Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей

Российская научно-социальная программа

для молодёжи и школьников «Шаг в будущее»

Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей

исследовательская работа на научно-практическую конференцию

«Шаг в будущее»

Автор:

Черных Виктория Вячеславовна

7 а класс

Россия, Тюменская область,

Нефтеюганский район,

с.п.Салым

НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Руководитель:

Николаева Ирина Николаевна

Учитель математики

НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

2017

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………6

Глава I. Простые числа………………………………………………………………………8-10

1.  Понятие простого числа…………………………………………………………………….8
2.  Сколько существует простых чисел……………………………………………………….9
3. Несколько нерешенных задач, касающихся простых чисел…………………………….10

Глава II. Разложение натуральных чисел на простые множители ……………………...10-14

1. Что значит разложить на простые множители?.................................................................10
2. Алгоритм и примеры разложения на простые множители………………………………11
3. Тройкипоследовательных натуральных чисел, каждое из которых

является произведением двух различных простых множителей...................................... 13

Заключение...............................................................................................................................15

Литература................................................................................................................................16

Приложение..............................................................................................................................17

Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей

Автор: Черных Виктория Вячеславовна,7а класс, Россия, Тюменская область, Нефтеюганский район, с.п. Салым, НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Руководитель:Николаева Ирина Николаевна, учитель математики, НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Аннотация

         Цель данного исследования: выяснить, сколько существует троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел.

        Методы исследования. Анализ, синтез, обобщение, математические вычисления.

Результаты нашего исследования:

1. изучено понятие простого числа, рассмотрен вопрос о разложении натуральных чисел на простые множители;

2. натуральные числа в пределах пятиста представлены в виде произведения простых множителей;

2. способом перебора делителей найдено 24 тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей;

3. не обнаружена закономерность образования троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел.

        Выводы. Цель исследования достигнута. Данная работа не закончена, интересно понять закономерность появления искомых троек, а значит продолжить разложение чисел на простые множители.

Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей

Автор: Черных Виктория Вячеславовна, 7а класс, Россия, Тюменская область, Нефтеюганский район, с.п.Салым, НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Руководитель:Николаева Ирина Николаевна, учитель математики, НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

План исследования

1. Исследование теоретического материала по теме.

Понятие простого числа раскрыто подробно в современной литературе.Простые числа позволяют решать многие математические проблемы. Они играют большую роль в криптографии (шифровании), поэтому кроме математиков интересуютвоенных, разведку и контрразведку. Также на основе анализа литературы можно сделать вывод о том, что вопрос разложения натуральных чисел на простые множители важен не только с точки зрения математики, но и других наук, например, криптографии. Существуют разные способы разложения натуральных чисел на множители, в учебном пособии [7] Ишмухаметова Ш.Т. приводится их подробное описание. В рамках данной работы рассмотрен один способ – перебор возможных делителей. В настоящее время есть не решенные задачи, касающиеся простых чисел.Наше внимание привлекла задача о количестве троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел,  описанная В. Серпинским. [10]

2. Определение темы, выдвижение гипотезы.

Мы не знаем, сколько существует  троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел. (Примером такой тройки может служить тройка чисел: 33=3∙11, 34=2∙17, 35=5∙7, а также тройка: 93=3∙31, 94=2∙47, 95=5∙19). Мы предположили, что таких троек существует бесконечно много. Исходя из этого, определили тему исследования: «Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей».

3. Обоснование актуальности и практической значимости проблемы.

Актуальность проблемы исследования определяется противоречием между: необходимостью знать, сколько существует троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел и отсутствием ответа на данный вопрос.

4. Методы исследования.

Метод разложения натурального числа на простые множители - перебор делителей.

5. Анализ полученных результатов.

Проанализированы полученные результаты, сделаны выводы. Каждое натуральное число (в пределах пятиста) представлено в виде произведения простых множителей, также в пределах одной тысячи четыреста найдено 24 тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел способом перебора делителей, не обнаружена закономерность образования искомых троек. В исследовании высказаны определённые суждения, сделаны умозаключения, проведено сравнение,  сформулированы выводы, которые отражены в научной статье.

Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей

Автор: Черных Виктория Вячеславовна, 7а класс, Россия, Тюменская область, Нефтеюганский район, с.п. Салым, НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Руководитель: Николаева Ирина Николаевна, учитель математики, НРМОБУ «Салымская СОШ №1»

Введение

Понятие простого и составного чисел, введенные Пифагором, до сих пор являются предметом серьезных исследований, за которые математики получают высокие научные награды. [2, с.90]

К понятию простых чисел приводят уже самые простые задачи, которые возникают в связи с таким элементарным арифметическим действием, как умножение натуральных, т. е. целых положительных чисел.[10, с.11]

При решении многих практических задач, в которых участвуют натуральные числа, немаловажную роль играет разложение этих чисел на множители.Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа.  

Мне стало интересно подобрать задачи, при решении которых применяется разложение натуральных чисел на простые множители. В книге Вацлава Серпинского «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах» [10] мое внимание привлек параграф «Несколько нерешенных задач, касающихся простых чисел». Одной из таких задач является задача о тройках последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей.

Проблема в том, что мы не знаем, сколько существует троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей.

Считаем проблему актуальной, данный вопрос не раскрыт в литературе и поэтому нуждается в дальнейшей разработке.

Актуальность проблемы исследования заключается в необходимости проверки количества троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел в связи с отсутствием ответа на данный вопрос. Актуальность рассматриваемой проблемы определила тему исследования: «Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей».

Гипотеза:предположим,что  существует бесконечное множество  троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел.

Цель данного исследования:выяснить, сколько существует троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел (в пределах тысячи).

Объект исследования: разложение натуральных чисел на простые множители.

Предмет исследования: тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел (в пределах тысячи).

Для реализации цели и проверки гипотезы поставлены следующие задачи:

1. Изучить понятие простого числа на основе анализа литературы.

2. Изучить вопрос о разложении натуральных чисел на простые множители способом перебора делителей  и привести примеры такого разложения на основе анализа литературы.

3. Найти тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел (в пределах тысячи) способом перебора делителей.

4. Сделать выводы.

Методы исследования: анализ, синтез, обобщение, математические вычисления.

Глава I. Простые числа.

1.1. Понятие простого числа

Натуральные числа, отличные от единицы, подразделяют на простые и составные. Простым называется число, делителями которого является только оно само и единица. Остальные числа называются составными. Евклид определял простые числа так: «Простое число есть измеряемое некоторым числом». Примеры простых чисел: 2, 5, 37, 1987. Числа же 4, 6, 162, 2553 составные. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным. [11]

        Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один натуральный делитель), простые числа (имеющие два натуральных делителя) и составные числа (имеющие больше двух натуральных делителей). Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…  . [3]

В. Серпинский [10] приводит такое определение:простым числом мы называем каждое натуральное число, большее единицы, которое не является произведением двух натуральных чисел, больших единицы.

Напрашивается вопрос, имеем ли мы возможность относительно каждого натурального числа п>1 установить, простое оно или нет. Оказывается, само определение простых чисел позволяет ответить на этотвопрос.Действительно, если натуральное число п>1 неявляется простым, то оно представляет собой произведение двух натуральных чисел а и b, больших единицы, т. е. п = ab, где а> 1 и b>1, откуда тотчас же следует, что п> а и п>b.Натуральное        число n>1, неявляющееся простым, есть, таким образом, произведение двух натуральных чисел, меньших п. Такое число мы называем составным. Если числоп составное, то п = ab, где а и b- числа натуральные >1 и <п. Частное п:а=b является натуральным числом, следовательно, а есть делитель натурального числа п, больший 1 и меньший чем п. Поэтому, чтобы убедиться в том, что натуральное число п> 1 является простым, достаточно убедиться, что оно не имеет натурального делителя >1 и <п. Для этого достаточно выполнить п- 2 делений числа п поочередно на числа 2, 3, п-1. Если ни на одно из них число п не делится без остатка, то в этом и только в этом случае число п является простым.

Итак, по крайней мере теоретически, мы всегда сумеем (при помощи конечного числа делений) убедиться, является ли данное натуральное число п простым или нет. На практике описанный способ может порождать значительные трудности, когда п большое число. [10]

Какими цифрами могут начинаться и заканчиваться простые числа?Последняя цифра простого числа, имеющего более чем одну цифру, не может быть чётной, так как тогда число было бы2 и чётным и, следовательно, было бы составным; последняя цифра не может быть и 5, так как в этом случае число5 и делилось бы на 5 и, значит, было бы составным.

