Числа Шахерезады

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №10»

Исследовательская работа

 «Числа Шахерезады»

Выполнила:

Васильева Полина Анатольевна,

 учащаяся 6 «Г» класса

МБОУ СШ №10 г.Арзамаса

Руководитель:

Васильева Светлана Владимировна,

учитель математики высшей

квалификационной категории

МБОУ СШ № 10 г.Арзамаса

Почтовый адрес:

Нижегородская обл. Г.Арзамас, пр-кт Ленина 206а, тел. (83147) 2-25-45

Электронный адрес:

arzschool10@rambler.ru 

Арзамас, 2017

Содержание

Введение

Практически каждому человеку с детства известно фраза: «А роза упала на лапу Азора". Кстати, автором этой фразы считается русский поэт XIX века А.А. Фет. Интерес она вызывает потому, что читается одинаково, что слева направо, что справа налево.

Мне стало интересно, а много ли таких фраз существует, и как они называются. Но самое интересное, что и в математике встречаются такие числа, которые в обе стороны читаются одинаково. Тогда я решила выяснить, а нет ли между такими фразами и такими числами чего-нибудь общего.

Целью моей исследовательской работы является исследование одного из множества видов симметрии – палиндромов.

Гипотеза: Нас окружают иногда очень интересные вещи, но мы редко задумываемся об их происхождении и предназначении.  Если цифры – это «кирпичики», из которых строятся все числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Задачи исследования:

1. Найти литературу, связанную с описанием палиндромов.
2. Отобрать материал и структурировать его в соответствии с содержанием.
3. Познакомиться с теоретическими сведениями.
4. Рассмотреть различные виды палиндромов: слова, фразы, числа.
5. Выяснить, много ли существует чисел палиндромов, можно ли их получить не просто путем простой записи, но и в результате выполнения каких-либо арифметических действий.
6. Рассмотреть фигуры, составленные из чисел – палиндромов.
7. Научиться решать задачи, связанные с числами-палиндромами.
8. Предоставить выводы.

Методы и формы исследования:

• анализ математической литературы по данной теме;
• постановка гипотезы;
• исследовательская деятельность; наглядный эксперимент; анализ и сравнение данных в эксперименте;
• обобщение полученных результатов.

Глава 1. Теоретическая часть

1. Понятие палиндрома. Слова и фразы-палиндромы

ПАЛИНДРОМ(перевертень) — (греч. palindromоs - бегущий обратно, возвращающийся), фраза или стих, которые могут читаться (по буквам или по словам), спереди назад или сзади на перед с сохранением (обычно торжественного) смысла…[2]

В русском языке палиндромными являются слова: топот, казак, шалаш, кабак. Оказалось, что существуют целые словари палиндромов. Из них я выбрала наиболее понравившиеся мне фразы: «Алиса – сила!», «Алиса Будду дубасила», «Медея и я – едем», «Леонард рано ел», «У кота на току упер казак репу».

Некоторые поэты делали попытки написать не только целое стихотворение (В. Брюсов «Голос луны»), но даже поэму (В. Хлебников «Разин»). В этом случае не слова подбираются к мысли, а, наоборот, приходится мысль подбирать к словам.

Древнейший известный палиндром — фраза на латыни, датирующаяся 4 веком н. э.: «SatorArepotenetoperarotas», переводящаяся как «Сеятель Арепо с трудом держит колёса». Фраза обычно записывается в квадрате 5×5, где обнаруживается ещё одно свойство симметрии — её можно читать как по горизонтали, так и по вертикали.

S         A         T         O         R

A         R         E         P         O

T         E         N         E         T

O        P        E        R        A

R         O         T         A         S

1.2. Числа-палиндромы

Число-палиндром — это число с симметричной записью, при обратной записи которого получается то же самое (121, 3443, 56765 и т.д.). Все однозначные числа являются палиндромами.

Интересно, что в математике числа - палиндромы иногда называются «числами Шахерезады» – за созвучие с названием «1001 ночь», где 1001 – число-палиндром. 

Палиндромами являются квадраты чисел, состоящих из одних единиц («репьюниты») до 10 знаков:

11² = 121, 111² = 12321, 1111² = 1234321, 11111² = 123454321.

