Софизмы в математике

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

лицей №82 им. А.Н. Знаменского

Исследовательская работа

по математике

на тему:

«Софизмы в математике»

                                                                                               Выполнила: Ходанович Ксения

                                                                                 ученица 10 «Б» класса

                                                                   Руководитель:

                                                                             учитель математики

                                                                 Листопадова

                                                                             Евгения Васильевна

2017 год

Содержание

1. Введение……………………………………………..3
2. Определение софизма………………………………4
3. Кто такие софисты?..................................................7

4. Классификация софизмов по темам математического цикла……………………………………………………8

4.1.Алгебраические софизмы………………………8

4.2.Геометрические софизмы………………………12

4.3. Арифметические софизмы ……………………15

5. Софизмы. Классификация ошибок………………..18

5.1 Логические……………………………………18                                                                                            

5.2. Терминологические..………………………..21                                                                        

6. Софизмы, на которые до сих пор нет ответов…….22

7. Практическая часть………………………………….24

7.Заключение……………………………………………24

9. Литература……………………………………………25

Введение

«Математический софизм - удивительное утверждение,

 в доказательстве которого кроются незаметные,

а подчас и довольно тонкие ошибки.»

Мартин Гарднер

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?

Речь идёт о софизме — преднамеренном, но тщательно замаскированном нарушении требований логики.

Вот примеры довольно простых древних софизмов. «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего». «Лекарство, принимаемое больным, есть добро; чем больше делать добра, тем лучше; значит, лекарство нужно принимать в больших дозах».

Софизмы древних нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Очень часто софизмы ставят в неявной форме проблему доказательства. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения.  История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Софизмы использовались и теперь продолжают использоваться для тонкого, завуалированного обмана. В этом случае они выступают в роли особого приема интеллектуального мошенничества, попытки выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.

      Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм - это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Цель моего исследования: исследование математических софизмов, привлечение интереса учащихся к математическим софизмам.

 Задачи:

1.  Познакомиться с софизмами.

2.  Обобщить найденный материал. 

3.  Выявить ошибки в математических софизмах

4.  Привлечь интерес учащихся к урокам занимательной математики

     Предмет исследования: математические софизмы.

     Методы исследования:

1.  Нахождение и изучение материала

2.  Анализ информации

     Гипотеза: Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы,  правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать чертеж к геометрической задаче, то можно получить  нелепые результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Определение софизма

    Софи́зм (от греч. - мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) - ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.

Аристотель  называл  софизмом  «мнимые  доказательства»,  в  которых  обоснованность заключения  кажущаяся  и  обязана  чисто  субъективному  впечатлению,  вызванному недостаточностью  логического  или  семантического  анализа.  Убедительность  на  первый взгляд  многих  софизмов,  их  «логичность»  обычно  связана  с  хорошо  замаскированной ошибкой — семиотической. За счёт метафоричности речи, омонимии или полисемии слов, амфиболий  и  прочих,  нарушающих  однозначность  мысли  и  приводящих  к  смешению значений  терминов,  или  же  логической:  подмена  основной  мысли (тезиса)  доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил  логического  вывода),  использование  «неразрешённых»  или  даже  «запрещённых» правил  или  действий,  например  деления  на  нуль  в  математических  софизмах  (последнюю ошибку можно считать и семиотической, так как она связана с соглашением о «правильно построенных формулах») происходит нарушение правил логики.

Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.

А  вот  современный  софизм,  обосновывающий,  что  с  возрастом  «годы  жизни»  не  только кажутся, но и на самом деле короче: «Каждый год вашей жизни — это её 1/n часть, где n — число прожитых вами лет. Но n + 1>n. Следовательно, 1/(n + 1)< 1/n».

