Материал к научно-практической конференции
Вложение | Размер |
---|---|
k_konferentsii._matematicheskie_paradoksy_i_sofizmy.docx | 26.26 КБ |
paradoksy_i_sofizmy.pptx | 112.68 КБ |
Школьная ученическая научно-практическая конференция
«Поиск и творчество»
Математические парадоксы и софизмы
доклад
Выполнено учениками 5К2
МАОУ СОШ №24:
Бицанс Данила
Андрющенко Даниил
Дадушина Дарья
Научный руководитель:
Учитель математики
Мавлютова Е.И.
Калининград 2016
Рецензия
на работу «Математические парадоксы и софизмы»
Работы учеников 5 К2 класса Бицанса Д., Андрющенко Д., Дадушиной Д. посвящена интересной теме парадоксов и софизмов. Тема очень увлекательна и содержательна, развивающая познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям.
Ребята исследовали виды парадоксов, разобрали наиболее интересные примеры, а также провели опрос среди 5,6 и 8 классов на умение находить ошибки в софизмах.
Учитель математики __________________ Мавлютова Е.И.
Содержание
Введение ___________________________________________________
Основная часть:
Что такое парадокс______________________________________
Что такое софизм________________________________________
Сравнение софизмов и парадоксов__________________________
Примеры парадоксов_____________________________________
Примеры софизмов ______________________________________
Практическая часть
Заключение
Литература
«Дважды два равно пяти», «Два равно трем» - каждый из нас слышал такие фразы хоть раз в жизни. На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел? Именно эти вопросы мы и решили рассмотреть в своей работе, название которой - Математические парадоксы и софизмы. Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм и пародокс - это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью них люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.
Задачи, связанные с парадоксами и софизмами не похоже на остальные. Они как будто бы правильные, но в то же время неправильные. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука.
Цель нашего доклада: исследование математических софизмов и парадоксов, привлечение интереса учащихся к урокам занимательной математики. Значимость реферата: занимаясь этой работой, мы углубили свои знания в математике.
II. Основная часть.
Что такое парадокс?
В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества) и в повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух, и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов друг»). Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях.
Парадокс – странное умозаключение, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее здравому смыслу, на самом деле справедливо.
Можно выделить математические и логические парадоксы. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.
Логические парадоксы – это парадоксы, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла.
Казалось бы, парадокс – и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер.
Что такое софизм?
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.
Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.
Сравнение софизмов и парадоксов
Из определений можно вывести отличие между софизмом и парадоксом: отношение к истине. Несмотря на то, что и софизм и парадокс доказывают на первый взгляд абсурдные вещи, парадокс это верное утверждение, в то время как софизм изначально ложное. Парадокс – это абсолютная истина, софизм – относительная истина.
Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов. Парадоксальный вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга, в котором оказалось наше рассуждение и искать иной путь.
Примеры парадоксов
Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху: 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс – сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей. Такое рассуждение нельзя применять, так как не определено само понятие «куча».
Умный миссионер сказал: «Вы зажарите меня». Если его действительно зажарят, окажется, что он высказал истину, и значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным, и его следует как раз зажарить. Выхода у людоедов не оказалось: из «зажарить» вытекает «сварить», и наоборот. Миссионера не съели, и все людоеды стали христианами.
Примеры софизмов
Возведем его по частям в квадрат, получим:
1 р. = 10000 к. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
(Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).
4 : 4 = 5 : 5.
Вынесем за скобки общий множитель:
4(1:1) = 5(1:1).
Числа в скобках равны - их можно сократить. Получим: 4 = 5
Или 2*2=5
Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1). Так выносить за скобки нельзя!
35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54
Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.
Получим:
5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)
Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).
Получаем 5 = 6
(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя)
III. Практическая часть
По последнему софизмы (5=6) мы решили провести опрос у учащихся 5,6 и 8 классов. Мы доказали, что 5=6 и спросили, согласны ли они с нашими доказательствами. Результаты опроса следующие:
5 классы:
Согласились - 90%
Заметили, что что-то не так – 10%
Нашли ошибку – 0%
6 классы:
Согласились - 80%
Заметили, что что-то не так – 10%
Нашли ошибку – 5%
8 классы:
Согласились - 10%
Заметили, что что-то не так – 80%
Нашли ошибку – 10%
IV. Заключение
В истории развития математики софизмы и парадоксы играли существенную роль. И. П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.
Исследовать софизмы и парадоксы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.
Нами были рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. А закончить я бы хотел словами Б. Паскаля:
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным»
IV. Литература
1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Москва «Просвещение» 2003.
2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
3. «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.
4. Софизм Эватла (англ.). — в Smith's Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology.
5. Ивин А. А. Логика: Учебное пособие. — 2-е изд. — М.: Знание, 1998.
6. Ресурсы интернета
Слайд 1
Математические парадоксы и софизмы.Слайд 2
Парадокс – странное умозаключение, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее здравому смыслу, на самом деле справедливо . Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.
Слайд 3
Логические парадоксы. Это парадоксы, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла. Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер.
Слайд 4
Софизм. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».
Слайд 5
«Парадокс кучи» Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе . Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху: 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс – сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей. Такое рассуждение нельзя применять, так как не определено само понятие «куча».
Слайд 6
Один рубль не равен ста копейкам Возьмем верное равенство: 1 р. = 100 к., Возведем его по частям в квадрат, получим: 1 р. = 10000 к. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. (Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).
Слайд 7
2 x 2= 5 Имеем числовое тождество: 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки общий множитель: 4(1:1 ) = 5(1:1). Числа в скобках равны - их можно сократить. Получим: 4 = 5 Или 2*2=5 Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1). Так выносить за скобки нельзя!
Слайд 8
Логический парадокс. Миссионер очутился у людоедов и попал к обеду. Они разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого он должен произнести какое-нибудь высказывание с условием, что, если это высказывание окажется истинным, то они его сварят, а если оно окажется ложным, то его зажарят. Умный миссионер сказал: «Вы зажарите меня». Если его действительно зажарят, окажется, что он высказал истину, и значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным, и его следует как раз зажарить. Выхода у людоедов не оказалось: из «зажарить» вытекает «сварить», и наоборот. Миссионера не съели, и все людоеды стали христианами.
Слайд 9
Софизм 5=6 Возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54 Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9) Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5 = 6 (Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).
«Яндекс» открыл доступ к нейросети "Балабоба" для всех пользователей
Как нарисовать черёмуху
Рисуем тыкву
В.А. Сухомлинский. Самое красивое и самое уродливое
Нарисуем попугая цветными карандашами