Фрактальная геометрия (Технический проект)

Научно-практическая конференция «Шаги в науку»

Секция: Физико-математические науки

Предмет: Математика

Технический проект

Фрактальная геометрия

      Автор работы:

Гусакова Анастасия 10 «А» класс, 

МОУ СОШ имени Героя  Советского Союза

С.М.Иванова р.п. Турки

Руководитель:

Богатырёва Анна Николаевна,

учитель математики

Турки

2018

Содержание

Введение

        «Математика,
если на нее правильно посмотреть,
отражает не только истину,
но и несравненную красоту»

                                         Бертран Рассел (англ. математики и философ)

В 7 классе я начала изучать такой предмет как геометрия.

Геометрия — раздел математики, изучающий фигуры,  их размеры и взаимное расположение.  Слово "геометрия" — греческое, в переводе на русский язык означает "землемерие". Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности. Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся на том, что геометрия возникла в Египте.

 Оказывается, что геометрия,  которая изучается в школе,  является Евклидовой геометрией. И меня заинтересовало,  а какая еще бывает геометрия?  Поэтому  я начала изучать литературу и рассматривать различные сайты сети Интернет  и выяснила, что геометрия бывает  различная:

- Евклидова геометрия,

- геометрия Лобачевского,

-  фрактальная геометрия.

Фрактальная геометрия меня заинтересовала больше всего, так как  с данным понятием  я встретилась впервые.

Поэтому, неслучайно, мной выбрана тема для проекта «Фрактальная геометрия».

Цель моего проекта: изучить, что представляет собой фрактальная геометрия  и найти области ее применения.

Задачи:

1. Изучить литературу по данной теме.
2. Найти применение фракталов в повседневной жизни.
3. Провести эксперимент,  доказывающий, что фракталы применяются в нашей жизни повсеместно.

Гипотеза: все, что нас окружает - это фракталы.

Методы исследования: изучение  и анализ теоретических сведений по данному вопросу,  эксперимент, наблюдение.

Объект исследования: фракталы.

Предмет исследования: геометрическая природа фракталов.

Проектный продукт: макет антенны, в виде снежинки Коха.

Глава 1

Бенуа Мандельброт   (1924-2010) - отец фрактальной геометрии

Слово фрактал образовано от латинского «fractus»  и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году.

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. Его мать Белла Лурье была врачом, отец — Карл Мандельбройт — галантерейщиком.

В школе он был учеником, не проявлявшим особый интерес к учебе.

Но  позднее у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать  студентом Политехнической  школы Парижа. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила ему поступить в университет.

Окончив университет, Мандельброт переехал в США, где   окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году.

В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре в IBM.

 В 1975 году впервые опубликовал свои исследования  «фракталов».

1.1. Что такое фрактал?

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х годов прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Фрактал – геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом.

Исследовать особенности фрактальных моделей, с тем, чтобы использовать их для практического применения – интересная задача, которая мотивирует на изучение нового, пробуждает интерес получить знания в такой области математики, как фрактальная геометрия.

1.2. Виды фракталов

В основном фракталы классифицируют по трём видам:

1. Алгебраические фракталы.
2. Геометрические фракталы.
3. Стохастические фракталы.

Алгебраические фракталы

Большой группой фракталов являются алгебраические фракталы. Свое название они получили, за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона. (Приложение, рис. 1). 

Геометрические фракталы

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано. (Приложение  рис. 2).

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является снежинка Коха). Строится она на основе равностороннего  треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждым повторением  длина кривой увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число повторений – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Салфетка Серпинского

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский.  Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. (Приложение  рис. 3).

Ковер Серпинского

Квадратная версия была описана Вацлавом Серпинским в 1916 году. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. (Приложение  рис. 4).

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Глава 2

2.1. Создание фракталов

Без помощи компьютера создать фрактал очень сложно! (Приложение рис.5 ) .Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил

2.2.Фракталы в нашей жизни

Фракталы в природе

Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени. 

Мало кто обращает внимание, но эти удивительные фигуры присутствуют повсюду. Природа создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Достаточно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Или взять, к примеру, ананас или даже хвост павлина – они состоят из подобных фигур. Обнаруженная схожесть отдельной веточки с целым деревом — это очень точное наблюдение, которое лишний раз свидетельствует о принципе самоподобия в природе (Приложение  рис. 6,7).

Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте Романеско — гибриде цветной капусты и брокколи (Приложение  рис. 8).

Фракталы в медицине

Фрактальные структуры широко представлены в организме человека. Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и т.д. Кровеносные сосуды сердца имеют фракталоподобное ветвление. Крупные сосуды, ветвятся на более мелкие сосуды, которые в свою очередь ветвятся на еще более мелкие сосудики (Приложение  рис. 9).

