Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство. При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения. Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций. По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ. Цель: изучить различные способы решения неравенств.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
1. Изучить теоретический материал по данной теме.
2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.
3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.
4. Сравнить различные методы решения неравенств.
5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.
Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.
В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.
Вложение | Размер |
---|---|
nauchnaya_statya.docx | 114.78 КБ |
ivanova.pptx | 857.13 КБ |
Исследование различных методов решения неравенств
Иванова Анастасия Евгеньевна
11б класс
Научная статья (описание работы)
1. Введение
Актуальность.
Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство (рациональное, иррациональное, показательное, логарифмическое). При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения.
Полное правильное решение этого задания оценивается 2 баллами. При решении задачи допустимы любые математические методы - алгебраический, функциональный, графический, геометрический и др.
Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.
По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок допущено участниками экзамена при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель) [3].
Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы на ЕГЭ по математике представлены в таблице 1 и на диаграмме (рис. 1).
Таблица 1
Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы
2015-2016 уч. год | 2016-2017 уч. год | |
Количество учащихся, выполнивших данное задание | 3 | 0 |
Процент учащихся, выполнивших данное задание | 10 % | 0% |
Рис.1. Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы
Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене 11а,б классов в 2017-2018 уч. году представлены в таблице 2 и на диаграмме (рис.2).
Таблица 2
Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене
в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы
Количество учащихся, приступивших к выполнению данного задания | 8 чел. (31%) |
Количество учащихся, выполнивших данное задание | 0 чел. (0%) |
Рис.2. Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы
Мы провели опрос учителей математики нашей школы и выявили основные проблемы, которые возникают у учащихся при решении неравенств: неверное нахождение области допустимых значений неравенств; рассмотрение не всех случаев перехода от логарифмического неравенства к рациональному; преобразование логарифмических выражений; ошибки в использовании метода интервалов и др.
С применением метода интервалов и введением вспомогательной переменной связан ряд типичных ошибок. Так например, ошибка при определении знаков на промежутках или неправильное расположение чисел на координатной прямой, согласно критериям, могут трактоваться как вычислительные ошибки. Другие, связанные с пропуском шагов алгоритма или неверным их выполнением оцениваются 0 баллом.
Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ по математике. В связи с этим нами была выдвинута гипотеза: если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный.
Объект исследования: неравенства.
Предмет исследования: различные способы решения неравенств.
Цель: изучить различные способы решения неравенств.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
2. Основная часть
2.1. Теоретическая часть
1. Линейные неравенства
Линейные неравенства - это неравенства вида: ax+b<0; ax+b>0; ax+b≥0; ax+b≤0, где a и b – любые числа, причем a≠0, x - неизвестная переменная.
Правила преобразования неравенств:
1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный.
2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.
3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный.
2. Квадратные неравенства
Неравенство вида
где x - переменная, a, b, c - числа, , называется квадратным. При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0, квадратное уравнение имеет один корень; 2) D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D<0 квадратное уравнение не имеет корней. В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции (Приложение 1).
3. Рациональные неравенства
Рациональным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида f(x)
4. Показательные неравенства
Показательное неравенство – это неравенство, в котором неизвестное находится в показателе степени. Простейшее показательное неравенство имеет вид:ах ‹ b или ах › b, где а> 0, а ≠ 1, х – неизвестное.
5. Логарифмические неравенства
Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.
1. Неравенство в случае, если сводится к равносильному неравенству . Если же - то к неравенству .
Аналогично неравенство равносильно неравенствам для : ; для : .
Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ:
2. Решение логарифмического неравенства вида равносильно решению следующих систем:
а) б)
Неравенство в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:
а) б)
6. Иррациональные неравенства
Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.
[1].
2.2. Практическая часть
Исследование № 1
Цель: изучить метод ограниченности функций.
Ход работы:
1. Изучить метод ограниченности функций.
2. Решить неравенства данным методом.
Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, ) [2].
