учебный проект "УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ:

«УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Авторы: Тойлонов Аргымай,

                 Тойлонов Эркей

                 обучающиеся 8 класса

руководитель: Тойлонова Надежда Владимировна, учитель математики.

Сроки реализации проекта:

с 13.12.2017 по 13.02. 2018 г. 

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

А с 2013 года аттестация по математике при окончании основной школы  проводится в форме ОГЭ. Как и ЕГЭ, ОГЭ  призвана проводить аттестацию не только по алгебре, но и по всему курсу математики основной школы.  

Львиная доля заданий, так или иначе сводятся к составлению уравнений и их решений. Чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопросы:  «Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ? » и «Какие существуют способы решения данных уравнений?»

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник  со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

План работы над проектом:

1. Формулирование темы проекта.
2. Подбор материала из официальных источников по заданной теме.
3. Обработка и систематизация информации.
4. Реализация проекта.
5. Оформление проекта.
6. Защита проекта.

Проблема: углубить представления об уравнениях. Показать  основные методы решения уравнений, представленных в заданиях ОГЭ в первой и второй части.

 Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый. В проект включены: линейные уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, так же задачи, решаемые уравнением, все виды квадратных уравнений и методы решения рациональных уравнений.

Математика... выявляет порядок, симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Итак, что такое уравнение?

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной  неизвестное обычно обозначают буквой «х». Значение «х», удовлетворяющее данным условиям, называют корнем уравнения.

Уравнения бывают разных видов:

ax + b = 0. - Линейное уравнение.
ax2 + bx + c = 0. - Квадратное уравнение.
ax4 + bx2 + c = 0. - Биквадратное уравнение.

  – Рациональное уравнение.

 – Иррациональное уравнение.
Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. Решение уравнений, пусть это и сложно, захватывает нас. Ведь это, действительно, удивительно, когда от одного неизвестного числа зависит целый поток чисел.

В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Глава 1 Решение уравнений

1.1 Решение линейных уравнений.

Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений. Вспомним, что уравнение вида  называется линейным уравнением или уравнением первой степени так как при переменной «х» старшая степень находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1. Решите уравнение 3x+3=5x 

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в правую часть от знака равенства:

3x – 5x = – 3

-2x=-3

x=1,5  

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Ответ: 1,5.

Решения уравнений методом  переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2. Решите уравнения:

а) 6x+1=− 4x;      б) 8+7x=9x+4;       в) 4(x−8)=− 5.

Решение.

а) Методом переноса решаем

 6x + 4 x = ─1;

10 x=─1;

x=─1:10;

x=─0,1.

Проверка:

Ответ: –0,1

б) Аналогично предыдущему примеру решаем методом переноса:

Ответ: 2.

в) В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Ответ: 6,75.

1.2 Квадратные уравнения

Уравнение вида  называют квадратным уравнением, где a – старший коэффициент, b – средний коэффициент, с – свободный член.

В зависимости от коэффициентов а, b и с – уравнение может быть, полным или не полным, приведенным или не приведенным.

1.2.1 Неполные квадратные уравнения

Рассмотрим способы решения неполных квадратных уравнений:

1)  Начнем  разобраться с решением первого вида неполных квадратных уравнений при c=0. Неполные квадратные уравнения вида a·x2+b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители. В частности метод вынесения за скобки.

Очевидно, мы можем , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x. Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида: x·(a·x+b)=0.

А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 или a·x+b=0, последнее из которых является линейным и имеет корень x=−.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 имеет два корня 

x=0 и x=−.

2)  Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0, то есть, уравнения вида a·x2+c=0. Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x2+c=0:

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c,
• и разделить обе его части на a, получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях.

Если число  – отрицательное, то уравнение  не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если же   – положительное число, то дело с корнями уравнения  обстоит иначе. В этом случае, нужно вспомнить, что корень уравнения есть, им является число. Корень уравнения вычисляется по схеме:

Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное равенство. 

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение  a·x2+c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня, если .

3) Решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x2=0. Уравнению a·x2=0 следует  x2=0, которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Очевидно, корнем уравнения x2=0 является нуль, так как02=0. Других корней это уравнение не имеет.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.

Пример 3. Решите уравнения: а) x2=5x, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них;  

б) , если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите больший из них;      

в) x2 −9=0, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

Решение.

a)

 получили неполное квадратное уравнение к котором отсутствует свободный член. Решаем методом вынесения за скобки.