Фракталы и физиология

Ученые предполагают, что физиология может оказаться одной из богатейших лабораторий для изучения фракталов. Физиологам еще предстоит лучше понять то, каким образом процессы развития приводят к возникновению фрактальных структур. В недалеком будущем благодаря изучению фракталов  мы, возможно, получим более тонкие методы анализа различных нарушений функций организма при старении, заболеваниях и употреблении токсичных лекарственных препаратов.

Фракталы в музыке

Сами по себе фракталы - это математические объекты. Казалось бы какое отношение могут иметь фракталы, и вообще математика к музыке? А оказывается самое непосредственное!

Сегодня в музыкальном искусстве одним из самых популярных методов создания музыки на основе алгоритмов считается метод так называемой фрактальной композиции.

     Впервые Ричард Восс установил, что любой звук имеет фрактальные свойства. Исследователь идентифицировал три категории звука, основанные на математических элементах:

1) Белый шум (случайный шум – определяется как тревожащий слушателя);

2) Розовый шум (занимает промежуточное положение, более структурированный, нежели белый – является самым приятным для восприятия слушателя)

3) Коричневый шум (структурированный шум – определяется как механический для слушателя).

Фракталы и сотовая связь

Если вспомнить первые сотовые телефоны,  то их антенны выдвигались. Они были очень неудобные, потому что часто ломались.

Один из радиолюбителей по имени Натан Коэн пытался создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.

Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов — «снежинку Коха». Её КПД удивил учёного, так как был очень высоким. Впоследствии, антенна изобретенная Коэном, была использована в серии телефонов Motorola.

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен — чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий КПД и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн «Fractal Antenna Systems», справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день, Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

Эксперимент.

После изучения темы фракталы и сотовая связь, я решила на практике проверить,  действительно ли антенна  в виде снежинки Коха может улавливать радиоволны.

Для изготовления антенны мне понадобилось: медная проволока 60 см, соединительный провод, шурупы 6 шт. и деревянная основа. По рисунку,  найденному в сети интернет, я, с папиной помощью, изготовила антенну. Данную антенну я подключила к старому приемнику и  провела эксперимент. Перемещаясь по волнам различной частоты, я убедилась, что антенна работает. Мне удалось поймать несколько радиоволн, где звук был не только на русском языке, но и на других языках, в частности,  - китайском.

Звуковые волны частотой приблизительно от 7 до 18 МГц, в которых мною был услышан звук с помощью антенны  в виде снежинки Коха, относятся к  коротким высокочастотным волнам (частота волны от 3 до 30 МГц). Короткие волны  применяются в радиовещании и способны покрывать достаточно большие расстояния, поэтому звук,  услышанный мною,  вполне мог оказаться  на китайском языке.

Следовательно,  данный эксперимент еще раз подтверждает, что фрактальная геометрия применима именно  в сотовой связи.  С каждым годом приемники сотовой связи усовершенствуются,  но все же их прародителем остается снежинка Коха.

Заключение

Во время работы над проектом, я убедилась, что:

- фрактальная геометрия достаточно, молодая наука, хотя объекты фрактальной геометрии известны нам  со времен зарождения мира,

-еще много не изучено и предстоит открыть,

- фракталы, иногда даже лучше, чем физика и математика описывают реальность,

- природа, как ни кто другой представляет нам фракталы в первозданном виде (облака и горы, деревья, листья, хвост павлина, кочан капусты, строение легких и кровеносной системы человека.)

- существует много  компьютерных программ  для создания фракталов,

- звук имеет фрактальную структуру.

В ходе эксперимента, я убедилась в том, что антенна, изготовленная мною в виде снежинки Коха способна улавливать различные звуки.

В повседневной жизни мы можем увидеть фракталы на рисунке обоев, на ткани, заставке рабочего стола на компьютере, дизайне открыток, тетрадей, книг.

 Из выше сказанного следует, что выдвинутая мной  гипотеза, подтвердилась.  

Список литературы.

1 .Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2001 г.

2. Дж.Милнор Голоморфная динамика. РХД 2000 г.

3. Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия.-1995.

4. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.

5. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории

6. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества, «Фракталы в физике». М.: Мир 1988 г.

7. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.

8. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999.

9.Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения  - http://www.3dnews.ru/754657.

10.Хаос_в_функционировании_организма_говорит_о_здоровье. http://coolreferat.com/

11.Википедия. Фрактальная геометрия

12.Мир математики: в 40 т. Т.10: Мария Изабель Биннимелис Басса. Новый взгляд на мир.Фрактальная геометрия./Пер. с исп. – М.:Де Агостин, 2014.

Приложение

Рис. 1.Множество Мандельброта.

Рис. 2. Снежинка Коха

Рис. 3. Салфетка Серпинского.

Рис. 4. Ковер Серпинского.

Рис.5. Фракталы, созданные с помощью компьютера.

Рис. 6,7.Облака , хвост павлина.

Рис. 8 Капуста Романеско.

Рис. 9. Кровеносные сосуды.

Рис. 10. Антенна. Эксперимент.