Исторически  с  понятием  «Софизм»  неизменно  связывают  идею  о  намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший  аргумент  как  наилучший  путём  хитроумных  уловок  в  речи,  в  рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. (Известно, что сам Протагор  оказался  жертвой  «софизма  Эватла».)  С  этой  же  идеей  обычно  связывают  и «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины. Уже Платон заметил то, что основание не должно заключаться в субъективной воле человека, иначе  придётся  признать  законность  противоречий  (что,  между  прочим,  и  утверждали софисты),  а  поэтому  любые  суждения  считать  обоснованными.  Эта  мысль  Платона  была развита  в  аристотелевском  «принципе  непротиворечия»,  уже  в  современной  логике,  —  в истолкованиях  и  требовании  доказательств  «абсолютной»  непротиворечивости. Перенесённая  из  области  чистой  логики  в  область  «фактических  истин»,  она  породила особый  «стиль  мышления»,  игнорирующий  диалектику  «интервальных  ситуаций»,  то  есть таких  ситуаций,  в  которых  критерий  Протагора,  понятый,  однако,  более  широко,  как относительность  истины  к  условиям  и  средствам  её  познания,  оказывается  весьма существенным.  Именно  поэтому  многие  рассуждения,  приводящие  к  парадоксам  и  в остальном  безупречные,  квалифицируются  как  софизмы,  хотя  по  существу  они  только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Так, софизм «куча» «Одно зерно — не куча. Если n зёрен не куча, то n + 1 зерно — тоже не куча. Следовательно,  любое  число  зёрен  —  не  куча»)  —  это  лишь  один  из  «парадоксов транзитивности», возникающих в ситуации «неразличимости». Последняя служит типичным примером  интервальной  ситуации,  в  которой  свойство  транзитивности  равенства  при переходе от одного «интервала неразличимости» к другому, вообще говоря, не сохраняется, и поэтому  принцип  математической  индукции  в  таких  ситуациях  неприменим.  Стремление рассматривать  в  этом  свойственное  опыту  «нетерпимое  противоречие»,  которое математическая  мысль  «преодолевает»  в  абстрактном  понятии  числового  континуума  (А. Пуанкаре),  не  обосновывается,  однако,  общим  доказательством  устранимости  подобного рода  ситуаций  в  сфере  математического  мышления  и  опыта.  Достаточно  сказать,  что  5 описание  и  практика  применения  столь  важных  в  этой  сфере  «законов  тождества» (равенства)  так  же,  вообще  говоря,  как  и  в  эмпирических  науках,  зависит  от  того,  какой смысл вкладывают в выражение «один и тот же объект», какими средствами или критериями отождествления  при  этом  пользуются.  Другими  словами,  идёт  ли  речь  о  математических объектах  или,  к  примеру,  об  объектах  квантовой  механики,  ответы  на  вопрос  о  тождестве неустранимым  образом  связаны  с  интервальными  ситуациями.  При  этом  далеко  не  всегда тому  или  иному  решению  этого  вопроса  «внутри»  интервала  неразличимости  можно противопоставить  решение  «над  этим  интервалом»,  то  есть  заменить  абстракцию неразличимости абстракцией отождествления. А  только в этом последнем случае и можно говорить о «преодолении» противоречия.

По-видимому, первыми, кто понял важность семиотического анализа софизмов, были сами софисты.  Учение  о  речи,  о  правильном  употреблении  имён  Продик  считал  важнейшим. Анализ  и  примеры  софизмов  часто  встречаются  в  диалогах  Платона.  Аристотель  написал специальную книгу «О софистических опровержениях», а математик Евклид — «Псевдарий» —  своеобразный  каталог  софизмов  в  геометрических  доказательствах.

Кто такие софисты?

Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (V век) появляются  так  называемые  учителя  красноречия,  которые  целью  своей  деятельности считали  и  называли  приобретение  и  распространения  мудрости,  вследствие  чего  они именовали  себя  софистами.  Но  суть  деятельности  софистов  много  больше,  чем  простое обучение  искусству  красноречия.  Они  обучали  и  просвещали  древнегреческий  народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться  во  всяком  деле.  Но  софисты  не  были  учеными.  Умение,  которое  должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные  точки  зрения.  Основным  направление  деятельности  софистов  стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.

  Пути философской мысли в разные эпохи имеют нечто общее: так, в частности, на смену  универсальным  моделям  бытия  приходят,  как  правило,  учения,  которые  восстают против  метафизики,  ссылаясь  на  ограниченность  человеческого  познания.  За  Декартом  и Лейбницем пришел Кант, за Гегелем и материалистами XIX в.— позитивизм. То же самое мы видим и в Греции. Натурфилософия во всех ее видах перестала удовлетворять разум. Сама она раздиралась борьбой догматических систем. Даже то немногое, что сохранилось от книг до  сократовских  мыслителей,  несет  следы  ожесточенной  полемики:  Гераклит  нападает  на Пифагора и Ксенофана, Демокрит опровергает Парменида, элеаты воюют со всеми теориями множественности и т. д. Понятно, что должны были появиться люди, которые предложили бы своего рода «колумбово решение» споров: если все школы противоречат друг другу, то не являются ли их теории о Первооснове и мире тем, что сами они называют «мнением»?