Уравнение умеет два корня, меньшее из которых является 0.

Ответ: 0.

б) . Аналогично предыдущему примеру применяем метод вынесения за скобки

.

В ответе необходимо указать больший из корней. Таковым является число 2.

Ответ: 2.

в) . Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, у которого отсутствует средний коэффициент.

Меньшим из данных корней является число – 3.

Ответ: –3.

1.2.2 Полные квадратные уравнения.

1. Дискриминант, основная формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений вида  существуют формула корней.

Запишем формулу корней квадратного уравнения пошагово: 

1)  D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D<0, то уравнение не имеет два корня:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения. Чтобы решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, надо:

• по формуле дискриминанта D=b2−4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

2. Дискриминант, вторая формула корней квадратного уравнения (при четном втором коэффициенте).

Для решения квадратных уравнений вида , при четном коэффициенте b=2k  существуют другая формула.

Запишем новую формулу корней квадратного уравнения при : 

1)  D’=k2−a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D’<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D’>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D’<0, то уравнение не имеет два корня:

Пример 4.  Решите уравнение 2x2 −3x+1=0.. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=2,b=-3 и c=1. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D=b2−4·a·c=(-3)2−4·2·1=9-8=1. Так как 1>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

У нас получилось два корня больший из которых является число 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решите уравнение x2 −21=4x.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. По аналогии с предыдущим примером перенесем 4ч в левую сторону от знака равенства  и получим:

В данном случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1, k=-2 и c=−21. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D’=k2−a·c=(-2)2−1·(−21)=4+21=25. Число 25>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

Ответ: 7.

1.2.3 Частные методы решения квадратных уравнений.

1) Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета.

Формула корней квадратного уравнения  выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известной и применимой формулой называемой Теоремой Виета.

Теорема: Пусть  - корни приведенного квадратного уравнения . Тогда произведение корней равна свободному члену, а сумма корней противоположному значению второго коэффициента:

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пример 6. а) Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

б) Решите уравнение x2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

в) Решите уравнение x2 ─5x─14=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение.

а) Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем меньший из корней

Ответ: 1

б) Решите уравнение x2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем больший из корней

Ответ: ─2.

в) Решите уравнение x2 ─5x─14=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

Рассуждая логически делаем вывод, что . Выбираем меньший из корней

Ответ: ─2.

1.3 Рациональные уравнения

Если вам дано уравнение  с дробями вида   с переменной в числителе или в знаменателе, то такое выражение называется рациональным уравнением.  Рациональное уравнение – это любое уравнение, которое включает в себя не менее одного рационального выражения. Решаются рациональные уравнения так же, как любые уравнения: выполняются те же операции с обеих сторон уравнения, пока переменная не обособляется на одной стороне уравнения. Тем не менее, есть 2 метода решения рациональных уравнений.

1) Умножение крест-накрест. При необходимости перепишите данное вам уравнение так, чтобы на каждой его стороне находилась одна дробь (одно рациональное выражение); только в этом случае вы сможете воспользоваться методом умножения крест-накрест.

      Умножьте числитель левой дроби на знаменатель правой. Повторите это с числителем правой дроби и знаменателем левой.

• Умножение крест-накрест основано на основных алгебраических принципах. В рациональных выражениях и других дробях можно избавиться от числителя, соответственно перемножив числители и знаменатели двух дробей.
• Приравняйте полученные выражения и упростите их.
• Решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Если «х» находится с обеих сторон уравнения, обособьте его на одной стороне уравнения.

2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

• Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.
• Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби.
• Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

Пример 7.  Решите уравнения: а)  ;  б)    в)  .

 Решение.

а)  . Применяем метод умножения крест накрест.

 раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

 получили линейное уравнение с одной неизвестной

Ответ: ─10.

б) , аналогично предыдущему примеру применяем метод умножения крест на крест.

Ответ: ─1,9.

в) , применяем метод наименьшего общего знаменателя (НОЗ).

В данном примере общий знаменатель будет 12.

;

Ответ: 5.

Глава 2  Сложные уравнения

Уравнения, относящиеся к категории сложных уравнений, могут сочетать в себе различные методы и приемы решения. Но, так или иначе, все уравнения методом логических рассуждений и равносильных действий приводят к уравнениям, которые ранее были изучены.

Пример 7.  Решите уравнение(x+3)2 =(x+8)2.

Решение. По формулам сокращенного умножения раскроем скобки:

  переносим все члены за знак равентсва и приводим подобные,

.

