Проектная работа "Множества и операции над ними "

Тезисы

Предлагаю Вашему вниманию работу на тему: «Множества и операции над ними»

1. Введение
1.1.Выбор темы исследования.

Каждый человек встречается с множествами, иногда сам того не зная. Множество простых, составных чисел, остроугольных треугольников, объемных фигур. Эти понятные и простые множества всегда с нами.

1.2. Цель исследования.

Выяснить что же такое множества, научиться производить операции над ними, изучить специальные знаки, используемые в этой области, а также научиться решать задачи с множествами.

1.3.Задачи исследования.

• 1. Проанализировать литературу по данной теме
• 2. Выяснить, какие способы решения подобных задач существуют.
• 3. Рассмотреть популярные задачи о множествах
• 4. Научиться решать задачи с множествами

Гипотеза исследования.

Я предполагаю, что решать задачи с множествами достаточно просто, и можно обойтись обыкновенными математическими методами.

• Методы исследования:
• Поисковый.        
• Исследовательский.
• Анализ научной литературы, работа со справочниками и учебными пособиями.

Актуализация знаний.

Множество – совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь признаку.

• Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.
• Обозначения некоторых числовых множеств:
•               N – множество натуральных чисел;
•               Z – множество целых чисел;
•               Q – множество рациональных чисел;
•               I - множество иррациональных чисел;
•               R – множество действительных чисел.

Виды множеств:

• Равные множества
• {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}
• Конечные множества
• А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};
• Бесконечные множества
• {1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …};
• Пустое множество (обозначается символом Ø)
• Счетные/Несчетные

Способы описания множеств:

• 1.Перечисление(характерно для конечных множеств)
• 2.Характеристическое свойство(Общее для конечных и бесконечных.
• Свойство, которое есть у всех элементов множества, но которого нет у
• элементов, не входящих в множество.)
• Например: А{x|x>-2,}(бесконечное множество чисел, больших -2)
• B{x|5>x>2}(бесконечное множество чисел, больших 2, но меньших 5)
• M{x|10>x>0; x∈N}(конечное множество натуральных чисел меньших 10, но больших 0)

2.Основная часть
2. 1. Теоретический материал

Счетность

Множество СЧЕТНОЕ, если можно установить соответствие между его элементами и элементами множества натуральных чисел.

• K – счетное множество, следовательно, K∪{a} также будет счетным множеством.
• К1, K2 – счетные множества, следовательно, К1∪K2 будет счетным множеством.
• K1, K2, K3, K4, … – счетные множества, следовательно, объединенное множество также будет счетным.

Рациональные и алгебраические числа

Рассмотрим рациональные числа. Это множество чисел, представимых в виде m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Таким образом, рациональные числа представляют собой счетное число счетных множеств и при объединении также станут счетным множеством.

        Алгебраические числа – это множество корней многочленов с целыми коэффициентами. Будет ли это множество счетным? Множества корней многочленов разных степеней являются счетными множествами, а значит, результат их объединения также будет счетным множеством. Из этого следует, что множество алгебраических чисел (𝔸) – это счетное множество.

Задача о покрытии множества.

• В качестве примера задачи о покрытии множества можно привести следующую проблему:
• Представим себе, что для выполнения какого-то задания необходим некий набор навыков S; D; T; E; G. Также есть группа людей, владеющих некоторыми из этих навыков – (S, T),  (D, T), (E, G), (D, S, E), (D). Необходимо сформировать минимальную группу для выполнения задания, включающую в себя носителей всех необходимых навыков.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

ЭЙЛЕР Леонард (1707-1783), российский ученый — математик, механик, физик и астроном. 

• Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.
• Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?
• Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Зачем нужно изучать множества?

• Фракталами хорошо описываются такие процессы и явления, касающиеся механики жидкостей и газов: Динамика и турбулентность сложных потоков; Моделирование пламени; Пористые материалы; Моделирование популяций; Процессы внутри организма, например, биение сердца; Фрактальные антенны.
• Фрактальную геометрию для проектирования антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где было запрещено устанавливать внешние антенны на домах. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил ее на лист бумаги, а затем присоединил к приемнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Фракталы

         Можно изобразить границу множества на плоскости. Иногда в результате получаются Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия. Например:

         Граница множества Мандельброта.                                   Множество Жюлиа.

