Изучение различных способов решения уравнений с параметром

Кошкин Матвей Николаевич

МБОУ "СШ № 30 с углубленным изучением отдельных предметов"

11а класс

Научная статья

1. Введение

Актуальность

В  современном мире каждый школьник хочет  получить хорошую, престижную профессию, чтобы в дальнейшем обеспечить свою жизнь. Для всех выпускников очень важно набрать большое количество баллов на ЕГЭ по математике,  так как это  прямым образом влияет на шансы поступить в желаемый ВУЗ. Добиться этого довольно непросто: учебного времени не хватает для углубленной подготовки к заданиям высокого уровня сложности, одним из которых является задание уравнения и неравенства с параметром, приемы и способы решения которых в школьной программе практически не рассматриваются.

На  многих факультетах   ВУЗов нашей страны математика является профильным предметом, поэтому  без баллов, полученных за решение  данного задания,  не обойтись.

Мы изучили результаты исследования Федерального института  педагогических измерений (ФИПИ) и пришли к выводу, что количество учащихся приступивших к заданию с параметром очень мало [3].

 Оказалось, что  по итогам ЕГЭ и  в нашей школе уже несколько лет подряд 100% выпускников не приступают совсем к решению задач с параметром. Меня очень заинтересовал вопрос: почему сложилась такая ситуация? Ведь задания с параметром встречаются не только  в математике. Очень многие законы и закономерности, например, из физики, химии описываются уравнениями и неравенствами с параметрами. Несмотря на это ученики задания с параметром даже не пробуют решать.  

        Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задач с параметром.         Я учусь в социально-гуманитарном классе и имею отметку 5 по математике. Мне хотелось бы набрать хорошие баллы по математике на ЕГЭ. Поэтому мы с моим учителем решили проанализировать способы решения задач с параметром и нами была выдвинута гипотеза: геометрический способ решения уравнений с параметром наиболее рациональный.

Цель работы: изучить  различные способы решения уравнений с параметром.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по  данной теме.
2. Выяснить какие типы задач с параметром давались на экзаменах в прошлые годы, какими методами предполагалось их решать, какими были требования к оформлению.
3. Сравнить аналитический и геометрический способы решения уравнений с параметром.
4. Анализ проделанной работы и выявление дальнейших путей развития данной темы.

Объект исследования: задачи с параметром.

Предмет исследования: различные способы решения задач с параметром.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

        Параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.

        Решением соотношения с параметром, соответствующим некоторому значению параметра, будем называть значение неизвестной, которое при подстановке в соотношение при рассматриваемом значении параметра превращает соотношение в верное числовое соотношение.

        Решить соотношение с параметром - это значит для каждого значения параметра указать соответствующее ему множество решений.

В качестве результата при решении соотношения с параметром должно быть указание для каждого значения параметра множества решений соотношения при данном значении параметра ( возможно, пустого, если решений нет) [2].

 Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром.

 Каковы основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение [1].

Вывод: по мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

2.2. Практическая часть

Исследование № 1

Цель: выяснить какие задания с параметром предлагали на экзамене по математике в прошлые годы.

Ход работы:

1. Рассмотреть реальные варианты ЕГЭ 2010-2015г.

2. Выявить тип заданий, которые чаще встречаются на экзамене и способы их решения.  

Вывод: в демонстрационных вариантах за последние пять лет на сайте ФИПИ авторы предлагают геометрическое решение задач с параметрами [3].

Исследование № 2

Цель: сравнить решение задач с параметром различными способами.

Ход работы:

1. Решить некоторые задачи с параметром представленные на сайте ФИПИ разными способами.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Задача № 1

Решить уравнение

Решение:

1 способ (аналитический):

при любых а, поэтому уравнение будет иметь два корня

Ответ:  при

2 способ (геометрическая интерпретация "переменная-значение")

Построим график функции у=3 - х²

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины параболы (0;3). И проанализируем взаимодействие с ним графиков функций семейства  Это будут прямые с угловым коэффициентом (а+1), проходящие через начало координат.