Софисты, однако, оказали невольную услугу греческой мысли, расшатав привычные каноны  мышления,  изощрив  искусство  анализа,  но в  итоге  они  пришли  к  самоотрицанию философии. И это было вполне закономерно. Раз действительность испарилась, зачем вообще нужны рассуждения о мире и последовательный взгляд на вещи? Главное — это подбирать наиболее убедительные и красивые аргументы в споре, чтобы суметь защитить любой тезис. Все  сводится  к  методу  изложения.  Софисты  недвусмысленно  называли  его  «гражданской наукой» и очень часто в спорах стремились лишь запутать противника. Ведь если истины нет, то важнее всего одержать верх в словопрениях.

Наиболее известна деятельность софистов Протагора из Абдебы, Горгия из Леонтип, Гиппия  из  Элиды  и  Продика  из  Кеоса.  Наиболее  уважаемым  из  философов,  имеющих отношение к софистке, был Сократ(469-399 гг. до н. э.). Он активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать их учение, софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики Ксенофонт и Платон.

Классификация софизмов по темам математического цикла

В математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математики. Математические софизмы делятся на алгебраические и геометрические.

Алгебраические софизмы

        Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений:

х+2у=6, (1)

у=4- х/2 (2)

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6

Где же ошибка???

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система за-пишется в виде:

Х+2у=6,

Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2. «Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

а/-c и -а/c

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a/-c=-a/c

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

Где ошибка???

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

3. Дважды два - пять!

Сейчас мы вместе с вами докажем, что дважды два равно пяти. Это можно сделать буквально на пальцах:

Имеем равенство:

16 - 36 = 25 - 45       (1)

Прибавим к левой и правой части 81/4:

16 - 36 + 81/4 = 25 - 45 + 81/4        (2)

Преобразуем выражение:

4*4 - 2*4*9/2 + (9/2)*(9/2) = 5*5 - 2*5*9/2 + (9/2)*(9/2)       (3)

Теперь можно заметить, что в левой и правой части выражения (3) записаны произведения вида:

a2-2ab+b2, то есть, квадрат разности: (a-b)2. В нашем случае слева a=4, b=9/2, а справа a=5, b=9/2. Поэтому перепишем выражение (3) в виде квадратов разности:

(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2       (4)

А следовательно,

4 - 9/2 = 5 - 9/2       (5)

И наконец, получаем долгожданное равенство:

4 = 5

или, если угодно,

2*2 = 5

Попробуйте объяснить, как это возможно, что дважды два равно пяти?

Ответ:

В преобразования, разумеется, закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведенных в квадрат: они могут быть противоположны друг другу, как в нашем случае: 4-9/2 равно -1/2, а 5-9/2 равно 1/2. А квадраты этих значений одинаковы.

4. Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a). Разделив обе части на (a – a), получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя.

5. Чётное число равно нечётному.

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество , в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: ,

или в таком:,

Откуда следует, что , или 2n=2n+1,

что означает равенство чётного числа нечётному.

Разбор софизма. Из равенства квадратов не следует равенство величин.

6. Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.

Возьмём произвольное не равное нулю число a и напишем уравнение x=a. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах=. Прибавляя к обеим частям последнего равенства  и перенеся член  влево с противоположным знаком, получим , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем

, или х-2а=х. Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а=а, или -а=а, откуда 0=а+а, т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

Разбор софизма. Когда мы имеем полный квадрат , то /х-2а/=/х/, а так x=a, то 2а-x=x.

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

1.Загадочное исчезновение.

У нас есть произвольный прямоугольник (приложение 1), на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?

Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.

2.Земля и апельсин.

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор. Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?

Разбор софизма. Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2p и радиус апельсина r = c/2 p. После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2p и (c + 1)/2 p. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же. (C + 1)/2p - C/2p = 1/2p - для Земли, (c + 1)/2p - c/2p = 1/2p - для апельсина. Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор в 1/2p метра (примерно 16 см)

3.Два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, можно провести два перпендикуляра к этой прямой (приложение2) . С этой целью возьмём треугольник ABC. На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE ^ AC и BD ^ AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC. В чём ошибка?

Разбор софизма. Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.

4. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. Где ошибка??

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

4. “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению.

Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ, т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

В софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит:

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

5. “Окружность имеет два центра”

Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, восстановим из них перпендикуляры к сторонам угла . Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ). Обозначим их точку пересечения буквой F.

Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G (точки пересечения сторон угла ABC с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF.

Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности.

Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О и О19 делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.

Ошибка здесь кроется в неправильно построенном чертеже. На самом деле окружность, проведенная через точки Е, F и, обязательно пройдет через вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D обязательно должны лежать на одной окружности. Тогда, конечно, никакого софизма не возникает.

Действительно, восстановив перпендикуляры в точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно и продолжив их до взаимного пересечения в точке F, получаем четырехугольник BEFD. У этого четырехугольника сумма двух его противоположных углов BEF и BDF равна 180°. Но согласно известному в геометрии утверждению вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 180°.

Отсюда следует, что все вершины четырехугольника BEFD должны принадлежать одной окружности. Поэтому точки G и Н совпадут с точкой В и у окружности окажется, как и должно быть, один центр.

Арифметические софизмы

1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что                                                                  А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему:

                        А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда     А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10. Где ошибка??

Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2).

Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А

2. «Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

        Если a=b, c=d, то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

                                             1 р.=100 коп,  (1)

                                             10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

                                             10 р.=100000 коп.     (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

                                              1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.      Где ошибка??

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство                              

                       10 р.  =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает                   1 р.  = 10 000 коп.,         (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма. Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство     1р.=100 коп.

«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».

Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А>-В и В>-В.       (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что  

                                   А>В.              (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

                       В>-А и А>-А,           (3)

Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.  Где ошибка??

Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

                     (А+В)(В+В)>0, или А>-В,

что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.

Софизмы. Классификация ошибок

Логические софизмы

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической  форме (Силлогизм - тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

1.  Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».

2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы - против наказания её, значит, вы находите её невинной».

3. Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

4. Особенно распространённая ошибка «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum),  то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы –  простые тела, бронза - металл: бронза - простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

В софизмах есть смутное предвосхищение многих конкретных законов логики, открытых гораздо позднее. Особенно часто обыгрывается в них тема недопустимости противоречий в мышлении.

— Скажи, может одна и та же вещь иметь какое-то свойство и не иметь его?
— Очевидно, нет.
— Посмотрим. Мед сладкий?
— Да.
— И желтый тоже?
— Да, мед сладкий и желтый. Но что из этого?
— Значит, мед сладкий и желтый одновременно. Но желтый — это сладкий или нет?
— Конечно, нет. Желтый — это желтый, а не сладкий.
— Значит, желтый — это не сладкий?
— Конечно.
— О меде ты сказал, что он сладкий и желтый, а потом согласился, что желтый значит не сладкий, и потому как бы сказал, что мед является сладким и не сладким одновременно. А ведь вначале ты твердо говорил, что ни одна вещь не может и обладать и не обладать каким-то свойством.

Конечно, софисту не удалось доказать, что мед имеет противоречащие друг другу свойства, являясь сладким и несладким вместе. Подобные утверждения невозможно доказать: они несовместимы с логическим законом противоречия, говорящим, что высказывание и его отрицание (“мед сладкий” и “мед не является сладким”) не могут быть истинными одновременно.

1. «Полупустое и полуполное»

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

2. «Лекарства»

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

3. «Вор»

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

4.«Отец — собака»

«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят».

5.«Рогатый»

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

6 .«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

7. Девушка — не человек.

Доказательство от противного. Допустим, девушка — человек. Девушка — молодая, значит девушка — молодой человек. Молодой человек — это парень. Противоречие. Значит,  девушка — не человек.

8.Чётное и нечётное

5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа нечётные.

9.Не знаешь то, что знаешь

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить.

А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

А вот несколько примеров современных софизмов:

1. «Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность — это, очевидно, не ответственность, а ответственность — не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».

2. «Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».

Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum) предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:

1. Ошибка гомонимия (лат. aequivocatio), например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.

2. Ошибка сложения - когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 р в том смысле, что сумма меньше 2 р.

3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: "все углы треугольника равны 2 р" в смысле "каждый угол равен сумме 2 прямых углов".

4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.

         Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:

1. «Предвосхищение Основания»

 (лат. petitio principii) ошибка логическая в доказательстве, заключающаяся в том, что в качестве аргумента (основания), обосновывающего тезис, приводится положение, которое хотя и не является заведомо ложным, однако нуждается в доказательстве.

2. «Подмена Тезиса»

      (лат. ignoratio elenchi)  логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом. При этом происходит нарушение закона тождества по отношению к тезису: тезис на всем протяжении доказательства должен оставаться одним и тем же. Опасность этой ошибки заключается в том, что благодаря сходству доказанного положения с тезисом создается иллюзия о доказанности именно тезиса.