Таким образом, последней цифрой простого числа 10 может быть только 1, 3, 7 или 9. [10]

Мы рассмотрели понятие простого числа, и согласно энциклопедического словарядля юношества,[11] далее подпростымбудем понимать число, делителями которого является только оно само и единица. Важно, что последней цифрой простого числа 10 может быть только 1, 3, 7 или 9.Данный вывод будемиспользовать на этапе выполнения разложения натуральных чисел на простые множители.

1.2. Сколько существует простых чисел.

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так: Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 231 − 1 = 2 147 483 647.[3]

К началу 1951г. наибольшим  известным простым числом было число -1, имеющее 39 цифр (то, что это число простое было доказано уже в 1876г.). [10]

Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2016 года является 274 207 281 −1. Оно содержит 22 338 618 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M74 207 281). [3]

Итак, простых чисел бесконечно много. Самое старое доказательство было дано Евклидом. Самым большим простым числом на данный момент является 274 207 281 −1.

1.3. Несколько нерешенных задач, касающихся простых чисел.

Приведем некоторые нерешенные задачи, касающиеся простых чисел, описанные В. Серпинским. [10, с.84]

1.Мы не знаем, существует ли бесконечно много пар последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет только один простой делитель.

        2. Мы не знаем, существует ли бесконечное множество троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел. Высказано предположение, что таких троек существует бесконечно много.

        3. Мы не знаем, существует ли бесконечно много простых чисел р таких, что для каждого натурального п<р-1 число 2n при делении на р дает остаток, отличный от 1. Высказано предположение, что таких простых чисел р существует бесконечно много.

        4. Мы не знаем, из каждого ли натурального числа n≥10 при изменении двух его цифр можно получить простое число.

        5. Мы не знаем, справедлива ли гипотеза А. Шницеля, согласно которой для каждого вещественного числа х≥117 существует по крайней мере одно простое число р, содержащееся между х и . [10]

        Для решения задачи под номером два, рассмотримвопрос о разложении натуральных чисел на простые множители.

        Глава II. Разложение натуральных чисел на простые множители

        2.1. Что значит разложить число на простые множители?

В словосочетании простые множители присутствует слово "множители", т.е. имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом. Например, в произведении 2*2*2*5*7 присутствуют пять простых множителей: 2, 2, 2, 5 и 7.

Можно сказать, что простые числа представляют собой как бы элементарные кирпичики, из которых строятся остальные числа. [11]

Разложить число на простые множители значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. Так произведение пяти простых чисел 2, 2, 2, 5 и 7 равно 280 и разложение числа 280 на простые множители имеет вид 2*2*2*5*7 (280=2*2*2*5*7). Простые множители в разложении могут повторяться. А представление вида 280=8*5*7 не является разложением на простые множители, так как число 8 – составное.

Простые целые числа разложить на простые множители невозможно. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b, то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b, что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением. [8]

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на этот вопрос дает основная теорема арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что всякое целое, большее единицы, разлагается на произведение простых сомножителей и притом единственным образом, если отвлечься от порядка следования сомножителей. [5, с.20]

        2.2. Алгоритм и примеры разложения чисел на простые множители[8]

        Суть процесса разложения целого положительного, и превосходящего единицу числа a, понятна из доказательства основной теоремы арифметики. Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p1, p2, …,pn чисел a, a1, a2, …, an-1, что позволяет получить ряд равенств a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. Когда получается an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn даст нам искомое разложение числа a на простые множители.         Здесь же следует заметить, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

        Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел. (Таблицу простых чисел см. Приложение I) Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z.

        Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2, 3, 5, 7, 11 и так далее) и делим на них данное число z. Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z.

        Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87. Берем число 2. Делим 87 на 2, получаем 87:2=43 (ост. 1). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1, поэтому 2 – не является делителем числа 87. Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3. Делим 87 на 3, получаем 87:3=29. Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

        Алгоритм разложения числа на простые множители:

1. Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p1 числа a, после чего вычисляем a1=a:p1. Если a1=1, то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a1 на равно 1, то имеем a=p1·a1 и переходим к следующему шагу.
2. Находим наименьший простой делитель p2 числа a1, для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p1, после чего вычисляем a2=a1:p2. Если a2=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p1·p2. Если же a2 на равно 1, то имеем a=p1·p2·a2 и переходим к следующему шагу.
3. Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p2, находим наименьший простой делитель p3 числа a2, после чего вычисляем a3=a2:p3. Если a3=1, то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p1·p2·p3. Если же a3 на равно 1, то имеем a=p1·p2·p3·a3 и переходим к следующему шагу.
4. Находим наименьший простой делитель pn числа an-1, перебирая простые числа, начиная с pn-1, а также an=an-1:pn, причем an получается равно 1. Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p1·p2·…·pn.
5. Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a1, a2, …, an, а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p1, p2, …, pn.

Разложение данного числа на простые множители начинают с наименьших простых чисел 2, 3, 5, используя признаки делимости. При этом последовательно проводят деление исходного числа на найденные простые делители. Результаты такого деления удобно записывать столбиком. [9]

Рассмотрим пример разложения натуральных чисел на простые множители.

        Описанный выше алгоритм будем использовать для выполнения разложения натуральных чисел на простые множители во время поиска троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением последовательных натуральных чисел.

        2.3.Тройки последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей.

        Выполним разложение натуральных чисел. (Разложение натуральных чисел в пределах пятиста см. Приложение II)

        Полученные тройки последовательных натуральных  чисел, каждое из которых является произведением двух простых множителей, покажем в таблице.

В пределах 2000 найдено 26 троек последовательных натуральных  чисел, каждое из которых является произведением двух простых множителей. Но согласно цели, поставленной нами в исследовании, необходимо отобрать те тройкипоследовательных натуральных  чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых множителей. А это значит, что тройка под номерами 4 и 16 не подходят.

Таким образом, удовлетворяют условию решаемой задачи 24 тройки. Можно предположить, что таких троек бесконечно много. Остается не понятной закономерность появления таких троек.

Заключение

Вывод: Мы проверили числа до 2000. Нами найдено  24 тройкипоследовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух различных простых чисел.Выяснилось, что почти в каждой сотне есть как минимум одна такая тройка. Цель исследования достигнута.

Поставленные задачи выполнены. Гипотеза частично подтвердилась, поскольку проверены числа в пределах 2000.

Практическая значимость работы.

Результат, полученный в работе, может быть использован другими исследователями для поиска следующих троек  последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух простых множителей и выявления закономерности появления этих троек.

Новизна работы. Возможно,до сих пор никто не занимался поиском троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух простых множителей.

Результат. Выполняя работу, я вспомнила основной метод разложения натурального числа на простые множители, добилась поставленной цели.

Перспективы работы.

Данная работа не закончена, необходимо ее продолжить, и ответить на вопрос, возникший в ходе исследования: какова закономерность появления искомых троек.

Литература

1. Виленкин Н.Я. математика. 6 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. организаций / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.- 43-е изд., стер.-М.: Мнемозина, 2015.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
3. Википедия. Статья «Простое число». [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число. (Дата обращения: 12.10.2016).
4. Википедия. Статья «Факторизация простых чисел» [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Факторизация_целых_чисел. (Дата обращения: 09.01.2017).
5. Виноградов И.М.  Основы теории чисел. Москва-Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.
6. Жиков В. В. Основная теорема арифметики: // Соровский образовательный журнал. 2000. Том 6. №3. [Электронный ресурс]. URL: http://iamdrunk.ru/teach/!!Учебники/!Алгебра/Основная%20теорема%20орифметики.pdf. (Дата обращения: 25.11.2016).
7. Ишмухаметов Ш.Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие / Ш.Т. Ишмухаметов.– Казань: Казан.ун. 2011.
8. Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.

http://www.cleverstudents.ru/divisibility/prime_factorization.html

9. Рурукин Л.Н., Сочшов С.В., Чайковский К.Г.Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов Заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
10. СерпинскийВ. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. Москва-Ленинград: Государственное издательство Физико-математической литературы, 1963.
11. Энциклопедический словарь для юношества. МА-М математика от «А» до «Я»/сост. А.П.Савин.-4-е изд., испр. -М.: Издательский дом «Современная педагогика»,2001.

Приложение I

Таблица простых чисел

Приложение II

Разложение натуральных чисел на простые множители в пределах пятиста.