Ответ: 5,5.

Пример 8. Решите уравнения:   а)(− 5x+3)(− x+6)=0, б) (x+2)(− x+6)=0.

Решение.

а)(− 5x+3)(− x+6)=0; раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

 получили полное квадратное уравнение, которое будем решать через первую формулу дискриминанта

 уравнение имеет два корня

 Ответ: 0,6 и 6.

б) (x+2)(− x+6)=0, для данного уравнения сделаем логические рассуждения (произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю). Значит

.

Ответ: ─2 и 6.

Пример 9. Решите уравнения: ,   б) .

Решение. Найдем наименьший общий знаменатель

а)  

 запишем в порядке убывания степеней переменной

; получили полное квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

 уравнение имеет два действительных корня

Ответ: .

б) . Рассуждения аналогичны а). Находим НОЗ

  Раскрываем скобки приводим подобные слагаемые

 решаем полное квадратное уравнение через общую формулу

; .

Ответ:  .

Пример 10. Решите уравнения:

а)

Решение.

а), Замечаем, что в левой части выражение внутри скобок представляет собой формулу сокращенного умножения, точнее квадрат суммы двух выражений. Преобразуем его

; перенесем  члены данного уравнения в одну сторону

 вынесем за скобки

 произведение  равно нулю когда один из множителей равен нулю. Значит,

.

Ответ: ─2, ─1 и 1.

б) Рассуждаем так же как и для примера а)

;

,         по теореме Виета

.

Ответ:

Пример 11.  Решите уравнения а)

Решение.

а) ;  [в левой и правой части уравнения можно применить метод вынесения за скобки, причем в левой части вынесем , а в правой части вынесем число 16.]

  [перенесем все в одну сторону и еще раз применим метод вынесения за скобки. Выносить будем общий множитель ]

  [произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.]

 .

Ответ:

б) . [Данное уравнение подобно уравнению а). Поэтому в данном случае применим метод группировки]

Ответ:

Пример 12.  Решите уравнение =0.

Решение.

=0 [биквадратное уравнение. Решается методом замены переменной ].

=0;  [Применяя теорему Виета получаем корни]

. [возвращаемся к предыдущим переменным]

Ответ:

Пример 13. Решите уравнение  

Решение.  [биквадратное уравнение, избавляемся от четной степени, применяя знаки модуля.]

 [получили два квадратных уравнения, которые решаем через основную формулу корней квадратного уравнения]

действительных корней нет                     уравнение имеет два корня

Ответ:  

Пример 14. Решите уравнение

Решение.

ОДЗ:

 [переносим все члены уравнения левую сторону и приведем подобные слагаемые]

 [получили приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета]

Число – 1 не удовлетворяет ОДЗ заданного уравнения, поэтому он не может быть корнем данного уравнения. Значит, корнем является только число 7.

Ответ: 7.

Пример 15. Решите уравнение  

Решение.

Сумма квадратов двух выражений может быть равна нулю только в том случае, когда выражения равны нулю одновременно. А именно

 [Решаем каждое уравнение по отдельности]

             По теореме Виета

Совпадение корней  равных –5 и будет являться корнем уравнения.

Ответ: – 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проделанной работы можно сделать вывод: уравнения играют огромную роль в развитии математики. Мы систематизировали полученные знания, обобщили пройденный материал. Эти знания могут подготовиться нам к предстоящим экзаменам.

Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

• по окончании проекта мы систематизировали и обобщили изученные ранее способы решения уравнений;
• познакомились с новыми способами решения уравнений и свойствами уравнений;

• рассмотрели все виды уравнений, которые есть в заданиях ОГЭ как в первой части, так и во второй части.
• Создали методический сборник «Уравнения в заданиях ОГЭ».

Считаем, что цель поставленную перед нами – рассмотреть все виды уравнений в заданиях основного государственного экзамена по математике мы достигли.

Список использованной литературы:

1. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире». Москва «Просвещение»  1980 г.

2. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука» 1978 г.

3. www.wikipedia.ru 

4. www.proshkolu.ru.

