Исследовательская работа "Замечательные кривые"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа      

Бутурлиновского муниципального района

 Воронежской области     397505, Воронежская обл., г.Бутурлиновка, ул. Дорожная, 71  

тел.:(47361)2-83-30, 2-83-31, эл.  адрес: but-school@mail.ru

Проект

«Замечательные кривые»

Выполнила:

обучающаяся 8 «а» класса

МБОУ БСОШ

Литвинова Ксения

Проверила:

Критинина О.М.

учитель математики

Бутурлиновка 2017.

Введение

В школьном курсе математики изучается совсем немного кривых, имеющих необычный график. Особый интерес представляют так называемые замечательные кривые, имеющие специфические особенности. Замечательные кривые часто встречаются в жизни, но не замечаются человеком, поэтому я решила рассмотреть эту тему. Математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическими чертежами, сопровождая его короткой подписью: "Смотри!". Я пользовался тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых. Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекли внимание людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых. Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые.  В разговорном языке «кривая», «кривой» «кривое» употребляется, как прилагательные, обозначающие, то что откланяется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, кривой дороге, о кривом зеркале; «без соли, и стол кривой» - гласит пословица. 

Так же и сегодня, все что нас окружает, состоит из множества черт, которые, в свою очередь, складываются из различных кривых. В силу частой встречаемости кривые находят широкое практическое применение: они встречаются в быту, живописи, архитектуре, природе...

Например, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе – тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.

Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы этой работы.

Цель моего проекта: создание альбома «Замечательные кривые» для применения на уроках математики и факультативных занятиях.

Объект исследования – графики кривых, их свойства.

Цель определила постановку следующих задач:

1. Исследовать и проанализировать литературные источники и публикации.
2. Изучить виды кривых, их свойства.
3. Рассмотреть практическое применение кривых.
4. Исследовать способы их построения.
5. Показать результат моего проекта ученикам нашей школы и их родителям.

Исследование проходило в три этапа: на первом этапе - ознакомилась с литературными источниками и публикациями по данной проблеме и проанализировала их; на втором этапе – выбрала кривые, которые меня заинтересовали; на третьем этапе – занималась оформлением альбома.

Замечательные кривые.

1. Парабола -  геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Свойства:

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

     Построение:

 Уравнение параболы имеет вид: y=ax2+bx+c. Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз. 

Найдите ось симметрии. Ось симметрии параболы – это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ось симметрии задается функцией х = n, где n – координата «х» вершины параболы. Для вычисления оси симметрии воспользуйтесь формулой x = -b/2a 

Найдите вершину. Вычислив ось симметрии, вы нашли координату «х» вершины параболы. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы найти «у». Эти две координаты и есть координаты вершины параболы. 

Нарисуйте таблицу с двумя столбцами. В первом столбце будут расположены значения «х», а во втором – значения «у». Это будут координаты точек, лежащих на параболе. Вычислите значения «у». 

Теперь, когда вы нашли координаты пяти точек, вы можете построить график. Нанесите найденные точки на координатной плоскости.
Соедините точки U-образной кривой, и вы получите параболу.

2. Гипербола -  называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F1 и F2 , называемых  фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Свойства:

• Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.
• Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
• Гипербола имеет центр симметрии.

Построение:

На уроках математики изучали обратно пропорциональную зависимость. Она задается формулой , где k – число, не равное нулю. Графиком такой функции является гипербола. Для построения составьте таблицу для переменных х и у. Отметьте на координатной плоскости эти точки и соедините их плавной линией.

3. Улитка Паскаля ― плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её. Уравнение в прямоугольных координатах: (x²+y²-ax)²=l²(x²+y²).

В полярных координатах: P=a cos φ + l

    Свойства: 

• Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.
• Улитка Паскаля является подерой окружности.
• Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.
• Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала.
• Улитка Паскаля является частным случаем эпитрохоиды.
• Улитка Паскаля является примером эквихордной кривой.
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода
• Симметрична относительно оси ох.
• Площадь, ограниченная улиткой паскаля: S=+πL²; Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность x²+y²=2x (а›0) в точке В; на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и ВN постоянной длины b. При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля.

Построение:

Для построения улитки Паскаля достаточно нарисовать окружность  произвольного радиуса R, выбрать на ней некоторую точку А и начать вращать вокруг точки А луч АС. Если по обе стороны от второй точки пересечения луча АС с окружностью на луче АС откладывать отрезки, равные радиусу исходной окружности ( R = a), то получится два набора точек - М и М'. Улитка Паскаля - геометрическое место точек М и М'. Для завершения построения через полученные точки достаточно провести плавную непрерывную

4. Роза Гранди

Как-то раз итальянский геометр Гвидо Гранди(1671-1742) создал розы. Розы радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы - они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гранди описывается уравнением в полярных координатах г=a sinк , где а и к - некоторые постоянные.
Свойства:

• При к нечётном роза состоит из к лепестков, при к чётном — из 2к лепестков; при к рациональном лепестки частично покрывают друг друга.
• При иррациональном значении к -  роза имеет бесконечное число лепестков.
• В уравнении r=asin(bk) значение a отвечает за длину лепестков, а значения b – за количество и форму.

5. Эллипс - замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра. В переводе с древнегреческого – недостаток.

 Свойства:

• Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.
• Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

• Эллипс имеет центр симметрии.

• Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Построение:

Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуется нить и кнопки (гвоздики, иголки и т.д.). Прикрепим концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс. 

Эллипсы в реальности встречаются гораздо чаще, чем, кажется. Например, планеты солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, кольца Сатурна также имеют эллиптическую форму.