Далее представляю Вашему вниманию результаты моих исследований.

В таблице приведены результаты исследований. Здесь Вы можете видеть насколько владеют знаниями по теме «Множества» мои сверстники.

Предлагаю краткий обзор моих исследований в сравнении операций.

 Сложение – Пересечение.

Операция пересечение (обозн. ⋂) – при выполнении для множеств А и В, получаем множество С, содержащее элементы, принадлежащие и А, и В одновременно.

Сложение – Объединение.

Операция объединение (обозн. ∪) – при выполнении для множеств А и В, получаем множество С, содержащее элементы, принадлежащие или А, или В.

Вывод.

Арифметическое действие  «Сложение» интерпретируется операциями «Пересечение» и «Объединение», с различными результатами.

То есть имеет место различие.

Вычитание – Разность.

Операция разность (обозн. \) – при выполнении для множеств А и В, получаем множество С, содержащее элементы А, которые не принадлежат В.

Вывод.

Арифметическое действие «Вычитание»  схоже с операцией «Разность».

То есть имеем сходство.

Сравнение – Надмножества и подмножества.

Знак ⊂ (Является подмножеством) – для множеств А и В означает: «каждый элемент из   также является элементом из  ».

Знак ⊃ (Является надмножеством) – для множеств А и В означает: «каждый элемент из   также является элементом из  .

Вывод.

Сравнение в арифметике аналогичны знакам «Надмножество» и «Подмножество». То есть сходны.

Вывод.

            Из опроса следует, что мои сверстники очень мало знают о множествах. А решение задач с ними вызывает затруднения. Респонденты не смогли дать четкое объяснение способа решения. Решения были названы интуитивными.  

Исследования операций показали, что действия над множествами и обычные математические сходны, но не идентичны.

Вернёмся к гипотезе моей работы. 

Я предполагал, что ученики моей школы мало знают о множествах, их применении и решении задач с ними. Опрос показал, что очень немногие из учеников хорошо знают тему «Множества» и умеют решать задачи по ней.
Решения свои респонденты не смогли обосновать. То есть подтвердилось мое предположение о решениях основанных на логике, а не на знаниях.
Исследования показали, что арифметические действия можно рассматривать как частный случай операций над множествами. То есть операции над множествами шире.
Можно сказать, что моя гипотеза полностью подтвердилась.

Моя гипотеза подтвердилась полностью.  Арифметические действия  отличаются от операций над множествами, однако, основаны на них.
 
В процессе работы были рассмотрены следующие вопросы:
основные положения теории множеств ( определение множества, конечные и бесконечные множества, обозначения множеств, способы их задания, подмножество);
наглядные примеры (помогли мне лучше усвоить понятия).
В настоящее время теория множеств является одной из основ различных областей математики ( функциональный анализ, топология, общая алгебра). Ведутся глубокие исследования и в самой теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики.
Элементами теории множеств могут быть самые разнообразные предметы: виды и подвиды животных, растений; буквы; атомы; числа; функции; точки; углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее прикладное значение к очень многим областям знаний (математика, биология, физика, экология). Теория множеств является истоком для многих современных наук. Поэтому так важно усвоить тему «Множества» в школьном курсе.
Моя работа может служить учебным пособием на уроках математики, связанных с темой “множества”.

В презентации предлагаю Вашему вниманию несколько примеров фракталов в природе.

В моей работе Вам предложена подборка фракталов. Это удивительное по своей красоте изобретение мироздания.

В мое работе Вы найдете сборник задач по теме «Множества». Задачи по этой теме встречаются в школьном курсе в незначительном количестве, большинство из задачи на «множества» предлагаются на олимпиадах.

 Так же в моей работе есть рубрика «Это интересно!». Здесь собрана информация о создателе фрактальной геометрии Бенуа Мандельброте, о наивная теория множеств Кантора и Эрнсте Цермело-  авторе аксиоматики теории множеств.

Доклад закончил.

Спасибо за внимание.