5. www.1september.ru

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8.  http://www.fipi.ru

9. https://oge.sdamgia.ru

Приложение 1

Линейные уравнения

1. Найдите корень уравнения 

2. Найдите корень уравнения 

3. Найдите корень уравнения 

Приложение 2

Неполные квадратные уравнения

1. Решите уравнение x2=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

2. Решите уравнение 2x2=8x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

3. Решите уравнение 3x2=9x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4. Решите уравнение 4x2=20x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение 5x2=35x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

6. Решите уравнение 6x2=36x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

7. Решите уравнение 7x2=42x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

8. Решите уравнение 8x2=72x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

9. Решите уравнение 9x2=54x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

10. Решите уравнение 10x2=80x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

11. Решите уравнение 5x2 −10x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший  из корней.

12. Решите уравнение 3x2 −9x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

13. Решите уравнение 4x2 −16x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

14. Решите уравнение 5x2 +15x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение 3x2 +18x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

16. Решите уравнение 6x2 +24x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

17. Решите уравнение 4x2 −20x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

18. Решите уравнение 5x2 +20x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

19. Решите уравнение 7x2 −14x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение 3x2 +12x=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

21. Решите уравнение x2 −9=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение x2 −121=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

23. Решите уравнение x2 −16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

24. Решите уравнение x2−25=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

25. Решите уравнение x2 −49=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

26. Решите уравнение x2 −81=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение x2 −4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

28. Решите уравнение x2 −64=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение x2 −36=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

30. Решите уравнение x2  −144=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

31. Решите уравнение x2 −9=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

32. Решите уравнение x2 −121=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

33. Решите уравнение x2 −16=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

34. Решите уравнение x2 −25=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

35. Решите уравнение x2 −49=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

36. Решите уравнение x2 −81=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

37. Решите уравнение x2 −4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

38. Решите уравнение x2 −64=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

39. Решите уравнение x2 −36=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

40. Решите уравнение x2 −144=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 3

Полные квадратные уравнения

1. Решите уравнение x2 +3x=10. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

2. Решите уравнение x2 +7x=18. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

3. Решите уравнение x2 +2x=15. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4. Решите уравнение x2 −6x=16. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение x2 −3x=18. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

6. Решите уравнение x2 −18=7x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

7. Решите уравнение x2 +4x=21. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

8. Решите уравнение x2 −21=4x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

9. Решите уравнение x2 −15=2x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

10. Решите уравнение x2 −5x=14. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

11. Решите уравнение x2 +6=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

12. Решите уравнение x2 +4=5x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

13. Решите уравнение x2 −x=12. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

14. Решите уравнение x2 +4x=5. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение x2 −7x=8. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

16. Решите уравнение x2 +7=8x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

17. Решите уравнение x2 +18=9x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

18. Решите уравнение x2 +10=7x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

19. Решите уравнение x2 −20=x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший  из корней.

20. Решите уравнение x2 −35=2x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

21. Решите уравнение 2x2 −3x+1=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

22. Решите уравнение 5x2 +4x−1=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

23. Решите уравнение 2x2 +5x−7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

24. Решите уравнение 5x2 −12x+7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

25. Решите уравнение 5x2 −9x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

26. Решите уравнение 8x2 −12x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

27. Решите уравнение 8x2 −10x+2=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

28. Решите уравнение 6x2 −9x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение 5x2 +9x+4=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

30. Решите уравнение 5x2 +8x+3=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

31. Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

32. Решите уравнение x2 −7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

33. Решите уравнение x2 −9x+18=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

34. Решите уравнение x2 −10x+24=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

35. Решите уравнение x2 −11x+30=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

36. Решите уравнение x2 −8x+12=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

37. Решите уравнение x2 −10x+21=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

38. Решите уравнение x2 −9x+8=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

39. Решите уравнение x2 −11x+18=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

40. Решите уравнение x2 −12x+20=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 4.

Рациональные уравнения.

1. Найдите корень уравнения 

2. Найдите корень уравнения 

3. Найдите корень уравнения 

4. Найдите корень уравнения 

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите корень уравнения .

7.  Найдите корень уравнения 

8. Найдите корень уравнения 

9.  Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения 

11.  Найдите корень уравнения .

12. Найдите корень уравнения 

13. Найдите корень уравнения 

14. Найдите корень уравнения 

15. Найдите корень уравнения 

16. Найдите корень уравнения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Найдите корень уравнения 

19. Найдите корень уравнения 

20. Найдите корень уравнения 

21. Найдите корень уравнения 

22. Найдите корень уравнения 

23. Найдите корень уравнения 

Приложение 5

Сложные уравнения.

1. Найдите корень уравнения (x+3)2 =(x+8)2.