3. «A dicto secundum ad dictum simpliciter»

 Выражение, следующее от простого,  представляет заключение от сказанного с оговоркой к утверждению, не сопровождаемому этой оговоркой.

4. «Non sequitur»

представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Софизмы, на которые до сих пор нет ответов

1.  «Ахиллес никогда не догонит черепаху».

Образ Ахиллеса взят из «Илиады» Гомера, где герой Ахиллес неоднократно именуется «быстроногим». Сюжет софизма напоминает безуспешную погоню Ахиллеса за Гектором:

«Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно. Словно как пёс по горам молодого гонит оленя…»

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых  героев,  осаждавших  древнюю  Трою,  никогда  не  догонит  черепаху,  которая,  как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот  примерная  схема  рассуждений  Зенона.  Предположим,  что  Ахиллес  и  черепаха начинают  движение  одновременно,  и  Ахиллес  стремится  догнать  черепаху.  Примем  для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда  Ахиллес  пробежит  расстояние  в  100  шагов,  отделяющие  его  от  того  места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он уже её не застанет, так как она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес пробежит и эти 10 шагов, то и там черепахи уже  не  будет,  поскольку  она  успеет  перейти  на  1  шаг  вперёд.  Достигнув  и  этого  места, Ахиллес  опять  не  найдёт  там  черепахи,  потому  что  она  успеет  пройти  расстояние,  равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, Что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.

Где ошибка?

Рассматриваемый  софизм  Зенона  даже  на  сегодняшний  день  далёк  от  своего окончательного  разрешения.  Вот  некоторые  его  аспекты,  указанные  в  книге  Мадера  А.  Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы»: «Сначала  определим  время  t,  за  которое  Ахиллес  догонит  черепаху.  Оно  легко находится из уравнения a+vt=wt, где a – расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/сек и w=10 шагов/сек) равно 11,111111… сек.

Другими словами, примерно через 11,1 сек. Ахиллес догонит черепаху.

Подойдём  теперь  к  утверждениям  софизма  с  точки  зрения  математики.  Проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдёт черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдёт m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс ещё один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Итак,  путь,  пройденный  Ахиллесом,  состоит  из  бесконечной  последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений. Трудности, которые возникают при оперировании понятиями «непрерывного» и  «бесконечного»  до сих пор не определены, а разрешение  противоречий,  содержащихся  в  них,  послужило  более  глубокому  осмыслению основ математики».

В действительности, трудно представить себе Ахиллеса, бежащего расстояние в одну тысячную миллиметра. Таким образом, становится совершенно ясно, что этот софизм Зенона оказывается правильной в теории, но абсолютно неверной в практике.

 Практическая часть

Я решила познакомить учащихся нашего лицея с математическими софизмами. Результат своей работы я записала на видео.

Так же я провела опрос и выяснила, что из 48 опрошенных , знают о софизмах 27% учащихся, 73% впервые узнали о них из моей исследовательской работы. 12% заинтересовала эта тема и они продолжат изучать её самостоятельно.

Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но, тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм, решить его и найти ошибку получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. Поначалу я думала, что софизмы бывают исключительно математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой области, я поняла, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненность его рассуждений. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. Благодаря софизмам и парадоксам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научиться грамотно, строить свои рассуждения и логические объяснения. Если есть желание, то можно стать искусным софистом, добиться исключительного мастерства в искусстве красноречия или просто на досуге проверить свою смекалку.

Литература

1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
3. «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.
4. «Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство "Молодая гвардия", 1978 г.
5.   А.Г.  Мадера,  Д.А.  Мадера  «Математические  софизмы»,  Москва,  «Просвещение», 2003г.
6.   Ф.Ф.  Нагибин,  Е.С.  Канин  «Математическая  шкатулка»,  Москва,  «Просвещение», 1988г.
7.   Савин А. П. «Энциклопедический словарь юного математика», Москва, «Педагогика», 1989г.

     8.  ru.wikipedia.org

     9.   Брадис  В.  М.,  Минковский  В.  Л.,  Харчева  Л.  К.  «Ошибки  в математических рассуждениях»

    10.  Пельман Я. И. «Занимательная математика»

    11.  «Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998

    12. Игнатьев  Е.И.  «Математическая  смекалка.  Занимательные  задачи, игры,  фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.

    13. Лямин А. А., «Математические парадоксы и интересные задачи». –Москва, 1911