Шахматы с точки зрения математики

Государственное бюджетное общеобразовательное

учреждение

лицей №64

Приморского района Санкт-Петербурга

Тема работы

«Шахматы с точки зрения математики»

Выполнили: ученики 10В класса: Штерн Михаил, Шкурин Александр

Руководитель: Финагина Елена Игоревна

2016-2017 учебный год

Санкт-Петербург

Содержание

1. Методический паспорт проекта………………………………………3
2. Этапы проекта………………………………………………………….4
3. Введение………………………………………………………………..5
4. Связь между шахматами и математикой……………………………6
5. Схемы и алгоритмы в шахматах……………………………………..9
6. Решение шахматных задач…………………………………………...12
7. Заключение……………………………………………………………15
8. Список литературы………………………………………………..….16

Методический паспорт проекта

Тема проекта: Шахматы с точки зрения математики

Проблема: как шахматы и математика связаны между собой

Гипотеза исследовательской работы: действительно ли существует связь между шахматами и математикой

Цель работы: Доказать взаимосвязь между шахматами и математикой

Задачи:

- Изучить применение алгоритмов в шахматах

- Рассмотреть самую лучшую партию в истории с точки зрения математики

- Решить шахматные задачи

Время работы над проектом: 2 месяца

Режим работы: внеурочный

Информационно-техническое обеспечение:

• библиотека;
• Интернет;

Мотивация к познанию: личный интерес

Этапы проекта

1. Организационный этап:

• Выбор темы исследования
• Определение цели и задачи исследования
• Составление плана работы, отбор методов исследования

2. Поисково-исследовательский этап:

• Изучение литературы
• Составление презентации

3. Обобщение исследовательской деятельности
4. Предъявление проекта и его продукта.

Введение

История шахмат насчитывает более полутора тысяч лет. Изобретённые в Индии в V—VI веке, шахматы распространились практически по всему миру и стали неотъемлемой частью человеческой культуры.

Со временем шахматы из обычной интеллектуальной игры превратились в мировой вид спорта. С течением времени шахматы привлекли внимание ученых – математиков, которых интересовали вопросы о взаимосвязи шахмат и математики.

Так, великий математик А. Пуанкаре считал, что шахматы – вид математического творчества. По его мнению, шахматы являются удобной моделью для изучения особенностей мышления.

Позже с мнением Пуанкаре согласился и Р. Харди. Он говорил, что шахматы – математическая игра.

В своей работе мы  решили провести исследование о взаимосвязи шахмат и математики.

Связь между шахматами и математикой

Связь между шахматами и математикой прослеживается в таких направлениях как симметрия, геометрия, четность и нечетность, а также система координат. Рассмотрим каждое из них подробнее.

Симметрия.

Симметрия на шахматной доске встречается в различных проявлениях. Во-первых, это естественная симметрия, которая встречается в процессе шахматной партии. Во-вторых, симметрия, которая используется в шахматных задачах.

Различают два вида симметрии – осевая и центральная.

Осевая симметрия на шахматной доске проявляется в следующем: можно провести прямую, которая разделит доску на две симметричные части. Такая прямая проходит между вертикалями d и e, деля доску на левую и правую части, а также между 4 и 5 горизонталями, деля доску на верхнюю и нижнюю (Рисунок 1).

Рисунок 1

Также осями симметрии являются и диагонали шахматной доски.

Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.

Система координат.

В качестве осей системы координат на шахматной доске являются буквенные и цифровые значения. При помощи их задаются координаты фигур на доске, что позволяет вести запись хода игры. Например, a3, d7, g5 и т.д.

Четность и нечетность.

Четность и нечетность на шахматной доске связана с номером хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д.

Геометрия.

Геометрия в шахматах проявляется не только в том, что форма шахматной фигуры – геометрическая фигура (квадрат), но и в том, что при проведении игры применяют «правило квадрата».

Рисунок 2

Дело в том, что при игре в шахматы, как и в любой другой науке, есть свои определённые правила. И существует такое правило, как правило, квадрата. В композиции, представленной на рисунке 2, неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов, просчитываются.

Однако исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата» - достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки. Итак,в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.

Кроме правила «квадрата» в шахматах применяется правило «треугольника». Метод «треугольника» заключается в передаче очереди хода сопернику в окончании партии. Данный метод применяется в том случае, когда ход противника ухудшает его ситуацию.

На рисунке 3 представлен один из вариантов применения данного правила.

Рисунок 3

Если бы в данном случае был ход черных, то они незамедлительно бы проиграли, так как:

1 вариант. На первый ход черных Кр с7 (Король на с7) белые отвечают ходом Кр с5 (Король на с5)

2 вариант. На первый ход черных Крd8 или Крb8 (Король на d8 или на b8) белые отвечают ходом Крd6 (Король на d6).