4=2*2

6=2*3

8=2*4=2*2*2

9=3*3

10=2*5

12=3*4=3*2*2

14=2*7

15=3*5

16=2*8=2*2*4=2*2*2*2

18=2*9

20=2*10=2*2*5

21=3*7

22=2*11

24=2*12=2*3*4=2*3*2*2

25=5*5

26=2*13

27=3*9=3*3*3

28=2*14=2*2*14

30=5*6=5*3*2

32=2*16=2*4*4=2*2*2*2*2

33=3*11

34=2*17

35=5*7

36=2*18=2*3*6=2*3*2*3

38=2*19

39=3*13

40=2*20=2*5*4=2*5*2*2

42=2*21=2*7*3

44=2*22=2*2*11

45=5*9=5*3*3

46=2*23

48=2*24=2*2*12=2*2*2*6=2*2*2*2*3

49=7*7

50=25*2=5*5*2

51=3*17

52=2*26=2*2*13

54=2*27=2*3*9=2*3*3*3

55=5*11

56=2*28=2*2*14=2*2*2*7

57=3*19

58=2*29

60=10*6=2*5*2*3

62=31*2

63=3*21=3*3*7

64=2*32=2*2*16=2*2*2*8=2*2*2*2*4=2*2*2*2*2

65=5*13

66=3*22=3*2*11

68=2*34=2*2*17

69=3*23

70=2*35=2*5*7

72=2*36=2*4*9=2*2*2*3*3

74=2*37

75=5*15=5*3*5

76=2*38=2*2*19

77=7*11

78=2*39=3*3*13

80=8*11=2*2*2*11

81=9*9=3*3*3*3

82=2*41

84=2*42=2*7*6=2*7*3*2

85=5*17

86=2*43

87=3*29

88=8*11=2*2*2*11

90=9*10=9*5*2

91=13*7

92=2*46=2*2*23

93=3*31

94=2*47

95=5*19

96=2*48=2*6*8=2*2*3*2*2*2

98=2*49=2*7*7

99=11*9=11*3*3

100=2*50=2*5*10=2*5*2*5

102=3*34=2*2*17

104=2*52=2*2*26=2*2*2*13

105=5*21=5*3*7

106=2*53

108=2*54=2*2*27=2*2*3*9=2*2*3*3*3

110=2*55=2*11*5

111=3*37

112=2*56=2*2*28=2*2*4*7=2*2*2*2*7

114=2*57=2*3*19

115=5*23

116=2*58=2*2*29

117=3*39=3*3*13

118=2*59

119=17*7

120=12*10=6*2*2*5=3*2*2*2*5

121=11*11

122=2*61

123=3*41

124=2*62=2*2*31

125=5*25=5*5*5

126=2*63=2*3*21=2*3*3*7

128=2*64=2*8*8=2*2*2*2*2*2*2

129=3*43

130=2*65=2*5*13

132=2*66=2*6*11=2*2*3*11

133=19*7

134=2*67

135=5*27=2*9*3=2*3*3*3

136=2*68=2*2*34=2*2*2*17

138=2*69=2*3*23

140=2*70=2*7*10=2*7*2*5

141=3*47

142=2*71

143=11*13

144=2*72=2*8*9=2*2*2*2*3*3

145=5*29

146=2*73

147=3*49=3*7*7

148=2*74=2*2*37

150=5*30=5*5*6=5*5*3*2

152=2*76=2*2*38=2*2*2*19

153=3*51=3*3*17

154=2*77=2*7*11

155=5*31

156=13*12=13*2*3

158=2*79

159=3*53

160=2*80=2*8*10=2*2*2*2*2*5

161=7*23

162=2*81=2*3*3*3*3

164=41*4=41*2*2

165=5*33=5*3*11

166=2*83

168=2*84=2*2*42=2*2*6*7=2*2*2*3*7

169=13*13

170=17*10=17*2*5

171=3*57=3*3*19

172=43*4=43*2*2

174=2*87=2*3*29

175=5*35=5*5*7

176=2*88=2*8*11=2*2*2*2*11

177=3*59

178=2*89

180=2*90=2*10*9=2*2*5*3*3

182=2*91=2*13*7

183=3*61

184=23*8=23*2*2*2

185=5*37

186=31*6=31*2*3

187=11*17

188=2*94=2*2*47

189=3*63=3*3*21=3*3*3*7

190=19*10=19*2*5

192=2*96=2*2*48=2*2*6*8=2*2*2*3*2*2*2

194=2*97

195=5*39=5*3*13

196=2*98=2*2*49=2*2*7*7