Числовыми палиндромами являются строки в треугольнике Паскаля. (Приложение1)

Палиндромы можно не только записать, используя определение, но и получить из любого натурального числа как результат операций над другими числами.

Если любое натуральное число сложить его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, то можно получить палиндром:

4 + 4 = 8

65 + 56 = 121

123 + 321 = 444 (натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые называется «репдиджит»)

Но не всегда палиндром получиться после выполнения одного действия сложения. Чаще требуется выполнить несколько шагов.

1.  57 + 75 = 132

132 + 231 = 363

2. 59 + 95 = 154

154 + 451 = 506

506 + 605 = 1111

А вот для числа 89 нужно сделать 24 шага, чтобы получить палиндром. А вот с числом 196 что-то странное. Сколько ни продолжать переставлять цифры и складывать - палиндрома не выходит!

Само число уже превышает миллион, а палиндром не получается!

До сих пор не подсчитано количество шагов для получения из числа 196 палиндрома (а таких шагов разными исследователями с помощью компьютера сделано более семисот миллионов) и не найдено строгого доказательства, что палиндром не будет получен никогда.

Есть и другие числа, из которых нельзя получить палиндром, например, 879 или 1997.

3. Числовой конструктор

В примерах, рассмотренных выше, использовались, в основном, составные числа. Теперь перейдем к числам простым. В их бесконечном множестве есть немало любопытных экземпляров. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Из простых чисел-палиндромов, расположенных определённым образом, можно составлять различные симметричные фигуры.

Красивая комбинация получается из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3. Причем в этой фигуре можно заметить трижды повторяющийся элемент также в форме треугольника. (Приложение2, рис.а)

Если продолжить построение, то можно получить на основе данного треугольника более сложные фигуры. (Приложение2, рис.б)

Если же к исходному треугольнику добавить еще шесть простых палиндромов, то получится фигура, привлекающая внимание изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют два простых репьюнита: 23 единицы составляют «основание» и 12 единиц — «боковые стороны» треугольника.

(Приложение 3).

Симметричные фигуры можно составлять из простых палиндромов, ограничиваясь не только двумя цифрами. (Приложение 4)

А есть треугольник буквально пронизан вдоль и поперёк палиндромами. (Приложение 5)

Все его 11 строк – простые числа, а столбцы образованы репдиджитами. И главное: ограничивающий фигуру с боков палиндром 193111111323111111391 — число простое!

1. Экспериментальная часть

В качестве экспериментальной части я нашла различные задачи про числа-палиндромы и попробовала их решить.

Задача 1.

Вывести правило для получения чисел палиндромов из двузначных чисел. Какими должны быть цифры, из которых состоит двузначное число, чтобы в результате сложения с обратным числом получилось число – палиндром?

Решение:

Рассмотрим число 71. Сложим его с обратным – 17. 71 + 17 = 88. Получили число – палиндром. Возьмем число 74. Сложим с обратным 74 + 47 = 121. Снова получили число – палиндром. А теперь возьмем 39. Сложим с обратным 39 + 93 = 132 (пока не палиндром, но можно получить, продолжив цепочку). Если поиграться с другими числами, то можно заметить, что если сумма цифр меньше 10 или равна 11, то получается число – палиндром. А если равна 10 или больше 11, то не получается.

Задача 2.

Компьютер случайным образом выводит на экран пятизначное число. Какова вероятность, что появившееся на экране число является палиндромом?

Решение: 

Всего имеется N2 = 9·10·10·10·10 = 90000 целых пятизначных чисел. Найдем количество пятизначных палиндромов N1 = 9·10·10·1·1 = 900. Здесь первую цифру можно выбрать из 9 штук (от 1 до 9), вторая цифра может быть от 0 до 9, третья цифра - любая (от 0 до 9), четвертая цифра должна совпадать со второй (1 вариант), а пятая - с первой (то есть 1 вариант).

Тогда искомая вероятность равна P = N1/N2 = 900/90000 = 0,01.

Задача 3.

Сосчитайте количество чисел – палиндромов:

а) однозначных

б) двузначных

в) трехзначных

г) четырехзначных

Задача 4.

Вычислить количество чисел-палиндромов, делящихся на 2:

а) двухзначных

б) трехзначных

в) четырехзначных

г) пятизначных

Решение:

 На 2 делится любое четное число, поэтому:

а) среди двузначных чисел-палиндромов четные – 22, 44, 66, 88, т.е. 4 числа.