Пример № 1. Решить неравенство:
Решение:
Область определения:
Для всех х из полученного множества имеем:
Следовательно, решение неравенства
Ответ:
Пример №2. Решить неравенство:
Решение:
Т.к.
Данное неравенство равносильно
Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению.
Ответ: - 0,4
Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.
Исследование № 2
Цель: изучить метод рационализации решения неравенств.
Ход работы:
1. Изучить метод рационализации.
2. Решить неравенства данным методом.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) v 0 равносильно неравенству F(x) v 0 на области определения выражения F(x) (символ "v" заменяет один из знаков неравенств: ≤, ≥, >, <).
Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G (таблица 1), где f, g, h, p, q - выражения с переменной х (h>0, h≠1,f>0,g>0), a-фиксированное число (а>0, a≠1). (Приложение 2).
Пример № 1. Решить неравенство:
О.Д.З:
Учитывая область определения, получим
Ответ:
Пример № 2. Решить неравенство:
О.Д.З:
Учитывая область определения, получим
Ответ:
Вывод: неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.
Исследование № 3
Цель: в процессе решения неравенств сравнить различные методы.
Ход работы:
1. Решить неравенство разными методами.
2. Сравнить результаты и сделать вывод.
Пример № 1. Решить неравенство
Решение:
1 способ. Алгебраический метод
Решение первой системы:
Решаем второе неравенство второй системы:
2 способ. Использование области определения функции
Область определения:
Для этих значений х получаем:
Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при
Ответ:
3 способ. Графический метод
Вывод: решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.
Пример № 2. Решить неравенство: [2, 4].
Ответ:
Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.
Заключение
Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.
Большинство учащихся решают неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что иногда приводит к громоздким вычислениям. В связи с этим процент выполнения задания № 15 на ЕГЭ невысок.
Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения.
В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.
И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.
Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.
Литература:
Слайд 1
Исследование различных методов решения неравенств Иванова Анастасия Евгеньевна МБОУ «СШ № 30 с углубленным изучением отдельных предметов»Слайд 2
Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы
Слайд 3
Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч . году обучающимися нашей школы
Слайд 4
Гипотеза : если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный Объект исследования : неравенства Предмет исследования : различные способы решения неравенств
Слайд 5
Цель : изучить различные способы решения неравенств. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи : Изучить теоретический материал по данной теме. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений. Изучить функционально-графические методы решения неравенств. Сравнить различные методы решения неравенств. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.
Слайд 6
Исследование № 1 Цель : изучить метод ограниченности функций. Ход работы: 1. Изучить метод ограниченности функций. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1 . Решить неравенство: Решение: Область определения: Для всех х из полученного множества имеем: Следовательно, решение неравенства Ответ:
Слайд 7
Пример №2. Решить неравенство: Решение: Т.к. Данное неравенство равносильно Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению . Ответ: - 0,4 Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.
Слайд 8
Исследование № 2 Цель : изучить метод рационализации решения неравенств. Ход работы: 1. Изучить метод рационализации. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ:
Слайд 9
Пример № 2. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ: Вывод : неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.
Слайд 10
Исследование № 3 Цель : в процессе решения неравенств сравнить различные методы. Ход работы: 1. Решить неравенство разными методами. 2. Сравнить результаты и сделать вывод. Пример № 1. Решить неравенство 1 способ. Алгебраический метод Решение первой системы: Решаем второе неравенство второй системы: 2 способ . Использование области определения функции Область определения: Для этих значений х получаем: Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при
Слайд 11
3 способ. Графический метод Вывод : решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.
Слайд 12
Пример № 2. Решить неравенство: Ответ: Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.
Слайд 13
Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения. В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок. Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.
Слайд 14
Спасибо за внимание!
Гном Гномыч и Изюмка. Агнеш Балинт
Муравьиная кухня
Притча о гвоздях
Рисуем акварелью: "Романтика старого окна"
Сказка "Узнай-зеркала"