198=2*99=2*9*11=2*3*3*11

200=2*100=2*25*4=2*5*5*2*2

201=3*67

202=2*101

203=7*29

204=2*102=2*2*51=2*2*3*17

205=5*41

206=2*103

207=23*9=23*3*3

208=2*104=2*2*52=2*2*2*26=2*2*2*2*13

209=19*11

210=2*105=2*21=2*3*7

212=53*4=53*2*2

213=3*71

214=2*107

215=5*43

216=2*108=2*2*54=2*2*2*27=2*2*2*3*9=2*2*2*3*3*3

217=7*31

218=2*109

219=3*73

220=2*110=2*2*55=2*2*11*5

221=13*17

222=37*6=37*2*3

224=2*112=2*2*56=2*2*2*28=2*2*2*2*14=2*2*2*2*2*7

225=5*45=5*5*9=5*5*3*3

226=2*113

228=2*114=2*2*57=2*2*3*19

230=23*10=23*5*2

231=3*77=3*11*7

232=2*116=2*2*58=2*2*2*29

234=13*18=13*2*9=13*2*3*3

235=5*47

236=59*4=59*2*2

237=3*79

238=17*14=17*2*7

240=2*120=2*12*10=2*3*2*2*2*5

242=11*22=11*11*2

243=3*81=2*3*3*3*3

244=2*122=2*2*61

245=5*49=5*7*7

246=2*123=2*3*41

247=13*19

248=2*124=2*2*62=2*2*2*31

249=3*83

250=5*50=5*5*10=5*5*5*2

252=2*126=2*2*63=2*2*7*9=2*2*7*3*3

253=23*11

254=2*127

255=5*51=5*3*17

256=2*128=2*2*64=2*2*8*8=2*2*2*2*2*2*2*2

258=2*129=2*3*43

259=37*7

260=26*10=13*2*2*5

261=29*9=29*3*3

262=2*131

264=2*132=2*2*66=2*2*6*11=2*2*2*3*11

265=5*53

266=2*133=2*19*7

267=3*89

268=2*134=2*2*67

270=27*10=3*3*3*2*5

272=17*6=17*2*3

273=3*91=3*7*13

274=2*137

275=5*55=5*5*11

276=23*12=23*3*4=23*3*2*2

278=2*139

279=3*93=3*3*31

280=28*10=2*2*7*2*5

282=2*141=2*3*47

284=2*142=2*71

285=5*57

286=2*143=2*11*13

287=7*41

288=2*144=2*3*48=2*3*3*2*2*2*2

289=17*17

290=29*10=29*5*2

291=3*97

292=2*146=2*2*73

294=2*147=2*3*49=2*3*7*7

295=5*59

296=2*148=2*2*74=2*2*2*37

297=3*99=3*11*9=3*11*3*3

298=2*149

299=23*13

300=3*100=3*2*2*5*5

301=7*43

302=2*151

303=3*101

304=19*16=19*4*4=19*2*2*2*2

305=5*61

306=17*18=17*2*9=17*2*3*3

308=7*44=7*10*4=7*2*5*2*2

309=3*103

310=31*10=31*2*5

312=13*24=13*6*4=13*3*2*2*2

314=2*157

315=5*63=5*7*9=5*7*3*3

316=2*158=2*2*79

318=2*159=2*3*53

319=19*11

320=32*10=2*16*2*5=2*4*4*2*5=2*2*2*2*2*2*5

321=3*107

322=7*23

323=17*19

324=2*162=2*2*81=2*2*9*9=2*2*3*3*3*3

325=5*65=5*5*13

326=2*163

327=3*109

328=41*8=41*2*2*2

329=47*7

330=33*10=3*11*2*5

332=2*166=2*2*83

333=37*9=37*3*3

334=2*167

335=5*67

336=7*48=7*2*24=7*2*6*4=7*2*2*3*2*2

338=2*169=2*13*13

339=113*3

340=34*10=17*2*2*5

341=11*31

342=19*18=19*2*9=19*2*3*3

343=7*49=7*7*7

344=2*172=2*2*86=2*2*2*43

345=3*115=3*5*23

346=2*173

348=2*174=2*2*87=2*2*3*29

350=35*10=7*5*5*2

351=13*27=13*3*3*3