б) у трехзначных чисел-палиндромов первая и последняя цифра одинаковые и четные. Четных цифр 4 (2, 4, 6 и 8). В середине может стоять любая из 10 цифр от 0 до 9. Согласно правилу произведения, трехзначных чисел-палиндромов 4 · 10 = 40

в) у четырехзначного искомого числа первая и последняя цифры – четные и одинаковые – их 4, вторая и третья – одинаковые, но любые из 10, поэтому четырехзначных чисел-палиндромов тоже 4 · 10 = 40.

г) у пятизначного числа-палиндрома первая и последняя цифры одинаковые и четные, вторая и четвертая – одинаковые и любая из 10, третья – любая из 10, поэтому таких чисел - 4 · 10 · 10 = 400.

Задания с числами-палиндромами можно встретить в вариантах ЕГЭ по математике. Вот какой пример я нашла в книге[3]

Задача 5 (Задание 19). 

Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 45.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 45?

в) Найдите десятое по величине число-палиндром, которое делится на 45.

Решение:

а) Самым простым вариантом будет число-палиндром 585, которое делится на 45.

Варианты чисел определяются следующим образом: делителями числа 45 являются числа 5 и 9, следовательно можно подобрать такие числа, которые кратны 5 и сумма цифр которого делится на 9. Получаем следующие числа: 5445, 53235, 51615, 52425, 54045 и т.д.

Ответ: 585.

б) Разложим число 45 на простые множители, получим

45 = 3·3·5 = 9·5,

то есть число должно делиться и на 5 и на 9. Признаком кратности числа на 5 является наличие цифры 5 в конце числа (цифру 0 не учитываем, т.к. она не подходит). Получаем число-палиндром в виде 5aba5, где a, b – цифры числа. Признаком делимости числа на 9 является то, что сумма цифр:

5 + а + b + a + 5 = 10 + 2a + b

должна делиться на 9. Из этого условия имеем:

- для b=0: 10 + 2a → a = 4 (10 + 2 · 4) : 9

- для b=1: 11 + 2a → a = 8

- для b=2: 12 + 2а → а = 3

- для b=3: 13 + 2а → а = 7

- для b=4: 14 + 2а → а = 2 

- для b=5: 15 + 2а → а = 6 

- для b=6: 16 + 2а → а = 1 

- для b=7: 17 + 2а → а = 5

- для b=8: 18 + 2а → а = 0 и а = 9;

- для b=9: 19 + 2а → а = 4

Таким образом, получаем 11 вариантов.

Ответ: 11 чисел.

в) Найдем 10-е по счету число-палиндром, начиная с самого младшего, т.е. с трехзначного числа типа 5a5, затем переберем четырехзначные 5aa5, затем пятизначные 5аbа5 получим:

- для трехзначных: 585

- для четырехзначных: 5445

- для пятизначных: 50805, 51615, 52425, 53235, 54045, 54945, 55755, 56565

Десятое по величине число-палиндром, делящийся на 45, равен 56565

Ответ: 56565.

Выводы

1. В настоящей работе рассмотрены различные виды палиндромов.
2. Подбор материала позволил наиболее полно понять, как можно составлять симметрические фигуры, используя числа-палиндромы.
3. Исследовательская деятельность помогла разобраться в решениях задач, связанных с такими числами.
4. Практика подтвердила гипотезу, что из цифр можно создавать различные симметричные фигуры.

Заключение

Мир математики очень разнообразен. Это подтверждается таким удивительным математическим явлением как симметрия, в частности к её проявлению – палиндромам. Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что если бы каждый человек уделял ему больше внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного. Путь познания законов гармонии и красоты долог и труден, но тем он и интересен. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать.

Литература:

1. Карпушина Н. – Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел, «Наука и жизнь» № 5, 2010, с. 108 – 111.
2. Николюкин А.Н. – Литературная энциклопедия терминов и понятий, М., НПК «Интелвак» 2001.с.737
3. Ященко И.В. – Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов, М.: Издательство «Национальное образование», 2016. — 256 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
4. http://enc-dic.com/poet/Palindrom-266.htm
5. http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2013/03/25/palindromy-v- matematike-i-russkom-yazyke