2. Найдите корень уравнения (x−5)2 =(x+10)2.

3. Найдите корень уравнения (x+9)2 =(x+6)2.

4. Найдите корень уравнения (x+10)2 =(x−9)2.

5. Найдите корень уравнения (x−5)2 =(x−8)2.

6. Найдите корень уравнения .

7.Найдите корень уравнения .

8. Найдите корень уравнения .

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения .

11. Решите уравнение (x+2)(− x+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

12. Решите уравнение (x+3)(− x−2)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

13. Решите уравнение (x−11)(− x+9)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

14. Решите уравнение (x−1)(− x−4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

15. Решите уравнение (x−2)(− x−1)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

16. Решите уравнение (x+20)(− x+10)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

17. Решите уравнение (x−2)(− x−3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

18. Решите уравнение (x−7)(− x+2)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший  из корней.

19. Решите уравнение (x−5)(− x−10)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

20. Решите уравнение (x+10)(− x−8)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

21. Решите уравнение (− 5x+3)(− x+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

22. Решите уравнение (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

23. Решите уравнение (− x−4)(3x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

24. Решите уравнение (x−6)(4x−6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

25. Решите уравнение (− 5x−3)(2x−1)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

26. Решите уравнение (x−2)(− 2x−3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

27. Решите уравнение (5x+2)(− x−4)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший  из корней.

28. Решите уравнение (x−6)(− 5x−9)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

29. Решите уравнение (6x−3)(− x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

30. Решите уравнение (5x−2)(− x+3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

31.  Решите уравнение  

32. Решите уравнение 

33. Решите уравнение 

34. Решите уравнение 

35. Решите уравнение 

36. Решите уравнение  

37. Решите уравнение 

38. Решите уравнение 

39. Решите уравнение 

40 Решите уравнение 

41. Решите уравнение x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Решите уравнение (x−1)( x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Решите уравнение x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Решите уравнение (x−1)( x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Решите уравнение x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. Решите уравнение (x−1)( x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Решите уравнение (x−2)( x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Решите уравнение x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Решите уравнение (x−2)( x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Решите уравнение (x−2)( x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Решите уравнение (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Решите уравнение (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Решите уравнение (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Решите уравнение (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Решите уравнение (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Решите уравнение (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Решите уравнение (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Решите уравнение (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59.  Решите уравнение (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Решите уравнение (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Решите уравнение x3 +3x2 =16x+48.

62. Решите уравнение x3 +4x2 =4x+16.

63. Решите уравнение x3 +6x2 =4x+24.

64. Решите уравнение x3 +6x2 =9x+54.

65. Решите уравнение x3 +3x2 =4x+12.

66. Решите уравнение x3 +2x2 =9x+18.

67. Решите уравнение x3 +7x2 =4x+28.

68. Решите уравнение x3 +4x2 =9x+36.

69. Решите уравнение x3 +5x2 =4x+20.

70. Решите уравнение x3 +5x2 =9x+45.

71. Решите уравнение x3 +3x2 −x−3=0.

72. Решите уравнение x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Решите уравнение x3 +5x2 −x−5=0.

74. Решите уравнение x3 +2x2 −x−2=0.

75. Решите уравнение x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Решите уравнение x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Решите уравнение x3 +4x2 −x−4=0.

78. Решите уравнение x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Решите уравнение x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Решите уравнение x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Решите уравнение x4 =(x−20)2.

82. Решите уравнение x4 =(2x−15)2.

83. Решите уравнение x4 =(3x−10)2.

84. Решите уравнение x4 =(4x−5)2.

85. Решите уравнение x4 =(x−12)2.

86. Решите уравнение x4 =(2x−8)2.

87. Решите уравнение x4 =(3x−4)2.

88. Решите уравнение x4 =(x−6)2.

89. Решите уравнение x4 =(2x−3)2.

90. Решите уравнение x4 =(x−2)2.

91. Решите уравнение 

92. Решите уравнение 

93. Решите уравнение 

94. Решите уравнение 

95. Решите уравнение  

96. Решите уравнение 

97. Решите уравнение 

98. Решите уравнение 

99. Решите уравнение 

100. Решите уравнение  

101. Решите уравнение .

102. Решите уравнение 

103. Решите уравнение 

104. Решите уравнение 

105. Решите уравнение 

106. Решите уравнение 

107. Решите уравнение 

108. Решите уравнение 

109. Решите уравнение 

110. Решите уравнение