Исследование квадратичной функции и решение квадратных уравнений с помощью программы Exсel

Зарубей Анастасия Игоревна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
 "Средняя школа №30 с углубленным изучением отдельных предметов"

8а класс

Научная статья (описание работы)

1. Введение

Актуальность

В этом году на уроках математики мы изучали тему: «Квадратичная функция», а на уроках информатики: «Электронные таблицы». Мы узнали, что электронные таблицы позволяют визуализировать данные в виде диаграммы. Диаграмма наглядно отображает зависимости между данными, что облегчает восприятие и помогает при анализе и сравнении данных. Диаграммы могут быть различных типов. Для каждого набора данных важно правильно подобрать тип создаваемой диаграммы. Для наглядного сравнения различных величин используются линейные диаграммы. Для отображения величин частей некоторого целого применяется круговая диаграмма. А для построения графиков функций используются диаграммы типа график [4].

        Квадратичная функция и квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

        Мы провели опрос учеников 8 класса. В опросе принимало участие 25 человек. Результаты опроса представлены на диаграмме:

Вывод: учащиеся нашего класса редко используют графический метод решения квадратного уравнения.

        Нам захотелось исследовать график квадратичной функции, с помощью программы Excel, нами была выдвинута гипотеза: если обучающийся будет владеть умением построения графиков функций в программе Exсel, то это будет способствовать повышению уровня математической подготовки.

Объект исследования: квадратичная функция.

Предмет исследования: с помощью программы Excel исследовать график квадратичной функции.

Цель работы: с помощью программы Excel обобщить и систематизировать знания о квадратичной функции, её свойствах и графике.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по  данной теме.
2. Исследовать, с помощью программы Excel, график квадратичной функции.
3. Изучить графические способы решения квадратных уравнений.
4. Проверить экспериментальным путем какой  способ решения квадратных уравнений наиболее точный.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

Функцию,

называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола [2].

В электронных таблицах можно не только вычислить значение функции для любого заданного значения аргумента, но и представить функцию в форме таблицы числовых значений аргумента и вычисленных значений функции.

        Заполнение таблицы можно существенно ускорить, если использовать операцию Заполнить. Сначала в первую ячейку строки аргументов вводиться наименьшее значение аргумента (например, в ячейку В1 вводится число - 4), а во вторую ячейку вводится формула, вычисляющая следующее значение аргумента с учётом величины шага аргумента (например, =В1+1). Далее эта формула вводится во все остальные ячейки таблицы с использованием операции Заполнить вправо.

Аналогично, в первую ячейку строки значений функции вводится формула вычисления функции (например, в ячейку В2 вводится формула = В1^2), далее эта формула вводится во все остальные ячейки таблицы с использованием операции Заполнить вправо [4]. Числовое представление квадратичной функции представлено в таблице 1 и на диаграмме (рис.1).

Таблица 1.

Числовое представление квадратичной функции

Рис.1. График функции

2.2. Практическая часть

Исследование № 1

Цель: с помощью программы Excel проанализировать изменение графика функции от коэффициента a.

Ход работы:

1. Построить графики функции с разными коэффициентами a.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Вывод: если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если коэффициент а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Исследование № 2

Цель: с помощью программы Excel проанализировать изменения графика функции от коэффициента b.

Ход работы:

1. Построить графики функции с разными коэффициентами b.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Вывод: если b>0, то  график функции смещается по оси Оу вверх на b единиц, если b<0, график смещается вниз на  b единиц.

Исследование № 3

Цель: с помощью программы Excel проанализировать изменения графика функции от коэффициента m.

Ход работы:

1. Построить графики функции с разными коэффициентами m.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Вывод: если m>0, то график функции смещается по оси Ох влево на m единиц; если m<0, то график смещается по оси Ох вправо на m единиц.

Исследование № 4

Цель: решить квадратное уравнение.

Ход работы:

1. С помощью программы Excel решить квадратное уравнение.
2. Решить уравнение, используя формулы корней квадратных уравнений.
3. Сравнить результаты и сделать вывод.

Пример 1. Решить уравнение

Графическое решение квадратных уравнений

1 способ.

1. Построим график функции .
2. Корнями уравнения  являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: .

2 способ.

1. Преобразуем уравнение к виду .
2. Построим в одной системе координат графики функций . Они пересекаются в двух точках (1;1) и (3;9).
3. Корнями уравнения будут абсциссы, значит, .

 3 способ.

1. Преобразуем уравнение к виду 
2. Построим в одной системе координат графики функций

Они пересекаются в двух точках (1;4) и (3;12).

3. Корнями уравнения будут абсциссы, значит, .

4 способ.

1. Преобразуем уравнение к виду

2.Построим в одной системе координат графики функций . Они пересекаются в двух точках (1;1) и (3;1)

3. Корнями уравнения будут абсциссы, значит, .

5 способ.

1. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим:

2. Построим в одной системе координат гиперболу  и прямую . Они пересекаются в двух точках (1;3) и (3;1).

3. Корнями уравнения являются абсциссы точек, следовательно,  .

 Используя формулы корней квадратных уравнений.

Вывод: первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида , а пятый применим только для уравнений, у которых с≠0. Учащиеся могут выбирать тот способ, который больше им понятен. Графические способы наглядны, но требуют от учащихся знаний графиков функций. С помощью программы Excel решить уравнение проще, чем решать его алгебраическим способом.

Пример 2. Решить уравнение

Графическое решение квадратного уравнения

  Используя формулы корней квадратных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение .

Графическое решение квадратного уравнения

  Используя формулы корней квадратных уравнений.

Вывод: графические способы решения квадратных уравнений наглядны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Используя формулы корней квадратных уравнений можно решить любое квадратное уравнение точно.

Программа Excel позволяет увидеть, что уравнение имеет два корня, но не дает точного значения. Построить  график из примера № 3 в тетради очень сложно из-за больших чисел.

Заключение

        Особенность электронных таблиц заключается в возможности применения формул для описания связи между значениями различных ячеек. Расчёт по заданным формулам выполняется автоматически. Электронные таблицы позволяют обрабатывать большие массивы числовых данных. В отличие от таблиц на бумаге электронные таблицы обеспечивают пересчёт по формулам при введении новых чисел. В математике с помощью электронных таблиц можно представить функцию в числовой форме и построить её график. Электронные таблицы позволяют визуализировать данные в виде диаграмм. Диаграмма наглядно отображает зависимости между данными, что облегчает восприятие и помогает при анализе и сравнении данных [3].

        В своей работе мы изучили теоретический материал по  математике по теме «Квадратичная функция» и информатике: «Электронные таблицы». Исследовали, с помощью программы Excel, график квадратичной функции. Изучили графические способы решения квадратных уравнений. Проверили экспериментальным путем какой  способ решения квадратных уравнений наиболее точный.

        И пришли к выводам:

• если обучающийся будет владеть умением построения графиков функций в программе Exsel, то это будет способствовать повышению уровня математической подготовки;
• несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы можем решить графически, нет.

        Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Литература:

1. Иванова И.А. Информатика. 11 класс: Практикум. - Саратов: Лицей, 2004. - 112 с.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович. - 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010. - 215 с.
3. Симонович С.В. Информатика: Базовый курс / С.В.Симонович и др. - СПб.: Питер, 2001. - 640с.
4. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ. Базовый курс: учебник для 8 класса / Н.Д. Угринович. - 5-е изд. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 205 с.