Проанализируем при каких а появятся пересечения графиков и в каком количестве точек.

3 способ (геометрическая интерпретация "переменная-параметр")

Выразим а через х, т.е. запишем в виде Построим график функции  в декартовых координатах (х;а). затем фиксируя разные значения а,

проводим горизонтальные прямые и наблюдаем, при каких значениях а будут пересечения с графиком

Из рисунка видно, что результат согласуется с полученным аналитическим способом.

Задача № 2

При каких значениях а уравнение имеет единственный корень [2].

Решение:

1 способ (аналитический):

Решение первой системы: при

Решение второй системы: при

Решение третьей системы: при

Решение четвертой системы: при

Ответ: единственный корень уравнение будет иметь при а=2 и а= - 4, х= -1

2 способ (геометрическая интерпретация "переменная-значение")

Построим график функции

И проанализируем взаимодействие с ним графиков функций семейства

а≥0

а<0

Ответ:  единственный корень уравнение будет иметь при а=2 и а= - 4, х= -1

3 способ (геометрическая интерпретация "переменная-параметр")

Выразим а через х и построим график функции в декартовых координатах (х;а)

 и       

Затем, фиксируя разные значения а, проводим горизонтальные прямые и наблюдаем, при каких а будут пересечения.

Ответ:  единственный корень уравнение будет иметь при а=2 и а= - 4, х= -1

Вывод: по нашему мнению, аналитический путь решения данного уравнения приводит к большому объему вычислительной работы. Геометрическая интерпретация "переменная-параметр" достаточно кропотливое занятие. Геометрическая интерпретация "переменная-значение" самая простая и наглядная.

Задача № 3

При каких значениях а уравнение имеет единственный корень [4].

Решение:

1 способ (аналитический):

В данной задаче не приводим, т.к. данный способ приводит к большому объему вычислительной работы

2 способ (геометрическая интерпретация "переменная-значение")

Построим график функции

И проанализируем взаимодействие с ним графиков функций семейства

(1;0) :  4а-ах+2=0 ;а = - 2/3 ; (-3;0): 4а+3а+2=0; а = -2/7

3 способ (геометрическая интерпретация "переменная-параметр")

Выразим а через х

Ответ:

Вывод: аналитический способ приводит к большому объему вычислительной работы, а геометрические интерпретации простые и наглядные.

3. Заключение

Мы изучили теоретический материал по  данной теме. Выяснили, что при решении задач с параметром выпускники пользовались в основном геометрическим методом. В демонстрационных вариантах за последние пять лет на сайте ФИПИ авторы предлагают геометрическое решение задач с параметрами.        В своей работе мы сравнили разные способы решения задач с параметром. И пришли к выводу: по объему работы самое простое решение с использованием плоскости "переменная-значение". Другие два способа предполагают терпение, внимательность и способность к кропотливой подготовке итогового результата. При использовании плоскости "переменная-параметр" надо уметь не только строить графики линейных функций, но и понимать, как поступить для изображения множества точек, удовлетворяющих системе соотношений. Аналитический путь самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Проанализировав проделанную работу, можно сделать вывод, что геометрический способ является наиболее удобным и наглядным для решения.

Моя гипотеза подтвердилась.  Цель моей работы достигнута, задачи выполнены.

4. Литература

1. Голубев В. И., Гольдман А. М., Дорофеев Г. В. О параметрах - с самого начала. Репетитор. 1991. № 2.
2. Дятлов В.Н. Как научить решать задачи с параметрами - М.: Педагогический университет "Первое сентября",2014. -80с.
3. Сайт http://www.fipi.ru/.
4. Семенов А.Л., Ященко И.В. Типовые тестовые задания - М.: Издательство "Экзамен", 2014.-216с.