остатком будет 8-3=5. Пример будет 2×3=5 – ложное утверждение.

Проверим следующий ответ 1712.

                                        ∙      ∙

                                        1712

Сумма цифр на чётных местах (1+1), получаем 2. Цифры на чётных местах (7+2) дают 9. 9-2=7 – равенство ложное. Если бы ответ был верным, то мы бы получили верный ответ и у чисел подстановок. Рассмотрим ещё один пример:

     ∙                  ∙     ∙

1,7 × 14 = 23,8

 5       3       4

 5  ×   3 = 15 (5-1=4)

4 = 4

Пример решён правильно.

А вот сокращение метода, если количество цифр в целом числе чётное. Возьмём, например число 4 693 260 817. Запишем, это число и сгруппируем цифры в пары:

Результаты вычитания:

                                46 93 26 08 17

                                __   __   __  __   __

                                2   5   4    8   6

Каждый остаток мы получили из соответствующей пары знакомым нам методом, вычитая из цифры единиц цифру десятков. Теперь складываем эти только что полученные цифры: 2+5+4=1, заменяем нулём или просто вычёркиваем. Затем 8+6=14 и 4-1=3. Остаток равен 3.

Метод выбрасывания одиннадцати, является достаточным условием проверки результата, его можно использовать как самостоятельный, либо как дополнительный к методу выбрасывания девяти либо просто для разнообразия.

Литература

1. Билл Хендли. Считайте в уме как компьютер. Издательство «Попурри», Минск,2009.
2. Э. Катлер и Р. Мак-Шейн. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. Сокращённый перевод с английского П. Г. Каминского и Я. О. Хаскина. Издательство «Просвещение». М.: 1967.
3. Г.И. Просветов. Учимся считать быстро, Задачи и решения. Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008.