В форме эллипса можно изготовить журнальный столик или соткать ковер. В строительной технике по эллипсу иногда очерчивают арки сводов. 

Мост Миллениум или Мост Тысячелетия (англ. London Millenium Footbridge) — пешеходный мост в Лондоне, пересекающий Темзу.
Длина 370 метров.

В обычном положении арки моста не мешают прохождению под ними небольших судов, но как только к мосту приближается крупное судно — мост поворачивается по своей оси на 40 градусов, при этом верхняя арка опускается, а пешеходная — поднимается. В результате обе арки оказываются в равновесно-поднятом положении, а между водной гладью и мостом образуется 25-метровый зазор, дающий возможность пройти под ним почти любому, даже самому крупногабаритному судну.

Единственный в мире поворотный мост.

6. Циклоида 

Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.

Уравнение циклоиды в декартовых координатах:


Свойства:

• Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста.

Построение 

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. (Что по-гречески значит « кругообразная»)

7. Спираль Архимеда. 

Архимедова спираль – плоская кривая, описываемая точкой M, равномерно движущейся по прямой OA, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек O. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками.

Построение 

1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей.

2. Делим окружность на такое же число равных частей.

3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.

4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.

5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.

6. Если строить спираль дальше, то  на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX).

7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X).

8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI). 

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.

Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик  – все они имеют форму спиралей.

По спирали Архимеда идет, например звуковая дорожка. Одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого – винт (прообраз объемной спирали)- использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке.

8. Кривая Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с большой скоростью. Поиски данных кривых были вызваны не просто интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М. Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом подтвердила движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Кривая Коха примечательна тем, что она непрерывна. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Свойства:

1. Она непрерывна.

2. Имеет бесконечную длину.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь.

Построение:

Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха, которая не имеет самопересечений.

Снежинку Коха можно построить на сторонах равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике каждая сторона делится на три равные части и на средних отрезках сторон строятся наружу равносторонние треугольники треугольника. Эту операцию повторяют бесконечное число раз для каждого из отрезков ломаной, получившегося на предыдущем шаге.

Заключение

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется интерес человека к замечательным кривым, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей.

Впрочем, кривые - отнюдь не только объект научных исследований. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Кривые имеют непосредственное отношение к окружающему нас миру. Они проявляются в частности в природе, науке, архитектуре. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора.

Мы их видим каждый день!

Так что же такое кривая линия? С помощью проведенных опытов я сделал вывод: Кривая есть след движущейся точки. Такой точкой в приведенных примерах является острие карандаша, острый край куска мела и т. д.

В своей работе я показала различные способы получения кривых:

1. построение графиков уравнений в полярных и декартовых координатах;
2. вычерчивание траектории точки, используя свойства;

И выяснила, что наиболее точное построение кривых можно выполнить с помощью графика.

Несмотря на то, что у кривых на первый взгляд сложные и непонятные названия – все они по-своему замечательные!

Зовут меня ученые - кривая.

Я - линия довольно не простая:

Есть у меня изгибы, повороты,

И есть прямые слуги асимптоты.

Прямая ломит напролом, ломая шею.

Я ж обойти преграды все сумею,

А максимум и минимум известны

Кривую делает особо интересной

И как не хорохорится прямая,

Довольно точна линия такая

Представит синусоиду простую,

Взять только амплитуду нулевую.

И коль соображаешь ты, братишка,

Тогда при мне не задавайся слишком

Ведь знают все детсадовцы любые,

Что в голове извилины кривые!

Но, между прочим, и для разгильдяя

Живет во мне надежда неплохая:

Лентяй из двоек вылезет,

Когда «кривая вывезет».

Весь собранный мною материал по кривым и их свойствам будет использован в течение года при проведении факультативных занятий.

Литература:

1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/- М.: Аванта+,                     1998.
2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. Л. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов., М.: Гостехиздат., 1967.
3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С.Б. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразов. Учреждений – М.: Просвещение, 2013.
4. Мануров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. под ред. Сабинина Л. В., Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2/ - М. Просвещение, 1982.
5. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. Математическая шкатулка. М., Просвещение, 1988.
6. Я.И. Перельман. Занимательные задачи и опыты. Домодедово, ВАП, 1994.

это геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Свойства параболы:

Парабола — кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы.

Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.

Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.

Все параболы подобны.

называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F1 и F2 , называемых  фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Свойства гиперболы:

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. 

Гипербола имеет центр симметрии.

плоская кривая определённого типа. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Свойства:

Улитка Паскаля является плоской алгебраической кривой 4-го порядка.

Улитка Паскаля является подерой окружности.

Улитка Паскаля является конхоидой окружности относительно точки на окружности.

Улитка Паскаля является частным случаем Декартова овала и эпитрохоиды. А так же примером эквихордной кривой.  

Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода

Симметрична относительно оси ох.

Площадь, ограниченная улиткой паскаля: S=+πL

 плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка. Названа в честь итальянца Гвидо Гранди.

Свойства:

При к нечётном роза состоит из к лепестков, при к чётном — из 2к лепестков; при к рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

При иррациональном значении к -  роза имеет бесконечное число лепестков.

В уравнении r=asin(bk) значение a отвечает за длину лепестков, а значения b – за количество и форму.

замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра. В переводе с древнегреческого  –  недостаток.

Свойства эллипса:

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

     Эллипс имеет центр симметрии.

     Эллипс может быть получен сжатием    окружности.

 плоская трансцендентная кривая.

Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.

Уравнение циклоиды в декартовых координатах:

плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям  соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали. При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным).

 фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Свойства:

Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.

Кривая Коха имеет бесконечную длину.

Кривая Коха не имеет самопересечений.

Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.