Но в данном случае ход принадлежит белым, поэтому им необходимо передать свой ход.

Передача хода осуществляется чередой следующих ходов:

1. Крd4 – Крd8 (Крb8)

2. Крc4 – Крc8

3. Крd5

Таким образом, король белых совершил маршрут по треугольнику d5—d4—с4—d5 и передали очередь хода черным.

Изучая связь между шахматами и математикой нельзя не упомянуть о теореме Пифагора, для доказательства которой можно использовать шахматную доску.

Разделим доску на квадрат и четыре треугольника (Рисунок 4а).

Рисунок 4

Далее разделим доску, так как показано на рисунке 4б.

Получим на обоих рисунках одинаковые треугольники и три разных по размеру квадрата. Так как треугольники равны, то они имеют одинаковые площади. Следовательно, площадь квадрата на рисунке 4а равна сумме площадей квадратов на рисунке 4б.

Из рисунка 4 видно, что большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие квадраты на катетах того же треугольника. Таким образом, можно сделать вывод, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Схемы и алгоритмы в шахматах

Еще один аргумент в пользу того, что математика и шахматы связаны между собой – наличие определенных алгоритмов в проведении партий.

В 50-х годах 20 века Клод Шеннон выдвинул гипотезу: с каждым ходом число вариантов продолжений будет расти. В связи с этим он рассчитал, что существует 10120 вариантов различных шахматных партий. Для сравнения в изученной части вселенной существует 1080 атомов. Количество позиций в шахматных партиях конечно меньше. Считается, что их существует 1040 вариантов.

Еще до начала существования ЭВМ многие ученые задумывались о создании шахматной машины, которая могла бы самостоятельно играть в шахматы с человеком. Но проблема заключается в том, как научить машину играть. Существует два варианта решения:

1. Заложить все возможные алгоритмы продолжения партии в память машины, и она должна методом перебора выбрать наиболее подходящий вариант.

2. Проводить анализ по ходу партии, рассчитывать ближайшие несколько и оценивать позицию в перспективе.

Первый вариант решения является идеальным, но не осуществимым в полной мере, так как чтобы записать все алгоритмы на носитель информации, то понадобится хранилище размером сопоставимым с размерами Луны.

Поэтому для компьютера остается только второй вариант решения.

В 1958 году ученые Питтсбургского университета придумали "алгоритм альфа-бета", позволяющий отбросить большое количество вариантов без ущерба для конечного результата. Стоит отметить, что альфа-бета-поиск и его разновидности составляют ядро и современных шахматных программ. В чем суть: анализируется первый вариант, если второй вариант хуже первого – его не надо считать до конца, так как в любом случае из этих двух вариантов будет выбран первый. В результате работы данного алгоритма требуется просмотреть на порядок меньше позиций, и ЭВМ смогли просчитывать уже 5-6 полуходов, самые быстрые – даже 7. Компьютеры стали играть сильнее, но все же соревноваться с сильными игроками еще не удавалось.

Кстати, в разработку эффективных методов перебора внесли большой вклад и советские математики Брудно и Арлазаров. Известным математиком Александром Брудно, много сделавшим в области шахматного программирования, был разработан специальный алгоритм так называемого ранжирования, позволяющий компьютеру в определенной позиции играть наилучшим образом. Это был прототип современных баз малофигурных окончаний. Правда, в те далекие времена требовались не одни сутки для расчетов 4-5 фигурных окончаний. Владимир Арлазаров - один из создателей шахматной "Каиссы", победившей на чемпионате мира среди шахматных программ в 1974 году.

При разработке вышеперечисленных алгоритмов решалась, прежде всего, математическая задача, то есть подход изначально был "компьютерным". Но есть и другой вариант: проанализировать опыт ведущих шахматистов и формализовать принципы игры, которыми пользуется человек. Такой компьютер будет играть быстрее и "по-человечески". Задача не из легких, первым за нее взялся Михаил Ботвинник. Он потратил много лет на создание собственного шахматного компьютера, но, к сожалению, не довел работу до конца, оставив лишь массу теоретических материалов.

Следующим шагом было создание компьютеров специально для шахмат, позволяющих совершать большое количество операций в секунду. Первый такой компьютер был создан в лаборатории Белл Кеном Томпсоном, он производил 180000 операций в секунду (обычные компьютеры – лишь 5000) и просчитывал позицию на 8-9 полуходов, что соответствовало уровню мастера. Этот компьютер победил во Всемирном шахматном турнире компьютеров, и во многих других турнирах в начале 80-х, но уступил новому гораздо более мощному CrayX_MPs. Компьютер Томпсона был усовершенствован, но так и не смог победить лидера. Далее появился ChipTest и DeepThought, способный считать 500 000 операций в секунду. DT сыграл две партии с действующим чемпионом мира Каспаровым и проиграл обе, зато одержал победу над несколькими гроссмейстерами.