352=2*176=2*2*88=2*2*8*11=2*2*2*2*2*11

354=2*177=2*3*59

355=5*71

356=2*178=2*2*89

357=3*119=3*17*7

358=2*179

360=36*10=2*18*2*5=2*2*9*2*5=2*2*3*3*2*5

361=19*19

362=2*181

363=3*121=3*11*11

368=2*184=2*23*8=2*23*2*2*2

369=3*123=3*3*41

370=37*10=37*5*2

371=7*53

372=2*186=2*31*6=2*31*2*3

374=2*187=2*17*17

375=5*75=5*5*15=5*5*5*3

376=2*188=2*2*94=2*2*2*47

377=13*29

378=2*189=2*3*63=2*3*3*21=2*3*3*3*7

380=38*10=19*2*2*5

381=3*127

382=191

384=2*192=2*2*96=2*2*2*48=2*2*2*6*8=2*2*2*2*3*2*2*2        

385=5*77=5*7*11

386=2*193

387=3*129=3*3*43

388=2*194=2*2*97

390=39*10=39*2*5

391=23*17

392=2*196=2*2*98=2*2*2*49=2*2*2*7*7

393=3*131

394=2*197

395=5*79

396=3*132=3*2*66=3*2*3*2*11

398=2*199

399=3*133=3*19*7

400=40*10=2*2*2*5*2*5

402=2*201=2*3*67

403=13*31

404=2*202=2*2*101

405=5*81=5*3*3*3*3

406=2*203=2*7*29

407=37*11

408=2*204=2*2*102=2*2*2*51=2*2*2*3*17

410=2*205=2*5*41

411=3*137

412=2*206=2*2*103

413=7*59

414=2*207=2*3*69=2*3*3*23

415=5*83

416=2*208=2*2*104=2*2*2*52=2*2*2*2*26=2*2*2*2*2*13

417=3*139

418=2*209=2*19*11

420=42*10=2*21*2*5=2*3*7*2*5

422=2*211

423=3*141=3*3*47

424=2*212=2*2*106=2*2*2*53

425=5*85=5*5*17

426=2*213=2*3*71

427=7*61

428=2*214=2*2*107

429=3*143=3*11*13

430=43*10=43*2*5

432=3*144=3*2*72=3*2*8*9=3*2*2*2*2*3*3

434=2*217=2*7*31

435=5*87=5*3*29

436=2*218=2*2*109

437=19*23

438=2*219=2*3*73

440=44*10=2*2*11*2*5

441=3*147=3*3*49=3*3*7*7

442=2*221=2*13*17

444=4*111=2*2*3*37

445=5*89

446=2*223

447=3*149

448=2*224=2*2*112=2*2*2*56=2*2*2*2*28=2*2*2*2*2*14=2*2*2*2*2*2*7

450=45*10=5*3*3*2*5

451=41*11

452=2*226=2*2*113

453=3*151

454=2*227

455=5*91=5*7*13

456=2*228=2*2*114=2*2*2*57=2*2*2*3*19

458=2*229

459=3*153=3*3*51

460=46*10=23*2*2*5

462=2*231=2*3*77=2*3*7*11

464=2*232=2*2*116=2*2*2*58=2*2*2*2*29

465=5*93=5*3*31

466=2*233

468=2*234=2*13*18=2*13*2*9=2*13*2*3*3

469=7*67

470=47*10=47*2*5

471=3*157

472=2*236=2*59*4=2*59*2*2

473=43*11

474=2*237=2*3*79

475=5*95=5*5*19

476=2*238=17*14=17*2*7

477=3*159=3*3*53

478=2*239

480=48*10=2*6*4*2*5=2*2*3*2*2*2*5

481=13*37

482=2*241

483=3*161=3*7*23

484=2*242=2*11*22=2*11*11*2

485=5*97*

486=2*243=2*3*81=2*3*3*3*3*3

488=2*244=2*2*122=2*2*2*61

489=3*163

490=49*10=49*2*5

492=2*246=2*2*123=2*2*3*41

493=17*29

494=2*247=2*13*19

495=5*99=5*3*3*11

496=2*248=2*2*124=2*2*2*62=2*2*2*2*31

497=7*71

498=2*249=2*3*83

500=50*10=2*5*5*2*5