Этой разработкой заинтересовались представители IBM, и работа продолжилась – был создан знаменитый DeepBlue, победивший на турнире компьютеров, и выигравший у сильнейшей шахматистки мира – ЮдитПолгар. Одновременно проводился блиц-турнир с участием программы Fritz, поделившей первое место с Каспаровым, и уступившей ему лишь в дополнительном матче.

В 1996 году состоялся первый матч DeepBlue с Каспаровым, в котором чемпион мира одержал победу со счетом 4:2. DeepBlue – это 6-ти процессорный суперкомпьютер, способный просчитывать 100 млн позиций в секунду. Через год состоялся матч реванш с модернизированным 8-процессорным DeepBlue, считающим вдвое быстрее. Компьютер впервые победил лучшего шахматиста со счетом 3.5:2.5. В то время компьютер не умел оценивать позицию и строить игру на основании этой оценки. Рост силы игры достигался исключительно за счет увеличения мощности "железа". Даже алгоритм перебора все еще использовался "брутфорс", то есть перебирались все варианты, но очень быстро.

Решение шахматных задач

В математике не редко встречаются задачи, связанные с шахматами. Рассмотрим самые популярные из них.

Задача 1.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей, чтобы они не угрожали друг другу, то есть никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Решение данной задачи представлено на рисунке 5.

Рисунок 5.

Задача 2.На бесконечной доске находятся два белых ферзя и черный король. За сколько ходов белые могут поставить мат?

Решение. Не зависимо от размера доски при данных размерах доски мат возможно поставить не более чем за четыре хода.

Рассмотрим вариант решения данной задачи.

Первым ходом один из ферзей объявляет вертикальный шах. Король вынужден отступить на одну из соседних линий.

Вторым ходом другой ферзь «зажимает» короля на двух вертикалях. Возникает позиция представленная на рисунке 6.

Рисунок 6

На третьем ходу, в каком бы направлении король не ходит, ферзь объявляет горизонтальный шах. И на четвертом королю объявлен мат.

Задача 3.Может ли конь с поля a1 добраться до h8, побывав на каждом поле доски ровно один раз?

Решение данной задачи строится на четности и нечетности хода.

Рассмотрим шахматную доску (Рисунок 7).

Рисунок 7

Поля а1 и h8 – черные. После каждого хода цвет клетки, на которой стоит конь, меняется, т.е. если конь стоит на черной клетке, то следующим ходом он встает на белую. Количество ходов, за которое конь может переместиться в противоположный угол составляет 63. Повторюсь, клетка а1 – четная, значит на первом ходу и последующих нечетных цвет клетки становится белым, а на втором и четных ходах – черным. Таким образом, для того, чтобы конь с клетки черного цвета попал на клетку черного цвета необходимо иметь четное количество ходов. Как было сказано ранее для того, чтобы конь попал в противоположный угол необходимо 63 хода. 63 – нечетное число, клетка h8 – черное, следовательно, конь не сможет попасть в противоположный угол, побывав в каждой клетке только один раз.

Заключение

В ходе работы над научно-исследовательской работой были изучены литературные источники различных авторов, рассмотрены вопросы о связи шахмат и математики.

Мы выяснили, что в шахматах четко прослеживаются некоторые математические свойства. К ним относятся четность и нечетность, геометрия и симметрия. Некоторые свойства геометрии применяются в шахматах при выборе правильного хода.

Также был рассмотрен вопрос о наличии в шахматных играм определенных алгоритмов. Систематизация данных алгоритмов позволила ученым создать компьютерные программы. Изначально такие программы работали по принципу полного перебора возможных вариантов развития партии. Но из-за малых объемов памяти ученые не могли уместить все возможные алгоритмы в ЭВМ, поэтому играя с гроссмейстерами, всегда испытывали поражение.

Позднее ученые смогли улучшить шахматную машину, и в 1997 году она смогла обыграть Г. Каспарова со счетом 3,5:2,5.

В ходе проведения научно-исследовательской работы нами были изучены методы решения задач на шахматной доске.

Все изученные вопросы позволяют говорить о взаимосвязи шахмат математики.

Список литературы

1. Гик Е.А. «Шахматы. Математика. Компьютеры» - Издатель «Андрей Ельков», 2013г., - 336с.
2. Журавлев Н. И. В стране шахматных чудес. – М.: Международная книга, 1991.
3. Компьютерные алгоритмы игры в шахматы [интернет источник] – режим доступа (свободный): http://forany.xyz/a-104
4. История развития компьютерных шахмат [интернет источник] – режим доступа (свободный): http://forany.xyz/a-27